Урок по теме Правильные многогранники

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
УРОКА ПО ТЕМЕ
«правильные многогранники»

по дисциплине

«Математика»

для групп 1 курса всех специальностей

Тема занятия: Правильные многогранники.

Цели занятия:

Образовательные:

- изучить понятие правильного многогранника, рассмотреть свойства правильных многогранников;

-исследовать и сформулировать эйлерову характеристику выпуклых многогранников.

-дать представление о влиянии правильных многогранников на возникновение философских теорий и фантастических гипотез.

- дать представление о связи геометрии и природы.

Развивающие:

- продолжить развивать пространственные представления студентов.

-продолжить развивать умение обобщать, систематизировать, видеть закономерности.

Воспитательные:

- воспитывать аккуратность, точность, понимать красоту окружающего мира.

- формировать интерес к предмету через сведения из истории.

Вид занятия: объяснение нового материала.

Тип занятия: теоретико-практическое занятие.

Основные методы, примененные на занятии: наглядно-практический, исследовательский метод, проблемно-поисковый.

Междисциплинарные связи: физика, химия, биология, строительство.

Средства обучения и контроля:

-мультимедийный проектор, ноутбук, экран;

-модели правильных многогранников, сделанные студентами;

-задания по нахождению элементов многогранников.

Дидактические единицы: правильный многогранник, элементы правильного многогранника, теорема Эйлера.

Формы работы:

- коллективная (выполнение устных и письменных упражнений);

- индивидуальная (сообщение студентов в форме презентации, составление моделей).

Материалы к занятию:

- компьютерная презентация;

- раздаточный дидактический материал.

-пластилин и развертки из бумаги для изготовления моделей правильных многогранников (практическая работа).

-презентация в программе Power Point.

Структура занятия

Номер этапа

Этап занятия

1.

Организационный момент (2 мин).

2

Вступительное слово преподавателя.

Введение темы и цели занятия (3 мин).

3

Актуализация опорных знаний студентов (5 мин).

4

Изложение нового материала.

4.1

Знакомство понятием правильного многогранника, его элементами (5мин).

4.2.

Сообщения по моделям многогранников, выполненных студентами (10мин).

4.2.1

Исследовательская работа студентов. Теорема Эйлера (10мин).

Выполнение практических заданий на закрепление изученного материала (7 мин).

4.3.

Подведение промежуточных итогов (3мин).

4.4.

Сообщения студентов о применении правильных многогранников (17мин).

4.5.

Физкультминутка (3мин).

4.6.

Практическая работа студентов: изготовление моделей правильных многогранников (20мин).

5.

Разрешение целей занятия. Общий вывод (3мин).

6.

Подведение итогов: выставление оценок, домашнее задание (2мин).

Ход занятия

1. Организационный момент.

Подготовка к занятию: наличие дежурных, отметка отсутствующих.

Здравствуйте, садитесь. Заслушаем доклад дежурных.

[Дежурные сообщают о готовности группы к занятию, отсутствующих студентах и причинах их отсутствия, замечаниях по аудитории].

2. Вступительное слово преподавателя: постановка целей занятия, мотивация учебной деятельности студентов.

Есть в геометрии темы, отличающиеся невероятно красивым материалом. К таким темам можно отнести и тему нашего сегодняшнего занятия "Правильные многогранники" (слайд 1). Здесь не только открывается удивительный мир геометрических тел, обладающих неповторимыми свойствами, но и интересные научные гипотезы. Ни одни геометрические тела не обладают таким совершенством и красотой, как правильные многогранники. Цель нашего занятия:

1. Изучить правильные многогранники и их свойства.

2. исследовать и сформулировать теорему Эйлера.

3. Показать влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и фантастических гипотез.

4. Показать связь геометрии и природы. ( слайд 2).

Данный материал пригодится нам при изучении темы "Объемы многогранников» и при решении задач на комбинацию геометрических тел.

3. Актуализация опорных знаний и умений студентов.

Продолжить занятие мне хотелось бы словами известного писателя и математика Льюиса Кэрролла:

«Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук». ( слайд 3).

На данный момент уже вы имеете представление о таких многогранниках как призма и пирамида. Сегодня у вас есть возможность значительно расширить свои знания о многогранниках, вы узнаете о так называемых правильных выпуклых многогранниках.

С некоторыми понятиями вы уже знакомы - это многогранники и выпуклые многогранники. Вспомним их.

- Дайте определение многогранника.

Многогранник - это геометрическое тело, ограниченное со всех сторон плоскими многоугольниками, называемыми гранями. (слайд 4).

- Какой многогранник называется выпуклым?

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой из ограничивающих его плоскостей. (слайд 5).

Задание 1. На рисунке укажите выпуклые и невыпуклые многогранники (слайд 6).

-Какой многоугольник называется правильным?

Правильным называется многоугольник, у которого все стороны и углы равны.

Задание 1. На рисунке укажите правильные многоугольники (слайд 7).

4. Изложение нового материала.

План (слайд 8):

1. Определение правильного многогранника.

1.1. Правильный гексаэдр.

1.2. Правильный тетраэдр.

1.3. Правильный октаэдр.

1.4. Правильный икосаэдр.

1.5. Правильный додекаэдр.

2. Теорема Эйлера.

3. Решение задач.

4. Сообщения студентов о приложениях многранников.

5. Практическая работа.

4.1. Знакомство понятием правильного многогранника, его элементами.

-Какие же выпуклые многогранники будем называть правильными?

Послушайте внимательно и запишите определение. (слайд 9).

Многогранник называется правильным, если: он выпуклый, все его грани являются равными правильными многоугольниками, в каждой его вершине сходится одинаковое число граней,

все его двухгранные углы равны.

Дома студенты изготовили модели правильных многогранников, характеристику которых они сейчас и дадут.

Правильный гексаэдр (Куб) (слайд 10).

Куб составлен из шести квадратов. Каждая его вершина является вершиной трех квадратов.

Сумма плоских углов при каждой вершине равна 270 градусов. Таким образом, куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 ребер.

Правильный тетраэдр (слайд 11).

Тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 180 градусов. Таким образом, тетраэдр имеет 4 грани, 4 вершины и 6 ребер.

Правильный октаэдр. (слайд 12).

Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной четырех треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 240 градусов. Таким образом, октаэдр имеет 8 граней, 6 вершин и 12 ребер.

Правильный икосаэдр. (слайд 13).

Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 300 градусов. Таким образом, икосаэдр имеет 20 граней, 12 вершин и 30 ребер.

Правильный додекаэдр. (слайд 14).

Додекаэдр составлен из двенадцати равносторонних пятиугольников. Каждая его вершина является вершиной трех пятиугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 градусов. Таким образом, додекаэдр имеет 12 граней, 20 вершин и 30 ребер.

Их форма - образец совершенства. Можно рассмотреть ряд интересных особенностей, благодаря которым они получили свое название.

Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: «эдра» - грань; «гекса» - 6; «тетра» - 4; «окта» - 8; «икоса» - 20; «додека» - 12 (слайд 15).

Вам необходимо запомнить названия этих многогранников, уметь охарактеризовать каждый из них и знать, что других видов правильных многогранников, кроме перечисленных пяти, нет. (слайд 16).

4.2.1. Исследовательская работа студентов. Теорема Эйлера.

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитаем и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу, оставив последний столбец незаполненным. (слайд17).

Проверьте правильность заполнения таблицы и подсчитайте элементы последнего столбца. (слайд 18).

Анализируя таблицу, возникает вопрос: «Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?» По-видимому, нет. Например, в столбце «грани» казалось бы, просматривается закономерность, но затем нарушается. В столбце «вершины» нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает, а то и убывает. В столбце «рёбра» закономерности тоже не видно.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, «грани» и «вершины» (Г + В). (слайд 19). Вот теперь закономерности может не заметить только «слепой». Легко заметить, что сумма числа граней и числа вершин всегда на 2 больше числа ребер. Сформулируем это так:

«Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2». Г + В = Р + 2. (слайд 20).

Это наблюдение верно для любого выпуклого многогранника и составляет содержание знаменитой теоремы, доказанной впервые Леонардом Эйлером.

Запишем в тетради теорему Эйлера.

Эту формулу знал еще Декарт; но он не оставил ее доказательства.

Идеальный математик 18 века - так часто называют Эйлера.

Выполнение практических заданий на закрепление изученного материала

Задача 1 (слайд 21). Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Является ли данный многогранник, правильным.

Задача 2. (слайд 22). Определите количество граней, вершин и рёбер многогранника, изображённого на рисунке. Проверьте выполнимость формулы Эйлера для данного многогранника.

4.3. Подведение промежуточных итогов.

4.4. Сообщения студентов о применении правильных многогранников.

Сообщение.

«Правильные многогранники в философской картине мира Платона» (слайд 23).

Правильные многогранники иногда называют платоновыми телами, поскольку они занимают видное место в философской картине мира, разработанной великим мыслителем Древней Греции Платоном (ок. 428 - ок. 348 до н.э.).

Платон считал, что мир строится из четырёх «стихий» - огня, земли, воздуха и воды, а атомы этих «стихий» имеют форму четырёх правильных многогранников. Тетраэдр олицетворял огонь, поскольку его вершина устремлена вверх, как у разгоревшегося пламени; икосаэдр - как самый обтекаемый - воду; куб - самая устойчивая из фигур - землю, а октаэдр - воздух. В наше время эту систему можно сравнить с четырьмя состояниями вещества - твёрдым, жидким, газообразным и пламенным. Пятый многогранник - додекаэдр символизировал весь мир и почитался главнейшим.

Это была одна из первых попыток ввести в науку идею систематизации.

А теперь от Древней Греции перейдём к Европе XVI - XVII вв., когда жил и творил замечательный немецкий астроном, математик Иоганн Кеплер.

Сообщение. «Кубок Кеплера» (слайд 24).

Иоганн Кеплер, для которого правильные многогранники были любимым предметом изучения, предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы. Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, к который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом он уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.

Преподаватель. Сегодня можно с уверенностью утверждать, что расстояния между планетами и их число никак не связаны с многогранниками. Конечно, структура Солнечной системы не является случайной, но истинные причины, по которым она устроена так, а не иначе, до сих пор не известны. Идеи Кеплера оказались ошибочными, но без гипотез, иногда самых неожиданных, казалось бы, бредовых, не может существовать наука.

Сообщение. «Икосаэдро-додекаэдровая структура Земли» (слайд 25).

Идеи Платона и Кеплера о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира и в наше время нашли своё продолжение в интересной научной гипотезе, которую вначале 80-х гг. высказали московские инженеры В. Макаров и В. Морозов. Они считают, что ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, оказывающего воздействие на развитие всех природных процессов, идущих на планете. Лучи этого кристалла, а точнее, его силовое поле, обуславливают икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. Многие залежи полезных ископаемых тянутся вдоль икосаэдрододекаэдровой сетки; 62 вершины и середины рёбер многогранников, называемых авторами узлами, обладают рядом специфических свойств, позволяющих объяснить некоторые непонятные явления. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник. Дальнейшие исследования Земли, возможно, определят отношение к этой научной гипотезе, в которой, как видно, правильные многогранники занимают важное место.

Преподаватель. Учёным достаточно хорошо изучены правильные выпуклые многогранники, доказано, что существует всего пять видов таких многогранников, но сам ли человек их придумал. Скорее всего - нет, он «подсмотрел» их у природы.

Послушаем сообщение … «Правильные многогранники и природа».

Сообщение «Правильные многогранники и природа» (слайд 26, 27, 28).

Правильные многогранники встречаются в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр.

Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? По-видимому, тем, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Правильные многогранники - самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль, без которой мы не можем обойтись. Известно, что она растворима в воде, служит проводником электрического тока. А кристаллы поваренной соли (NaCl) имеют форму куба.

При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра.

Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра.

В разных химических реакциях применяется сурьмянистый сернокислый натрий - вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьмянистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра.

Последний правильный многогранник - икосаэдр передаёт форму кристаллов бора (В). В своё время бор использовался для создания полупроводников первого поколения.

Преподаватель. Итак, благодаря правильным многогранникам открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

4.5. Физкультминутка.

4.6. Практическая работа по изготовлению моделей правильных многогранников (слайд 29).

Раздается пластилин и развертка куба и тетраэдра из бумаги. Также вызываются трое студентов для изготовления тетраэдра из магнитного конструктора, соломинок и бумаги.

В это время преподаватель рассказывает о значении выбора цвета.

5. Подведение итогов занятия.

Итак, наше занятие завершается. Мы с вами достигли всех целей, поставленных на занятии, а именно:

познакомились с правильными многогранниками и их свойствами,

сформулировали теорему Эйлера,

показали влияние правильных многогранников на возникновение философских теорий и фантастических гипотез и связь геометрии и природы.

На практической работе вы сумели создать модель правильных многогранников.

6. Постановка домашнего задания (слайд 30).

Конечно, на одном занятии невозможно было рассказать о многообразии практического приложения правильных многогранников и изготовления их моделей. Вашим домашним заданием будет подготовка докладов на тему «Многогранники в жизни». А также сможете по выданным разверткам сделать многогранники, которые вы не смогли сделать на занятии.

1) §31-33, вопросы 13,14.

2) №280, 285

3)Попробуйте кубик Рубика, изготовьте по одной модели на выбор, развертка прилагается (слайд 31,32).