Открытый урок по математике по теме «Интегрирование по частям»

Тема: Интегрирование по частям

Тип занятия: практическое занятие

Цели урока:
- научить учащихся находить интегралы путем интегрирования функции по частям.

- воспитать самостоятельность, внимательность.

- развить умения и навыки решения задач на нахождение интегралов особого вида.

Ход занятия:

I. Орг. момент.

Приветствие, проверка присутствующих, проверка готовности аудитории к занятию, проверка присутствующих. Объявление темы и хода занятия.

II. Изложение нового материала.

Интегрирование по частям - приём, который применяется почти так же часто, как и замена переменной. Пусть u(x) и v(x) - функции, имеющие непрерывные частные производные. Тогда по формуле дифференцирования произведения d(uv) = u∙dv + v∙du . Находим неопределённые интегралы для обеих частей этого равенства (при этом ):
.
Эта формула и называется формулой интегрирования по частям. Часто ее записывают в производных (dv = v'∙dx , du = u'∙dx):

.

Примеры:
. .
Формула интегрирования по частям может применяться неоднократно. При наличии небольшого опыта в простых интегралах нет необходимости выписывать промежуточные выкладки (u = …, dv = …), можно сразу применять формулу, представив интеграл в виде : .

Приведённые примеры показывают, для каких функций надо применять (или попытаться применить) формулу интегрирования по частям:
Интегралы вида , , , где P_n(x) - многочлен n-ой степени. Так, для имеем , , и . В результате мы получили интеграл того же типа с многочленом степени на единицу меньше. После n-кратного применения формулы степень многочлена уменьшится до нуля, т.е. многочлен превратится в постоянную, и интеграл сведётся к табличному.
Интегралы , где - трансцендентная функция, имеющая дробно-рациональную или дробно-иррациональную производную (ln x, arctg x, arcctg x, arcsin x, arcos x). В этом случае имеет смысл взять u = f(x), dv = P_n(x)dx, для того, чтобы в интеграле участвовала не f(x), а её производная.

Пример: .
Для некоторых функций применяется приём "сведения интеграла к самому себе". С помощью интегрирования по частям (возможно, неоднократного) интеграл выражается через такой же интеграл; в результате получается уравнение относительно этого интеграла, решая которое, находим значение интеграла. Примеры:
Сведение интеграла к самому себе - самый простой способ нахождения часто встречающихся интегралов вида и (). Например,
. Итак, после двукратного интегрирования по частям получено уравнение относительно : , решение которого .
При нахождении эти интегралов не принципиально, положим ли мы u = cos bx, dv = e^ax dx или u = e^ax, dv = cos bx dx; важно только при втором применении формулы интегрирования по частям загонять под знак дифференциала функцию того же типа, что и при первом (показательную или тригонометрическую).

III. Закрепление материала.

№ 75(1,2), № 76(1), № 77(1), № 79(1,2) ( Богомолов, Практику по математике)

Пример № 75-1.

Найти интеграл

Решение: Положим u = x, dv = sin(x)dx. Тогда du = dx, v = -cos(x).

Отсюда

Пример № 75-2.

Найти интеграл
Решение: Обозначим u = lnx, dv = xdx,
тогда du = dx/x, v = x²/2.
Далее, по формуле:

Привет № 76-1.

Найти интеграл

Решение. Возьмем данный интеграл по частям, положив , , тогда , , тогда:

Пример № 77-1 .

Найти интеграл
Решение. Произведем интегрирование по частям дважды:

Пример № 79-1.

Найти интеграл .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям: ,

,

Пример № 79-2.

Найти интеграл .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям. Положим , , тогда , , следовательно,

.

IV. Подведение итогов.

Повторение теоретического материала пройденного на занятии.

Выставление оценок в журнал.

Домашнее задание:

1. Выучить теоретическую часть лекции ( формулы).

2. Выполнить упражнения № 76(2), № 77(2), № 73(3).