Сообщение по математике на тему Существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса

Существование и гладкость решений уравнений Навье - Стокса

Существование и гладкость решений уравнений Навье - Стокса - одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

Уравнения Навье - Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье - Стокса используются во многих практических приложениях и научных работах. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье - Стокса. В частности, решения уравнений Навье - Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остаётся одной из важнейших нерешённых проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.

Уравнения Навье - Стокса

В математике это система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для абстрактных векторных полей любой размерности. В физике это система уравнений, которая в рамках механики сплошных сред описывает движение жидкостей или неразреженных газов.

Пусть - трёхмерный вектор скорости жидкости, - давление. Тогда уравнения Навье - Стокса записываются так:

где - это кинематическая вязкость, - плотность, - внешняя сила, - оператор набла и - оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как или . Это векторное уравнение, которое в трёхмерном случае может быть представлено как три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы, как

то для каждого значения получается соответствующее скалярное уравнение:

Неизвестными величинами являются скорость и давление . Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы - уравнение неразрывности, которое в случае несжимаемой среды преобразуется в условие несжимаемости жидкости:

Начальные условия

Начальные условия к уравнениям Навье-Стокса задаются в виде

,

где - заданная гладкая вектор-функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности

Варианты постановки задачи

Институт Клэя сформулировал два основных варианта постановки задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье - Стокса. В первом варианте уравнения рассматриваются во всём трёхмерном пространстве с некоторыми ограничениями на скорость роста решения на бесконечности. Во втором варианте уравнения рассматриваются на трёхмерном торе с периодическими граничными условиями. Для получения премии достаточно доказать или опровергнуть существование и гладкость решения в любом из двух вариантов.

В трёхмерном пространстве

Пусть начальная скорость - произвольная гладкая функция, удовлетворяющая уравнению неразрывности и такая, что для любого мультииндекса и любого , существует постоянная (зависящая только от и K), такая, что

для всех

Пусть внешняя сила - также гладкая функция, удовлетворяющая аналогичному неравенству (здесь мультииндекс включает также производные по времени):

для всех

Решения должны быть гладкими функциями, которые не возрастают неограниченно при . Требуется выполнение следующих условий:

1. 

2. Существует постоянная такая, что для всех

Первое условие означает, что функции глобально определены и являются гладкими; второе - что кинетическая энергия глобально ограничена.

Требуется доказать одно из двух утверждений:

(A) Существование и гладкость решений уравнений Навье - Стокса в . Положим . Для любого начального условия , удовлетворяющего вышеописанным условиям, существует глобальное гладкое решение уравнений Навье - Стокса, то есть вектор скорости и поле давления , удовлетворяющее условиям 1 и 2.

(B) Несуществование или негладкость решений уравнений Навье - Стокса в . Существует такое начальное условие и внешняя сила , такие, что не существует решений and удовлетворяющих условиям 1 и 2.

Попытки решения

10 января 2014 года казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждает, что дал полное решение проблемы, проверка результата осложнена тем, что работа написана на русском языке. В сообществах математиков обсуждаются контрпримеры к основным утверждениям.