Разработка урока - модуля Решение тригонометрических уравнений

Предмет: алгебра и начала анализа

Тема. "Решение тригонометрических уравнений"

Цели:

Формировать у учащихся навыки решения некоторых видов тригонометрических уравнений.

Развивать: - представления о тригонометрических уравнениях как об уравнениях, сводящихся к алгебраическим уравнениям;

- практические навыки при решении тригонометрических уравнений;

- умение работать со справочной литературой; по заданному алгоритму; математически грамотно давать объяснения, как в устной, так и письменной форме.

Содействовать воспитанию у учащихся интереса к изучению данной темы, организованности, культуры и дисциплины умственного труда, формированию самообразовательной, коммуникативной, социальной и информационной компетентностей.

Оборудование:

• карточки, доска, таблицы;

• задания на печатной основе;

• блок-схема по решению тригонометрических уравнений;

• справочные пособия.

Тип модуля: семинар по изучению нового материала ( дополнительный объём)

Формы и методы работы.

Первый мини-модуль.

1. Организационный момент.

2. Тема и цели урока (беседа).

3. Прикладная направленность данной темы (сообщения учащихся).

4. «Лови ошибку» (актуализация опорных знаний).

5. «Повторяем вместе» (фронтально).

6. «Ажурная пилка» (коллективная групповая деятельность): «Обучая других - учусь сам».

7. Итог: «Создай свой ОК».

Второй мини-модуль.

1. Цели, план работы.

2. «Ажурная пилка» (работа в «домашних» группах). «Проверь себя сам».

3. Промежуточный итог (слово учителя).

4. Разбор блок - схемы «Спасательный алгоритм» (коллективная деятельность).

5. Решение тригонометрических уравнений, используя блок - схему «Спасательный алгоритм», под руководством учителя.

6. Итог. «Незаконченное предложение».

Третий мини - модуль.

1. Цели, план работы.

2. Самостоятельная деятельность (коллективная групповая работа).

3. Задание Д/З (дифференцированно, массивом)

4. Итог урока. Метод «Пресс».

Содержание урока

Виды компетентностей

1. Организационный момент.

Слово учителя.

2. Сообщение темы урока. Определение целей на модуль.

3. Мотивация учебной деятельности.

Прикладная направленность данной темы.

( Учащиеся на примерах знакомят с применением тригонометрических уравнений для решения задач в других областях науки)

4. Актуализация опорных знаний.

1. «Лови ошибку».

Учащимся предлагается найти ошибку в решении простейших тригонометрических уравнений.

2. «Повторяем вместе»

Каждая «домашняя» группа предлагает формулы для повторения, учитывая предварительную подготовку к уроку.

5. «Ажурная пилка».

Работа в «экспертных» группах. В процессе учебной деятельности учащиеся должны научиться решать тригонометрические уравнения трёх видов.

6. Подведение итогов.

Группы составляют опорный конспект: «Алгоритмы решения данных уравнений»

7. Постановка целей и сообщение плана работы на второй мини - модуль.

8. «Ажурная пилка»

9. Работа в «домашних» группах.

«Проверь себя сам»

(учащимся предлагается решить тригонометрические уравнения трёх изученных видов на печатной основе (два варианта, см. Приложение №1); после чего они могут их самостоятельно проверить, используя образцы решения этих уравнений и выполнить самокоррекцию или убедиться в правильности своих действий; они также могут обратиться за помощью к членам своей группы)

10. Промежуточный итог.

Слово учителя.

В чём причина затруднений при решении школьниками тригонометрических уравнений?

Установить факт, что уравнение является тригонометрическим нетрудно. Сложности возникают при нахождении порядка действий, которые бы привели к положительному результату.

Чтобы помочь вам найти верную дорогу в сложном лабиринте тригонометрических уравнений мы сначала познакомились с уравнениями, которые после введения новой переменной приводились к квадратным. Затем решали однородные уравнения и уравнения, левую часть которых можно было разложить на множители, а затем каждый из них приравнять к нулю.

А сейчас, перед тем как пустить вас в самостоятельное плавание по тригонометрическому «морю», я предлагаю вам алгоритм решения тригонометрических уравнений, оформленный в виде блок - схемы.

11. Знакомство с блок - схемой и её применением.

Решение тригонометрических уравнений под руководством учителя.

12. Итог.

Чтобы решить тригонометрическое уравнение, надо попытаться…….

- сделать у функций, входящих в уравнение, «одинаковые углы»;

- привести уравнение к «одинаковым функциям»;

- разложить левую часть уравнения на множители и т. п.

13. Самостоятельная деятельность учащихся по формированию умений и навыков решения тригонометрических уравнений с использованием блок - схемы (работа в группах, парах)

14. Задание Д/З ( дифференцированно, массивом по сб. Федченко)

15. Итог урока. Метод «Пресс».

Социальная

Информационная

Коммуникативная,

социальная,

самообразовательная

Информационная,

самообразовательная,

социальная,

коммуникативная

Самообразовательная,

социальная

Информационная,

социальная,

самообразовательная,

коммуникативная

Приложение №1

I вариант

№ 1 6 cos² x + cos x - 1 = 0

Пусть y = …………., тогда 6……..+ …… - 1 = 0

D = b² - 4ac, D =……………………………………..

Т. к. D >0, то y₁ =………………………, y₂ =………………….., т.к. y = ……….., то

cos x = ……….. или cos x = ……………

x =……………………….. x = ……………………….

x₁ =……………………….. x₂ = ……………………….

Ответ:……………………………………………………………………….

№ 2 2cos² x + sin x + 1 = 0

2( 1 -……….) + sin x + 1 = 0

2 - 2 ……….+ sin x + 1 + 0

-2……… + sin x - …….. = 0

2……….+ sin x - ……= 0

Пусть y = ……….., тогда 2……. - y - …….= 0

D = ……………………………………………….

Т.к. D>0, то y₁ = ………………………, y₂= …………………………., т.к. y = ……….., то

sin x = ……….. или sin x = ……………

x =……………………….. Уравнение не имеет решений, т.к.

x₁ =……………………….. …………………..

Ответ:……………………………………………….

№ 3 tg x - 2ctg x + 1 = 0

tg x - 2 …./….. + 1 = 0, y = tg x, …… - 2 / ….. + 1 = 0,

y² +y - 2 = 0, D = ………………….., y₁=……………….., y₂=………………..

tg x = …….; x = ………………………..; x =………………………………,

tg x = ……., x =…………………………, x = ………………………………

Ответ: ……………………………………………….

№ 4 3sin² x + 4sinxcos x + cos² x = 0

3……. + 4………+ 1 = 0

Пусть y = …….., тогда 3…. + 4 …. + 1 = 0

D = …………………………….., y₁ = …………………, y₂ = ………………..

tg x = …….., x = ………………………….., x = ………………………….

tg x = …….., x = ………………………….., x = …………………………

Ответ: …………………………………………………………………………….

№ 5 sin²x + sin 2x = 0

sin²x + 2………….. = 0

sin x (…….. + 2……..) = 0

sin x = 0, x = ……………………….. или

…...... + 2……… = 0, …….. + 2 = 0, ……… = -2, x = …………………..

Ответ: …………………………………………………………………………….

№ 6 cos 5x - cos 3x = 0

-2sin…………..sin …..……… = 0

-2sin…....sin ….... = 0

sin…....= 0; 4x = …………………….; x =………………………………,

sin …... = 0, x =……………………… x = …………………………….

Ответ: …………………………………………………………………………….

II вариант

№ 1 2sin² x + sin x - 1 = 0

Пусть y = …………., тогда 2……..+ …… - 1 = 0

D = b² - 4ac, D =……………………………………..

Т. к. D >0, то y₁ =………………………, y₂ =………………….., т.к. y = ……….., то

sin x = ……….. или sin x = ……………

x =……………………….. x = ……………………….

x₁ =……………………….. x₂ = ……………………….

Ответ:……………………………………………………………………….

№ 2 6sin² x +5cos x - 2 = 0

6( 1 -……….) + 5cos x - 2 = 0

6 - 6 ……….+ 5cos x - 2 = 0

-6……… + 5cos x + …….. = 0

6………. - 5cos x - ……= 0

Пусть y = ……….., тогда 6……. -5 y - …….= 0

D = ……………………………………………….

Т.к. D>0, то y₁ = ………………………, y₂= …………………………., т.к. y = ……….., то

cos x = ……….. или cos x = ……………

x =……………………….. Уравнение не имеет решений, т.к.

x₁ =……………………….. …………………..

Ответ:……………………………………………….

№ 3 tg x + 2ctg x - 3 = 0

tg x + 2 …./….. - 3 = 0, y = tg x, …… + 2 / ….. - 3 = 0,

y² - 3y + 2 = 0, D = ………………….., y₁=……………….., y₂=………………..

tg x = …….; x = ………………………..; x =………………………………,

tg x = ……., x =…………………………, x = ………………………………

Ответ: ……………………………………………….

№ 4 9sinxcos x - 7 cos² x = 2sin² x

9..…… - 7 - 2……... = 0

-2……… + 9…….. - 7 = 0

Пусть y = …….., тогда 2…. - 9 …. + 7 = 0

D = …………………………….., y₁ = …………………, y₂ = ………………..

tg x = …….., x = ………………………….., x = ………………………….

tg x = …….., x = ………………………….., x = …………………………

Ответ: …………………………………………………………………………….

№ 5 4sin²x - sin 2x = 0

4 sin²x - 2………….. = 0

2 sin x ( 2……. - ……..) = 0

sin x = 0, x = ……………………….. или

2…...... - ……… = 0, 2 …….. - 1 = 0, ……… = 1/2, x = …………………..

Ответ: …………………………………………………………………………….

№ 6 cos 6x + cos 2x = 0

2 cos ………….cos …..……… = 0

2 cos…......cos ..….... = 0

cos…....= 0; 4x = …………………….; x =………………………………,

cos …... = 0, 2x =……………………… x = …………………………….

Ответ: …………………………………………………………………………….

Блок # 1. Формулы приведения тригонометрических функций к одинаковым углам:

1. sin2a = 2 sina . cosa 3. 2sin ² a/2 = 1 - cosa

2. cos2a = cos² a - sin ² a 4. 2cos ² a/2 = 1 + cosa

Блок # 2. Формулы приведения тригонометрических уравнений к одинаковым функциям:

1. cos ² a = 1 - sin ² a 3. ctga = 1 / tga

2. sin ² a = 1 - cos ² a 4. tga = 1 / ctga

5. Формулы приведения

Блок # 3. Формулы приведения тригонометрических уравнений к функциям синус и косинус:

1. tga = sina / cosa 2. ctga = cosa / sina

Блок # 4. Формулы изменения углов в тригонометрических уравнениях:

1. cos2a = cos ² a - sin ² a 5. cos3а =4cos³ а - 3 cos а

2. sin2a = 2 sina · cosa 6. sin3a =3sin a - 4sin³ a

3. cos а = 2 cos² a/2 - 1

4. cos а = 1 - 2 sin ² a /2

Блок # 5. Формулы и приемы разложения левой части тригонометрического уравнения на множители:

1. Вынесение за скобку. 7. а² - b² = (a - b)(a + b)

2. Способ группировки. 8. a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)

3. sina + sinb = 2 sin(a + b)/2 · cos(a - b)/2 9. a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

4. sina - sinb = 2 cos(a + b)/2 · sin(a - b)/2 10. a² + 2ab + b² = (a + b)²

5. cosa + cosb=2 cos(a + b)/2 · cos(a - b)/2 11. a² - 2ab + b² = (a - b)²

6. cosa - cosb = -2 sin(a + b)/2 · sin(a - b)/2

Определение 1. Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком тригонометрических функций.

Определение 2. Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые углы, если все тригонометрические функции, входящие в него, имеют равные аргументы.

Говорят, что в тригонометрическом уравнении одинаковые функции, если оно содержит только одну из тригонометрических функций.

Определение 3. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней, входящих в него переменных.

Определение 4. Степенью одночлена, содержащего тригонометрические функции, называется сумма показателей степеней тригонометрических функций, входящих в него.

Определение 5. Уравнение называется однородным, если все одночлены, входящие в него, имеют одну и ту же степень. Эта степень называется порядком уравнения.

Например, уравнения вида: asinx + bcosx = 0 (однородное 1-й степени); asin²x + bsinxcosx + ccos²x = 0 (однородное 2-й степени); asin³x + bsin²xcosx + csinxcos²x + + dcos³x = 0(однородное 3-й степени). Сумма показателей степеней каждого слагаемого должна быть одинаковой. Эта сумма называется степенью однородного уравнения.

Определение 6. Тригонометрическое уравнение, содержащее только функции sin и cos, называется однородным, если все одночлены относительно тригонометрических функций имеют одинаковую степень, а сами тригонометрические функции имеют равные углы и число одночленов на 1 больше порядка уравнения (смотри выше примеры уравнений).

Определение 7. Тригонометрическое уравнение называется почти однородным, если один одночлен является числом, а степени остальных одночленов равны.

Например, уравнение: cos²x - 3cosxsinx + 1 = 0 - почти однородное 2-го порядка.

Определение 8. Уравнения вида: asin²x + bsinx + c = 0; asin²x + bcosx + c = 0; acos²x + bsinx + c = 0; atgx + bctgx = 0 и другие - не являются алгебраическими, но их можно привести к алгебраическим, введя новую переменную (sinx = t , cosx = t или tgx = t), относительно тригонометрической функции получится квадратное уравнение.