Методическая рекомендация на тему Рационал теңсіздіктерді интервалдау әдісімен шешу (8 класс)

Рационал теңсіздіктерді интервалдау әдісімен шешу

Р.А.ЖУМАБЕКОВА

№13 жалпы білім беретін орта мектептің мұғалімі

Рационал теңсіздіктерді интервалдау әдісімен шешу математиканың теңсіздіктерді және теңсіздіктер жүйесін шешу, функцияны зерттеу, көрсеткіштік және логарифидік теңсіздіктерді шешу бөлімдерінде маңызды роль атқарады. Бұл әдістің негізгі мағынасы мынада:

(немесе түрінде берілген рационал теңсіздіктің (мұнда P(x) және Q(x) көпмүшелік) алымы мен бөлімнің нольдік нүктелерін 0Х ociне саламыз. Басқа сөзбен айтқанда P(x)=O және Q(x)=O теңдеулерін қанағаттандыратын Х айнымалысының мәндерін абцисса ociнде белгілейміз. Табылғын нүктелер ОХ осiн бірнеше интервалдарға бөледі. Үзіліссіз функциялардың "Егер f(x) функциясы (а,в) интервалында нольге айналмайтын болса онда сол интервалда функция түрақты танбасын сақтайды"деген аса маңызды қарапайым дөнелдеуі оқулыкта бар, толық дөнелдеуі жоғары математика кустарында келтірілетін теореманың негізінде функциясының өр интервалда таңбасы өзгермейді.

Алфункциясының өр интервалдағы таңбасы осы интервалдан қандайда бір х-тің тиянақты мәнің функцияға қою арқылы анықталады. Шешуге ыңғайлы болу үшін бөлінді түрінде берілген теңсіздікті теңсіздік таңбасына байланысты не көбейтінді түрінде, не теңсіздіктер жүйесі түріне келтіру керек.

Х- а екімүшелік қарастыралық.Бұл екімүшелік а нүктесінің оң жағында жатқан кез-келген Х-тың мәні үшін оң және а нүктесінің сол жағында жатқан кех-келген Х-тың мәні үшін теріс болатыны белгілі.

-------------------------------

Осындай Х- а екімүшелігінің қарапайым рационал теңсіздіктерді интервалдар әдісімен шешуде аса маңызды роль атқарады.

(х-а₁) (х-а₂)... (х-0_п)›0 (1) теңсіздігі берілсін.

Теңсіздіктерді интервалдар әдісімен шешу үшін келесі алгоритм қолданылады :

1)Берілген теңсіздікті Р(, Р(х)›0, Р(х)≥0, Р(х)≤0 түрлерінің біріне келтіреміз;

2)теңсіздіктің сол жағын нөлге теңестіріп,шыққан теңдеуді шешеміз,яғни сәйкес функцияның таңбасын аңықтап,нөлдерін табамыз;

3)теңдеудің түбірлерінің мәнін сан осіне белгілеп,сан осін интервалдарға бөлеміз;

4)интервалдың кез келген біреуінде функцияның таңбасын анықтап,осы интервалға аныкталған таңбаны қоямыз;

5)теңдеудің тубірі қайталанбаған немесе тақ рет қайталанған жағдайда қалған интервалдардағы таңбаларды кезектеп қоямыз;ал егер түбір жұп рет қайталанса,осы түбірдің екі жағындағы интервалдардың таңбаларын бірдей етіп аламыз;

6)таңбасы теңсіздік таңбасына сәйкес интервалдарды жауап ретінде аламыз.

Мысалы: 1. теңсіздігі берілсін.

теңсіздік(1) түрге келді.

Жоғарыдағы келтірілген әдіс бойынша шешсек:

Жауабы: (0;1)υ(2,+∞)немесе 02 теңсіздік нөльден тек улкен болғандықтан,нольдік нүктелер шешімге кірмейді.

2.

(x-1)(x-4)≥0

Жауабы:[-∞,1]υ[4,+∞] немесе және

3.≥0

-------------

Жауабы: [-∞,-4]-3,-2]

Квадрат теңсіздіктерді интервалдау әдісімен шешу үшін оларды жіктеу арқылы (1)түрге келтіріп,содан соң жоғарыдағы таныс жолмен теңсіздіктің шешімін табатындығын жоғарыдағыдан көрдік.Ал егер квадрат теңдеудің дискриминантты нольден кіші болса яғни теңдеу жіктелінбесе ондай теңсіздікті қалай шешуге болады?

Дискриминатты нольден кішіаx²+вx+c›0. a (2) теңсіздігінің шешімін табалық.

У=ах²+вх+с ох осімен қиылысатын параболы.Олай болса, а›0 параболының тармағының жоғары қарайтынын еске түсірсек онда ах²+вх+с›0 теңсіздігі х-тың кез-келген мәні үшін орындалатынын ал а‹0 болса х-тың бірде-бір мәні үшін теңсіздіктің орындалмайтынын түсіну аса қиын емес.

Яғни(2) теңсіздіктің а›0 болса шешімі -∞‹х‹∞ немесе (-∞,∞)болады. Ал а‹0 болса шешімі болмайды.

ах²+вх+с‹0, а теңсіздігінің шешімінде дәл осы жолмен анықтауға болады.

Мысалы:

1. 2х²-1‹3х-х²-6 түрлендіру арқылы берілген теңсіздікке мәндес 2х²-3х+5‹0 теңсіздігің аламыз.бұл квадрат үшмүшелігінің дискриминнатты нольден кіші және х-тың коэффициенті нольден үлкен,яғни жоғарыдағы жасаған тұжырым бойынша теңсіздіктің шешімі болмады.

2. х²+4х‹2х²-х+7 берілгентеңсіздікке түрлендіру арқылы мәндес х²-5х+7›0 теңсіздігін аламыз.

Дискриминанты нольден кіші және х-тын коэффициенті нольден үлкен болғандықтан парабола ОХ осінен жоғары орналасады. Яғни х-тың кез-келген мәні теңсіздікті қанағаттандырады.

Шешімі (-∞,∞) немесе -∞‹х‹∞

Кейбір дәрежесі 2-ден жоғары алгебралық теңсіздіктер бірнеше арнаулы түрлендірулерден соң

(х-а₁)^х1(х-а₂)^х2... (х-а_п)^хп›0 (3)

түрінекеледі .Мұндағы а₁,а₂....,а_п,а₁‹а₂‹...‹а_п шартын қанағаттандыратын тиянақты нақты сандар,к₁,к₂....,к_п тиянақты натурал сандар.

(3) түрдегі теңсіздіктерді, жалпылаған интервалдар әдісі арқылы шешеді. Бұл әдістің мағынасы былай болады: x_о›an шартын қанағаттындыратын аралық үшін-к-ның кез-келген мәнде P(x_o)›0 болады.

Ал а_п-1‹х₁‹а_п шартын қанағаттандыратын аралықта ең соңғы көбейткіштен басқа көбейткіштердің танбалары оң болады.Ал (х-а_п) көбейткішінің танбасы к_п дәреже көрсеткішіне байланысты,яғни егерк_п2п болса (х-а_п)^кп онда P(x)0 егер к_п=2п+1болса (х-а_п)_кп ‹0 онда P(x)болады.

Демек P(x) көпмүшелігі а_п нүктесі арқылы өткенде таңбасы ауысады егер к_п жүп сан болса.

Қорыта айтқанда (3) түрдегі теңсіздіктерді шешу үшін төмендегідей жағдайларда орындау керек.

1.Сан осіне а_п, а₂,......., а_п сандарын аламыз:

--------_а,---------_а2---------------------------------------_ап----------

2.Ең үлкен нүктенің (а_п) оң жағындағы аралыққа бірден "+" танбасын қоямыз.

3.Солға қарай келесі аралықта таңба "+" болады,егер к_п жүп сан болса, "-" болады, егер к_п тақ сан боласа,

4.Келесі аралықтың таңбасы ауысады егер к_п-1 тақ болса, таңбасы ауыспайды егер к_п-1 жүп сан болса.

Осындай тәртіппен барлық аралықтардың таңбысын анықтаймыз.

5. P(x) ›0 теңсіздігін шешімі барлық "+" таңбасы қойылған аралықтардың ал P(х)‹0 теңсіздігін шешімі барлық

"-" таңбасы қойылғын аралықтарының қосындысы болады.

Мысалы. 1. (х+3)² (х-2) (х+5)³‹0

(х+5)³ (х+3)² (х-2)‹0

1.Сан осіне берілген нүктелерді өсу ретімен саламыз.

----⁺---_-5------^-----_-3--------------^---------------₂-------------⁺---------------

2.х›2 аралығына жоғарыда айтылғанда "+" таңбасын қоямыз.

3. -3‹х‹2 аралығындағы көпмүшеліктің таңбасын дәрежесін 1-ге тең екенін екеріп "-" таңбасын қоямыз.

4. -5‹х‹-3 аралығында х+3 көбейткішінің дәредесі жүп болғандықтан "-" өзгермейді

5.-∞‹х‹-5 аралығында х+5 дәрежесі болғандықтан "-" "+" қа ауысады.

Яғни теңсіздік [-5,-3] [][-3,2] аралығында орындалады

Мысалы.2. теңсіздігін шешейік.

бөлшегінің тыңбасы (7-х)(х+2) көбейтіндісініңтаңбасымен дәл келетіндіктен, берілген теңсіздік

(7-х) (х+2) теңсіздігімен мәндес болады.

(7-х) (х+2) 0 теңсіздігін (1) түрге келтіре отырып және интервалдар әдісін пайдалана отырып осы теңсіздіктердің шешімдерінің жиыны, яғни берілген теңсіздігінің шешімдерінің жиыны (-∞;-2) мен (7;+∞) аралықтарының бірігуі болып табылатынын табамыз.

Жауабы: (-∞;-2) және (7;+∞).

Мысалы:

.

Жауабы: x ` (-5; ) U (2; 3) U (3; )

Интервалдар әдісі туралы мәселелерді оқып үйрену барысында немесе қайталау сабақтарында математикадан қабілеті бар жекелеген оқушыларға шешімі қандай да дәрежеде қиындық тудыратын төменгідей есептерді беруге болады.Бұл олардың кейбір мәселелерді қайталай отырып еңбектеніп жұмыс жасауға және жалпы математика пәні туралы,оның логикалық байланысы,тұтастығы жайлы түсініктерінің дұрыс қалыптасуына септігін тигізеді.

Сонымен қатар мұндай есептерді шығару арқылы оқушы өз білімін тереңдетеді,еңбегінің жемісін көреді.Ал ол оқушының пәнге деген қызығушылығының арттырады,қабілетін дамытады.

Сондықтан да мұғалімнің кез-келген тақырыпты өткенде қабілетті оқушылармен оларды жоғалтып алмас үшін жеке жұмыс жасауы,ол үшін өзінің де көптеген қосымша әдебиеттерді қарап шығуы,олардан керектілерін таңдап алуы яғни еңбектеніп жұмыс істеуі керек.

Қосымша есеп.Теңсіздіктерді шешіндер.

1.

2. +

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.