Конспект урока по геометрии «Перпендикулярность прямой и плоскости. Решение задач»

Конспект урока по геометрии для учащихся 10 класса средних общеобразовательных учреждений.

Выполнила: Тельгаева О. А.

Тема урока: «Перпендикулярность прямой и плоскости. Решение задач»

Цель:

- образовательная: закрепить знания по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;

- развивающая: развитие пространственного воображения, умения правильно излагать свои мысли, умения анализировать, выделять главное, обобщать и делать выводы;

- воспитательная: воспитание внимания, аккуратности, дисциплинированности, добросовестного отношения к работе, интереса к предмету.

Тип урока: закрепление изученного материала.

Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный, индуктивно-репродуктивный.

Требования к знаниям, умениям, навыкам:

- учащиеся должны знать определение перпендикулярных прямых в пространстве, определение прямой перпендикулярной к плоскости, теорему о двух перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей, теорему о связи двух параллельных прямых и их перпендикулярностью к плоскости и обратную ей теорему, признак перпендикулярности прямой и плоскости;

- учащиеся должны уметь применять определения и теоремы при решении задач.

Литература:

«Геометрия. 10-11 класс», Л. С. Атанасян и др., М.: Просвещение, 2007 г. 256 с.;

«Изучение геометрии в 10-11 классах. Книга для учителя», С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов, 2010 г., 248 с.

План урока:

1. Организационный момент (2 мин.)

2. Актуализация знаний (7 мин.)

3. Решение задач (33 мин.)

4. Подведение итогов и домашнее задание (3мин.)

Ход урока

1. Организационный момент включает в себя приветствие учителем класса, проверку отсутствующих, готовность помещения к уроку.

1. Учитель: На прошлом уроке мы начали изучать новую тему «Перпендикулярность прямой и плоскости». Сегодня на уроке мы закрепим полученные знания решением задач. Прежде чем приступить к решению задач вспомним какие прямые называются перпендикулярными в пространстве?

Ученик: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90º.

Учитель: Всегда ли перпендикулярные прямые в пространстве должны пересекаться?

Ученик: Нет. Они могут быть и скрещивающимися.

Учитель: Сформулируйте лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой.

Ученик: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Учитель: Какая прямая называется перпендикулярной к плоскости?

Ученик: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Учитель: Продолжите предложение: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то...

Ученик: и другая прямая также перпендикулярна к этой плоскости.

Учитель: Сформулируйте обратную теорему.

Ученик: Если две прямые перпендикулярны плоскости, то они параллельны

Учитель: Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Ученик: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, то она перпендикулярна к плоскости.

Учитель: Сформулируйте теорему о единственности перпендикулярной прямой к плоскости.

Ученик: Через любую точку пространства проходит прямая перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Учитель: Все ли справились с домашним заданием? Есть ли вопросы?

(если есть вопросы, то идет совместный разбор домашнего задания)

2. Учитель: Перейдем к решению задач. №120.

Через О - точку пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна а, проведена прямая ОК перпендикулярная к плоскости квадрата. Найти расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b.

Ученик:

Действия ученика

Система вопросов к задаче

(запись на доске и в тетрадях)

Учитель: Что требуется найти?

Ученик: KD, KC, KA, KB.

Учитель: Как будем искать?

Ученик: Рассмотрим треугольник KOD, KOC, KOB, KOA.

Учитель: Чем является KD, KC, KA, KB в этих треугольниках?

Ученик: гипотенузой.

Учитель: Что известно в этих треугольниках?

Ученик: КО.

Учитель: Что можем найти?

Ученик: OD, OC, BO, AO. Так как О - точка пересечения диагоналей квадрата, а диагональ можно найти так как известна сторона.

Учитель: Что можно сказать про треугольники KOD, KOC, KOB, KOA?

Ученик: Так как ОК - общая, OD, OC, BO, AO - равны и все они прямоугольные, эти треугольники равны.

И значит KD, KC, KA, KB - равны.

Дано: OK┴(ABCD),

OK = b, AB = BC = CD = AD = a.

Найти: KD, KC, KA, KB.

Решение: 1) Так как О - точка пересечения диагоналей, то AО = BО = ОD = ОС.

2) Δ ABD: AB=AD=a, BD ==a

AO=

3) Δ KOD, Δ KOC, Δ KOB, Δ KOA: КО - общая, ∠ KOD=∠KOC=∠KOB=∠KOA, AО = BО = ОD = ОС, значит Δ KOD=Δ KOC= Δ KOB=Δ KOA. Значит KD=KC= KA=KB.

4) Рассмотрим прямоугольный Δ KOD: КD ==

Ответ: KD=KC= KA=KB=

Учитель: При решении данной задачи мы с вами пользовались определением перпендикулярной прямой к плоскости, вспомнили свойство диагоналей квадрата, теорему Пифагора, признак равенства треугольников.

№ 121. В треугольнике АВС дано: ∠С=90˚, АС=6 см, ВС=8см, СМ - медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК=12 см. Найти КМ.

Действия ученика

Система вопросов к задаче

(запись на доске и в тетрадях)

Учитель: Что требуется найти?

Ученик: KМ.

Учитель: Как будем искать?

Ученик: Из ΔKCМ.

Учитель: Чем является KМ в этом треугольнике?

Ученик: гипотенузой. Так как КС┴(АВС), а значит КС┴СМ.

Учитель: Что известно в ΔKCМ?

Ученик: КС.

Учитель: Что можно ещё найти?

Ученик: СМ - медиана прямоугольного Δ АВС, а она равна половине гипотенузы.

Учитель: Как найти гипотенузу ΔАВС?

Ученик: По теореме Пифагора из Δ АВС.

Дано: ΔАВС, ∠С = 90˚, АС = 6, ВС=8, СМ - медиана, СК=12.

Найти: KМ.

Решение: 1) Так как КС┴(АВС), а значит КС┴СМ, а значит ΔKCМ - прямоугольный.

2) КМ = =. Найдем СМ.

3) СМ - медиана в ΔАВС, значит СМ = АВ.

4) Δ ABС: ∠С = 90˚, АС = 6, ВС=8, BС == 10.

4) СМ=5, КМ = ==13

Ответ: KМ =13

Учитель: При решении данной задачи мы использовали определение прямой перпендикулярной плоскости, свойство медианы прямоугольного треугольника, теорему Пифагора.

Учитель:

№ 126. Прямая МВ перпендикулярна к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. Определите вид Δ МВD, где D - произвольная точка прямой АС.

Ученик:

Действия ученика

Система вопросов к задаче

(запись на доске и в тетрадях)

Учитель: Что требуется найти?

Ученик: вид ΔМВD.

Учитель: Что известно в задаче?

Ученик: МВ┴AB, МВ┴ВС.

Учитель: МВ перпендикулярна двум прямым. Какими прямыми являются АВ и ВС?

Ученик: Пересекающимися.

Учитель: А если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то что это значит?

Ученик: Что она перпендикулярна к данной плоскости.

Учитель: А что следует из того, что прямая перпендикулярна к плоскости?

Ученик: Она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в данной плоскости.

Учитель: МВ┴ВD. Что мы можем сказать про вид ΔМВD?

Ученик: Он прямоугольный.

Дано: МВ┴AB, МВ┴ВС, D - произвольная точка прямой АС.

Найти: вид ΔМВD.

Решение: Так как МВ┴AB, МВ┴ВС, то МВ┴(ABС) (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

Значит МВ┴ВD, а следовательно ΔМВD - прямоугольный.

Ответ: ΔМВD - прямоугольный.

Учитель: При решении данной задачи мы воспользовались признаком перпендикулярности прямой и плоскости, а также определением прямой перпендикулярной плоскости.

3. Учитель: Итак, на сегодняшнем уроке вы узнали, как можно использовать определение прямой перпендикулярной плоскости, признак перпендикулярности прямой и плоскости при решении задач, а так же вспомнили многое из планиметрии. Записываем домашнее задание:

(запись на доске и в тетрадях)

№129(б), №130(а).

Учитель: Урок окончен.