Статья Развитие комбинаторного мышления

Развитие комбинаторного стиля мышления и вероятностно-статистической грамотности у выпускников неполной средней школы в процессе решения задач по математике

Л.В. Орлова (Россия, Талица)

e-mail: [email protected]

С.Ю. Малышкина (Россия, Талица)

e-mail: [email protected]

Один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в школьные программы элементов статистики и теории вероятностей. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно-статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Современные физика, химия, биология, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно статистической базе. И, без соответствующей подготовки, невозможно полноценное изучение этих дисциплин уже в средней школе. Умение логически рассуждать, вариативно мыслить является показателем общей культуры мышления человека.

Под комбинаторным мышлением понимают мышление, реализуемое посредством мыслительных операций, направленное на выделение конечных вариантов рассматриваемых явлений и понятий. Для развития комбинаторного стиля мышления у выпускников неполной школы необходимо, чтобы учащиеся:

- умели находить как можно больше вариантов подхода к одной и той же проблеме, а так же могли выбрать оптимальный, исходя из поставленных целей и задач;

- умели рассматривать собственные действия и действия других с различных точек зрения, развивая тем самым критический и рефлексивный компоненты;

- смогли, применяя ряд мыслительных операций, переформулировать задачу, подходить к её решению и оформлению с различных позиций;

- смогли осуществить выбор способа саморазвития, выстраивания своей профессиональной культуры.¹

Все входящие в систему могут реализовываться как каждый в отдельности, так и в единой цепочке.

В настоящее время элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности включены в Федеральный государственный стандарт второго поколения. Уже в первом пункте основных требований понятие вероятность стоит в ряду с числом, геометрической фигурой, уравнением и функцией, а также требуется овладеть основными способами представления и анализа статистических данных.

При изучении элементов статистики и теории вероятностей в школе нужно: дать законченное элементарное представление об элементах статистики и теории вероятностей и их тесной взаимосвязи; подчеркивать тесную связь этих разделов математики с окружающим миром, как на стадии введения математических понятий, так и на стадии использования полученных результатов; избегать утративших свою актуальность для общества примеров и задач, в том числе задач из азартных игр (привлекать самые различные источники от государственной статистики до примеров из повседневной жизни учащихся, биометрические данные человека, школьные оценки, показатели физического развития и т.п.) иллюстрировать материал яркими, доступными и запоминающимися примерами. Все это, безусловно, будет способствовать усвоению простых, но принципиально новых для учащихся понятий, росту интереса учащихся к математике в целом, формированию современного мировоззрения и умения ориентироваться в изменчивом информационном мире..

Особенностью экзамена 2011в форме ГИА было включение в 17 и 18 задание экзаменационной работы элементов теории вероятностей. В спецификации 17 задание - вычисление вероятности события по частоте, 18 - вычисление средних результатов измерения. Получилась ситуация, что ни учителя, ни ученики не были готовы к этому. В учебниках, по которым в основном работают в школах, нет теоретического материала и тренировочных упражнений по статистике и вероятности.

В связи с тем, что наш муниципальный округ расположен далеко от областного центра и сказывается отсутствие литературы по данным темам мы в соавторстве с Орловой Л.В. - руководителем РМО математиков Талицкого городского округа подобрали и систематизировали материал, позволяющий развивать комбинаторный стиль мышления и вероятностно-статистическую грамотность у выпускников неполной средней школы в процессе решения задач по математике и подготовить их к итоговой аттестации.

В основу конструирования технологии положена следующая структура: а) концептуальная основа; б) содержательная часть обучения: цели обучения - общие и конкретные; содержание учебного материала; в) процессуальная часть - технологический процесс: организация учебного процесса; методы и формы учебной деятельности школьников; методы и формы работы учителя; деятельность учителя по управлению процессом усвоения материала; диагностика учебного процесса.

Содержательную основу технологии составляет разработанный комплекс занятий по темам: «Комбинаторика», «Теория вероятности», «Статистика» и «Тренировочные задачи». Методический комплекс содержит в себе: пособие для учителя, пособие для учащихся и три мультимедийные презентации по названным темам. Весь разработанный материал в электронном виде выдан учащимся для самостоятельной работы при выполнении домашнего задания.

Весь материал разбит на 3 темы: «Описательная комбинаторика», «Классическое определение вероятности», «Статистические характеристики». Курс рассчитан на 8 уроков. На каждую тему 2 урока. Первый урок : сообщение учителя, просмотр презентации, запись в тетрадь основных типов задач. Второй урок: решение задач из сборника самостоятельно (все задачи даны с образцами и ответами), учитель выступает в роли консультанта. В конце второго урока небольшая проверочная работа. Домашнее задание обязательно. На 7 уроке проводится тестирование по всем темам. Последний 8 урок отводится на анализ работы и коррекцию ошибок.

Содержание уроков рассчитано на подготовку к ГИА всех учеников, даже слабоуспевающих по математике. Для сильных учеников можно использовать дополнительные задачи из «Сборника заданий для подготовки к ГИА в 9 классе»². В этом сборнике собраны задачи повышенного уровня. Для проведения проверочных работ составлены раздаточные карточки .

В презентации по темам включены теоретические вопросы и примерные задачи с решением. В пособии для учителя эти темы раскрыты более полно и глубоко, так как многие учителя, не имеющие практики в решении комбинаторных и вероятностных задач, испытывают определённые трудности.

Уроки включаются в курс алгебры 9 класса.

Как пример приведём выдержки из темы «Вероятность».

Учащемуся даётся классическое определение вероятности: «Вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания» и задача с решением.

«Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется согласной?

Решение: Всего исходов (букв) - 7. Значит n=7. Благоприятных исходов(согласных букв) - 4. M=4. Поэтому вероятность равна 4/7.

Ответ.4/7.»

В разделе для самостоятельного решения даётся задача: «Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?»

И так несколько задач разных уровней. Можно заметить доступность этого материала. В пособии для учителя, кроме классического определения, даётся понятие относительной частоты события, статистическая вероятность и подробно разобраны задачи по этим темам.

Тема «Комбинаторика» изучается без формул. Для решения простых комбинаторных задач достаточно знать правило умножения и уметь составлять комбинации из данных элементов. При изучении статистических характеристик (среднее арифметическое, мода, размах, медиана) нужно использовать фактический материал школы, класса. Среднее арифметическое - средний рост и вес учащихся, средняя оценка по математике. Мода - популярное имя школы. Размах - модуль разности возрастов учащихся школы самого старшего и самого младшего из учащихся.

Комплекс занятий был исследован на базе МОУ «Талицкая СОШ № 55» и «Горбуновская СОШ» Талицкого района, Свердловской области.

Проводимое исследование показало эффективность предлагаемой технологии: на этапе констатирующего исследования учащимися было решено 125 задач из тренировочных заданий к ГИА - 9. Из 9-х классов экзамен по математике в форме ГИА сдавали 24 учащихся, с выполнением заданий по теории вероятности справились 100% и статистике - 96%.

Как показала практика, учащиеся с интересом занимались на этих уроках. Во-первых, была мотивация: подготовка к ГИА. Во-вторых, материал не требует глубоких знаний теории алгебры, достаточно иметь прочные вычислительные навыки. В-третьих, задачи по содержанию практико-ориентированные, составленные из реальных фактов.

Если комбинаторным и вероятностным задачам учить с 5 класса, как того и требует новый стандарт, данный комплект можно использовать как повторение при подготовке к итоговой аттестации учащихся 9 класса. В этом году задания по теории вероятностей включены в ЕГЭ по математике выпускников средней школы. Требуется вычислить вероятность события по классическому определению вероятности. Для подготовки учащихся 11 класса для самостоятельной работы можно дать это пособие с дисками.

Умение решать задачи, разрабатывать стратегию решения и доказывать гипотезы, прогнозировать результаты своей деятельности, анализировать и находить рациональные способы решения задачи путём оптимизации, различных вариантов перебора с использованием логических операций позволяет судить об уровне комбинаторного стиля мышления и вероятностно-статистической грамотности школьников. Необходимость поиска эффективных средств развития комбинаторного стиля мышления и вероятностно-статистической грамотности у школьников обусловлена его значимостью для дальнейшей самореализации личности в современном обществе.

1 Попова, Т. Г. О важности развития комбинаторно-логического мышления старшеклассников / Т. Г. Попова // Известия РГПУ, 2008. - № 24 (55). - с. 428 - 432.

2 Алгебра: сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе./[Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др]. - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 239с.

3