Рабочая программа элективного курса Многогранники

1. Пояснительная записка

Курс посвящен увлекательному разделу геометрии - теории многогранников.

С одной стороны, многогранники имеют тысячелетнюю историю, с другой - это современный раздел математики. Глубокие результаты в ней получены отечественными математиками: Б.Н. Делоне, А.Д. Александровым, А.В. Погореловым и др. Теория многогранников имеет большое значение не только для теоретических исследований по геометрии, но и для областей прикладной математики - линейного программирования, теории оптимального управления и др.

Многогранники интересны и сами по себе. Они имеют красивые формы, например правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, которые связаны с такими знаменитыми учеными древности, как Пифагор, Евклид, Архимед и др.

В природе форму многогранников имеют кристаллы. Свойства кристаллов определяются особенностями их геометрического строения, в частности симметричным расположением атомов в кристаллической решетке.

Формы многогранников используются в архитектурных проектах. Идет это с глубокой древности. Пирамида - это норма тектоники - внутреннего устройства каменных зданий прошлого. Силуэты каменных церквей и соборов, как правило, вписываются в форму пирамиды.

Поэтому эпиграфом к элективному курсу подходят слова Л.Кэрролла:

«Правильных многогранников вызывающе мало,

но этот весьма скромный по численности отряд

сумел пробиться в самые глубины различных наук.»

Элективный курс «Многогранники» направлен для углубления знаний по стереометрии, развития интеллектуальных способностей учащихся 10 классов через углубленное изучение.

Математическое образование играет важную роль, как в практической, так и в духовной жизни общества. Практическая сторона математического образования связана с формированием способов деятельности, духовная - с интеллектуальным развитием человека, формированием характера и общей культуры.

Основная задача обучения математики в школе - обеспечить прочное и сознательное овладение учащимися системой математических знаний и умений, развить у учащихся познавательную активность и любознательность, логическое мышление и пространственное воображение. Значительный вклад в решении обозначенных задач вносит геометрия как учебный предмет.

Целью современного геометрического образования является развитие высокой математической культуры, достижение полного развития тех математических (разумеется, и других) способностей личности, которые вос­требованы ею и обществом.

Школьная геометрия - предмет общекультурного человеческого познания. Суть обучения геометрии состоит не только в формировании специальных геометрических знаний, но и в общем развитии личности, ее умении логически мыслить и доказательно обосновывать истинность или ложность

Соприкосновение с геометрией, ее изучение носят познавательный, воспитательный, развивающий и вдохновляющий характер. Хорошее геометрическое образование, пространственное воображение и логическое мышление, являющиеся неотъемлемыми компонентами математической культуры личности, необходимы не только математику, но и инженеру, и экономисту, и дизайнеру, и юристу, и программисту, а также специалистам многих и многих других профессий

Многогранники составляют основу стереометрии. От того, насколько хорошо освоено это понятие, во многом зависит успешность изучения всей геометрии. В данном курсе рассматриваются свойства многогранников, изучение которых выходит за рамки школьной программы.

Цель курса: рассмотреть свойства многогранников, расширить и углубить геометрические представления учащихся.

Главная задача курса: приобретение глубоких и прочных знаний по геометрии, становление творческой личности, востребованной в любой сфере интеллектуальной деятельности.

Наряду с решением основной задачи данный курс предусматривает формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие их геометрических способностей, ориентацию на профессии, требующие математической подготовки, подготовку к ЕГЭ.

Программа составлена на основе программы курса по выбору. 10-11 класс «Многогранники» авторов И.М. Смирновой, В.А. Смирнова М.: Мнемозина, 2007 г., которая рассчитана на 34 часа.

Но с учетом того, что данный курс рассматривает такой материал который не изучается в курсе геометрии основной школы, для прочного усвоения материала добавляется по 2 часа: на тему «Изготовление моделей правильных многогранников» и «Защита творческих проектов».

2. Учебно - тематический план.

№

п\п

Темы

Количество

часов

Форма контроля

1

С чего все начиналось.

1

2

Что такое правильный многогранник.

1

3

Многогранные углы.

2

4

Тетраэдр.

2

Самостоятельная работа

5

Выпуклые многогранники.

1

6

Сечения многогранников.

2

Индивидуальные задания

7

Теорема Эйлера.

2

8

Правильные многогранники.

2

9

Каскады из правильных многогранников.

2

10

Полуправильные многогранники.

2

Самостоятельная работа

11

Звездчатые многогранники.

1

12

Моделирование многогранников.

2

13

Кристаллы - природные многогранники.

1

Индивидуальные задания

14

Аналитическое задание многогранников.

2

15

Многогранники и оптимальное управление.

2

16

Изображение многогранников в компьютерной системе «Математика».

2

17.

Использование компьютерной системы «Maple» для изображения многогранников.

2

18

Изготовление моделей правильных многогранников

2

19

Защита творческих проектов

3

Итого

34

3. Методическая часть.

1. С чего все начиналось.

На данном занятии организовать обобщающую беседу по историческим сведениям. Рассмотреть, какие древние ученые изучали правильные многогранники. Рассмотреть, какое место занимают правильные многогранники в философской картине мира Древней Греции.

2. Что такое правильный многогранник.

Дать определение правильному многограннику; рассмотреть виды правильных многогранников (выпуклые и невыпуклые), элементы; решить задачу о двугранных углах тетраэдра.

3. Многогранные углы.

Дать определение многогранные углы, научиться находить их.

4.Тетраэдр.

Рассмотреть свойства тетраэдра, их доказательство, а так же применение свойств при решении задач.

5. Выпуклые многогранники.

Рассмотреть выпуклые многогранники.

6. Сечения многогранников.

Рассмотреть построение сечения многогранников.

7. Формула Эйлера.

Можно учащихся дать задание: приготовить доклады о жизни деятельности Л.Эйлера. Рассмотреть теорему Эйлера ( в сильном классе можно предложить доказательство), применить формулу для правильных многогранников( учащиеся должны заполнить таблицу), а так же рассмотреть доказательство различными способами существование только пяти правильных многогранников.

8. Правильные многогранники.

Рассмотреть формулы: нахождения апофемы грани, площадь грани, площадь полной поверхности правильных многогранников, а так же величину двугранных углов каждого из правильных многогранников.Применить изученные свойства при решении задач.

9.Каскады правильных многогранников.

Рассмотреть такое свойство многогранников как двойственность. Рассмотреть взаимно двойственные многогранники. Рассмотреть каскадное вписывание правильных многогранников. Решение задач по данной теме.

10.Полуправильные многогранники.

Дать определение полуправильному многограннику; рассмотреть виды полуправильных многогранников (выпуклые и невыпуклые), элементы; решить задачу. Рассмотреть 13 полуправильных многогранников: Кубооктаэдр , икосододекаэдр ,усеченный тетраэдр, усечённый куб ,усечённый октаэдр , усечённый додекаэдр ,усечённый икосаэдр, ромбокубооктаэдр , ромбоусечённый кубоктаэдр, ромбоикосододекаэдр , ромбоусечённый икосододекаэдр ,курносый куб курносый додекаэдр

11. Звездчатые многогранники.

Дать определение звездчатому многограннику; рассмотреть виды

12. Моделирование правильных многогранников.

Изучить развертки правильных многогранников, познакомиться со способом изготовления моделей правильных многогранников, описанным М.Веннинджером в книге «Модели многогранников». Рассмотреть теорию Кеплера и с помощью математических выкладок ее опровергнуть.Учащимся можно дать задание: найти сведения о жизни и деятельности И.Кеплера.Рассмотреть, где в природе встречаются правильные многогранники.Рассмотреть задачи прикладного характера по данной теме.

13. Кристаллы - природные многогранники.

Исследовать кристаллы, которые являются природные многогранники. Кристаллы поваренной соли имеют форму куба. При производстве алюминия пользуются алюминиево-калиевыми кварцами, монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана. Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра. В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий - вещество, синтезированное учёными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник - икосаэдр передаёт форму кристаллов бора.

14. Аналитическое задание многогранников.

Рассмотреть формулы - аналитического задания многогранников. Как выпуклые многогранники можно трактовать аналитически - с помощью системы линейных неравенств.

15. Многогранники и оптимальное управление.

16.Изображение многогранников в компьютерной системе «Математика».

17. Защита проектов учащихся.

В начале изучения курса, предложить учащимся создать проекты. Примерные темы для проектов:

• «Правильные многогранники в искусстве».

• «Философия правильных многогранников».

• «Многогранники в жизни».

• «Многогранники вокруг нас или мы внутри многогранника".

• «Многогранники в архитектуре» .

• «Тела Архимеда».

• «Многогранники в ювелирном деле».

• «Платоновы тела».

• «Снежинки - звездчатые многогранники».

• «Тела Кеплера - Пуасо».

• «Многогранники в живописи».

• «Многогранники в природе» и т.д.

Требования к уровню подготовки учащихся

Знать/уметь:

- правильно употреблять термины, связанные с понятиями ломаная, многогранник, паркет;

- решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства многогранников и отношений между ними, применяя дополнительные построения

- изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразование фигур

- проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя теорию Кеплера и с помощью математических выкладок ее опровергнуть.

- изучить замечательные точи и линии в треугольнике

- знать характеристические свойства вписанных и описанных многогранников

- знать формулы: нахождения апофемы грани, площадь грани, площадь полной поверхности правильных многогранников, а так же величину двугранных углов каждого из правильных многогранников. Применить изученные свойства при решении задач.

- знать современные направления развития геометрии и их приложения

- уметь строить многогранники и их сечения.

Формы контроля уровня достижений учащихся и критерии оценки.

Текущий контроль знаний осуществляется по результатам выполнения учащимися практических заданий.

Итоговый контроль реализуется в форме защита проекта.

4.Литература.

1. Геометрия, 10-11: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.-М.: Просвещение, 2008. - 256 с.

2. И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. Геометрия. Учебник. 10-11 классов общеобр. Учреждений. - М: Мнемозина, 2008.

3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Многогранники. Элективный курс для учащихся 10-11 классов общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2007.

4. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992.

5. Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.