Показательная функция, ее свойства и график

Показательная функция

Функция вида y = a^x, где a больше нуля и а не равно единице называется показательной функцией. Основные свойства показательной функции:

1. Областью определения показательной функции будет являться множество вещественных чисел.

2. Область значений показательной функции будет являться множество всех положительных вещественных чисел. Иногда это множество для краткости записи обозначают как R+.

3. Если в показательной функции основание a больше единицы, то функция будет возрастающей на всей области определения. Если в показательной функции для основания а выполнено следующее условие 0

4. Справедливы будет все основные свойства степеней. Основные свойства степеней представлены следующим равенствами:

a^x*a^y = a^{(x + y)};

(a^x)/(a^y) = a^(x-y);

(a*b)^x = (a^x)*(a^y);

(a/b)^x = a^x/b^x;

(a^x)^y = a^{(x * y)}.

Данные равенства будут справедливы для все действительных значений х и у.

5. График показательной функции всегда проходит через точку с координатами (0;1)

6. В зависимости от того возрастает или убывает показательная функция, её график будет иметь один из двух видов.

На следующем рисунке представлен график возрастающей показательной функции: a>0.

На следующем рисунке представлен график убывающей показательной функции: 0

И график возрастающей показательной функции и график убывающей показательной функции согласно свойству, описанному в пятом пункте, проходят через точку (0;1).

7. Показательная функция не имеет точек экстремума, то есть другими словами, она не имеет точек минимума и максимума функции. Если рассматривать функцию на каком-либо конкретном отрезке, то минимальное и максимальное значения функция будет принимать на концах этого промежутка.

8. Функция не является четной или нечетной. Показательная функция это функция общего вида. Это видно и из графиков, ни один из них не симметричен ни относительно оси Оу, ни относительно начала координат.

Логарифм

Что такое логарифм

Логарифмы всегда считались сложной темой в школьном курсе математики. Существует много разных определений логарифма, но большинство учебников почему-то используют самые сложные и неудачные из них.

Мы же определим логарифм просто и наглядно. Для этого составим таблицу:

2¹

2²

2³

2⁴

2⁵

2⁶

2

4

8

16

32

64

Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.

А теперь - собственно, определение логарифма:

Определение

Логарифм по основанию a от аргумента x - это степень, в которую надо возвести число a, чтобы получить число x.

Обозначение

log_a x = b
где a - основание, x - аргумент, b - собственно, чему равен логарифм.

Например, 2³ = 8 ⇒ log₂ 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2³ = 8). С тем же успехом log₂ 64 = 6, поскольку 2⁶ = 64.

Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:

2¹

2²

2³

2⁴

2⁵

2⁶

2

4

8

16

32

64

log₂ 2 = 1

log₂ 4 = 2

log₂ 8 = 3

log₂ 16 = 4

log₂ 32 = 5

log₂ 64 = 6

К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log₂ 5. Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке [2; 3]. Потому что 2² < 5 < 2³, а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Если взять калькулятор и посчитать, чему равны такие логарифмы, то получатся очень длинные числа. Взгляните сами:
log₂ 5 = 2,32192809...
log₃ 8 = 1,89278926...
log₅ 100 = 2,86135311...

Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log₂ 5, log₃ 8, log₅ 100.

Важно понимать, что логарифм - это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где - аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:

Перед нами - не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм - это степень, в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень - на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии - и никакой путаницы не возникает.

Как считать логарифмы

С определением разобрались - осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:

1. Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.

2. Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!

Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log_a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log₂ 0,5 = −1, т.к. 0,5 = 2⁻¹.

Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.

Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:

1. Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;

2. Решить относительно переменной b уравнение: x = a^b;

3. Полученное число b будет ответом.

Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.

Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:

Задача

Вычислите логарифм: log₅ 25

Решение

1. Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5¹; 25 = 5²;

2. Составим и решим уравнение:
   log₅ 25 = b ⇒ (5¹)^b = 5² ⇒ 5^b = 5² ⇒ b = 2;

3. Получили ответ: 2.

Ответ

2

Задача

Вычислите логарифм:

Решение

1. Представим основание и аргумент как степень тройки: 3 = 3¹; 1/81 = 81⁻¹ = (3⁴)⁻¹ = 3⁻⁴;

2. Составим и решим уравнение:

3. Получили ответ: −4.

Ответ

−4

Задача

Вычислите логарифм: log₄ 64

Решение

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2²; 64 = 2⁶;

2. Составим и решим уравнение:
   log₄ 64 = b ⇒ (2²)^b = 2⁶ ⇒ 2^2b = 2⁶ ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;

3. Получили ответ: 3.

Ответ

3

Задача

Вычислите логарифм: log₁₆ 1

Решение

1. Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2⁴; 1 = 2⁰;

2. Составим и решим уравнение:
   log₁₆ 1 = b ⇒ (2⁴)^b = 2⁰ ⇒ 2^4b = 2⁰ ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;

3. Получили ответ: 0.

Ответ

0

Задача

Вычислите логарифм: log₇ 14

Решение

1. Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7¹; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7¹ < 14 < 7²;

2. Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;

3. Ответ - без изменений: log₇ 14.

Ответ

log₇ 14

Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто - достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.

Задача

Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

Решение

8 = 2 · 2 · 2 = 2³ - точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2⁴ - не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3⁴ - точная степень;
35 = 7 · 5 - снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 - опять не точная степень;

Ответ

8, 81 - точная степень; 48, 35, 14 - нет.

Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.

Десятичный логарифм

Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.

Определение

Десятичный логарифм от аргумента x - это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x.

Обозначение

lg x

Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.д.

Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x = log₁₀ x

Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.

Натуральный логарифм

Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.

Определение

Натуральный логарифм от аргумента x - это логарифм по основанию e, т.е. степень, в которую надо возвести число e, чтобы получить число x.

Обозначение

ln x

Многие спросят: что еще за число e? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e = 2,718281828459...

Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e - основание натурального логарифма:
ln x = log_e x

Таким образом, ln e = 1; ln e² = 2; ln e¹⁶ = 16 - и т.д. С другой стороны, ln 2 - иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.

Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы - это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

Эти правила обязательно надо знать - без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного - все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log_a x и log_a y. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

1. log_a x + log_a y = log_a (x · y);

2. log_a x − log_a y = log_a (x : y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность - логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь - одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры - и убедитесь:

Задача

Найдите значение выражения: log₆ 4 + log₆ 9.

Решение

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log₆ 4 + log₆ 9 = log₆ (4 · 9) = log₆ 36 = 2.

Ответ

2

Задача

Найдите значение выражения: log₂ 48 − log₂ 3.

Решение

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log₂ 48 − log₂ 3 = log₂ (48 : 3) = log₂ 16 = 4.

Ответ

4

Задача

Найдите значение выражения: log₃ 135 − log₃ 5.

Решение

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log₃ 135 − log₃ 5 = log₃ (135 : 5) = log₃ 27 = 3.

Ответ

3

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные - подобные выражения на полном серьезе (иногда - практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

1. log_a xⁿ = n · log_a x;

2. 

3. 

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить - в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача

Найдите значение выражения: log₇ 49⁶.

Решение

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log₇ 49⁶ = 6 · log₇ 49 = 6 · 2 = 12

Ответ

12

Задача

Найдите значение выражения:

Решение

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2⁴; 49 = 7². Имеем:

Ответ

2

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели - получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log₂ 7. Поскольку log₂ 7 ≠ 0, можем сократить дробь - в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Теорема

Пусть дан логарифм log_a x. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача

Найдите значение выражения: log₅ 16 · log₂ 25.

Решение

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log₅ 16 = log₅ 2⁴ = 4log₅ 2; log₂ 25 = log₂ 5² = 2log₂ 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Ответ

8

Задача

Найдите значение выражения: log₉ 100 · lg 3.

Решение

Основание и аргумент первого логарифма - точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Ответ

1

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

1. n = log_a aⁿ

2. 

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула - это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество.

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз - многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача

Найдите значение выражения:

Решение

Заметим, что log₂₅ 64 = log₅ 8 - просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Ответ

200

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ :)

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами - скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

1. log_a a = 1 - это логарифмическая единица. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.

2. log_a 1 = 0 - это логарифмический ноль. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица - логарифм равен нулю! Потому что a⁰ = 1 - это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике!