Использование программы GeoGebra для самоконтроля и самооценки процесса и результатов деятельности при решении заданий с параметрами

Мосолова Н.А.

МАОУ Видновская гимназия г. Видное

Использование программы GeoGebra для самоконтроля и самооценки процесса и результатов деятельности при решении заданий с параметрами.

« Математик, который не является в

известной мере поэтом, никогда не

будет настоящим математиком»

К. Вейерштрасс

« Параметр - это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение» ( Толковый словарь русского языка под редакцией Д. Н. Ушакова)

Задачи с параметрами традиционно считаются наиболее трудными. Это связано, видимо, с тем, что часто они являются исследовательскими, т. е. при их решении надо не просто применить те или иные формулы, а найти те значения параметра, при которых выполнено некоторое условие для корней. При этом не всегда требуется искать сами корни, а бывает, что их и вовсе невозможно найти. Задачи, в которых невозможно найти корни или построить график, - самые трудные.

Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, как нельзя научится решать и любую задачу без параметра. Мы привыкли всюду применять формулы, а в задачах с параметрами не сразу можно понять, какую формулу надо применить. Бывает, что проще обойтись без всяких формул, а может быть, и не существует формул, с помощью которых решается задача, и нужно выбрать какой-то другой способ решения. При решении задач с параметрами надо всегда активно использовать соображения, исходящие из здравого смысла.

Главное, прежде чем решать задачи с параметрами, надо научиться решать классические задачи без параметров.

Единого « рецепта» решения задач с параметрами не существует. Наиболее понятный способ состоит в том, что сначала находятся все решения, а затем отбираются те, которые удовлетворяют дополнительным условиям.

Часто, глядя на задачу, школьники иногда даже не представляют, с чего можно начать и даже прочитав решение, не всегда его понимают.

Рассмотрим одно из решений неравенства с параметром, где при решении нужно использовать графики функций, которые натолкнут учащегося на дальнейшее решение.

1. При каких значениях параметра а неравенство имеет хотя бы одно неположительное решение.

Решение:

Приведём неравенство к виду .

График функции у = х²+2х + 1= (х+1)² - парабола, полученная из параболы у = х², параллельным переносом вдоль ос Ох на 1 .

График функции f(x) = , стоящий в правой части неравенства, при каждом значении параметра а получается их графика функции

y = х - 3|x|+4= параллельным переносом на а единиц вдоль оси Ох.

Решением исходного неравенства является множество всех таких х, для которых точки на графике функции f(x) расположены не ниже точек графика функции у = (х +1)².

Имеются два критических положения графика функции f(x), удовлетворяющие условию задачи.

(1) График функции f(x) проходит через точку (0;1) как указано на рисунке. Из уравнения 4(х - а) + 4 = 1 при х=0 получаем а = 0,75.

(II) График функции f(x) проходит через точку во второй четверти как указано на рисунке. В этом случае прямая у = -2(х - а) + 4 является касательной к графику функции у = (х +1)².

Используем условия касания графиков функций. Из равенства значений производных данных функций получаем уравнение 2х + 2 = - 2, т.е. х = - 2 - абсцисса точки касания графиков. Тогда из условия совпадения ординат получаем ( -2 +1)² = -2( - 2 - а) + 4 или а = -3,5.

Следовательно, при -3,5 а 0,75 исходное неравенство имеет хотя бы одно неположительное решение.

Ответ:

2. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство

|x-a²| - 0 выполняется при любом допустимом значении х.

Решение: Найдем ОДЗ: х - 0, .

Введём замену а²=t, t 0, получили неравенство |x-t| , возведем в квадрат обе части неравенства, получим х² - 2tx + t² x - .

Преобразовывая получаем квадратное неравенство относительно х,

x² - x(2t+1) + t²+ 0 , a>0 ,чтобы квадратное неравенство выполнялось при любом допустимом значении х необходимо, чтобы D 0,

т. е D = (2t+1)² - 4(t² + ) = 4t² + 4t + 1 - 4t² - 2 = 4t -1 0, t ,

|a| , -.

Решим это неравенство графически: построим графики двух функций

f(x)= |x-a²| и y =

3. Найдите все значения параметра а, при которых данное уравнение имеет три решения |( 2x -a)² - |x| - 28| + 2 |x| = 16.

Будем решать с использованием графиков. Все эти графики легко построить в системе GeoGebra.

Решения будут, если 16 - 2|x| 0, |x| 8, -8.

Этот важный факт, он будет использован позже.

Теперь преобразуем наше уравнение.

Теперь построим графики трёх функций f= y = 44 - |x| h= 3|x| + 12

Точки пересечения параболы и ломаных найти несложно

44 - |x| = 3|x| + 12 |x| = 8

Находим а.

| ( 2x-a)² - 36| =0, 2x - a = ± 6, a = ± 22, ±10.

Решением будет значение а = ±10.

Мосолова Н.А.

МАОУ Видновская гимназия г. Видное

Использование программы GeoGebra для самоконтроля и самооценки процесса и результатов деятельности при решении заданий с параметрами.

« Математик, который не является в

известной мере поэтом, никогда не

будет настоящим математиком»

К. Вейерштрасс

« Параметр - это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение» ( Толковый словарь русского языка под редакцией Д. Н. Ушакова)

Задачи с параметрами традиционно считаются наиболее трудными. Это связано, видимо, с тем, что часто они являются исследовательскими, т. е. при их решении надо не просто применить те или иные формулы, а найти те значения параметра, при которых выполнено некоторое условие для корней. При этом не всегда требуется искать сами корни, а бывает, что их и вовсе невозможно найти. Задачи, в которых невозможно найти корни или построить график, - самые трудные.

Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, как нельзя научится решать и любую задачу без параметра. Мы привыкли всюду применять формулы, а в задачах с параметрами не сразу можно понять, какую формулу надо применить. Бывает, что проще обойтись без всяких формул, а может быть, и не существует формул, с помощью которых решается задача, и нужно выбрать какой-то другой способ решения. При решении задач с параметрами надо всегда активно использовать соображения, исходящие из здравого смысла.

Главное, прежде чем решать задачи с параметрами, надо научится решать классические задачи без параметров.

Единого « рецепта» решения задач с параметрами не существует. Наиболее понятный способ состоит в том, что сначала находятся все решения, а затем отбираются те, которые удовлетворяют дополнительным условиям.

Часто, глядя на задачу, школьники иногда даже не представляют, с чего можно начать и даже прочитав решение, не всегда его понимают.

Рассмотрим одно из решений неравенства с параметром, где при решении нужно использовать графики функций, которые натолкнут учащегося на дальнейшее решение.

1. При каких значениях параметра а неравенство имеет хотя бы одно неположительное решение.

Решение:

Приведём неравенство к виду .

График функции у = х²+2х + 1= (х+1)² - парабола, полученная из параболы у = х², параллельным переносом вдоль ос Ох на 1 .

График функции f(x) = , стоящий в правой части неравенства, при каждом значении параметра а получается их графика функции

y = х - 3|x|+4= параллельным переносом на а единиц вдоль оси Ох.

Решением исходного неравенства является множество всех таких х, для которых точки на графике функции f(x) расположены не ниже точек графика функции у = (х +1)².

Имеются два критических положения графика функции f(x), удовлетворяющие условию задачи.

(1) График функции f(x) проходит через точку (0;1) как указано на рисунке. Из уравнения 4(х - а) + 4 = 1 при х=0 получаем а = 0,75.

(II) График функции f(x) проходит через точку во второй четверти как указано на рисунке. В этом случае прямая у = -2(х - а) + 4 является касательной к графику функции у = (х +1)².

Используем условия касания графиков функций. Из равенства значений производных данных функций получаем уравнение 2х + 2 = - 2, т.е. х = - 2 - абсцисса точки касания графиков. Тогда из условия совпадения ординат получаем ( -2 +1)² = -2( - 2 - а) + 4 или а = -3,5.

Следовательно, при -3,5 а 0,75 исходное неравенство имеет хотя бы одно неположительное решение.

Ответ:

2. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство

|x-a²| - 0 выполняется при любом допустимом значении х.

Решение: Найдем ОДЗ: х - 0, .

Введём замену а²=t, t 0, получили неравенство |x-t| , возведем в квадрат обе части неравенства, получим х² - 2tx + t² x - .

Преобразовывая получаем квадратное неравенство относительно х,

x² - x(2t+1) + t²+ 0 , a>0 ,чтобы квадратное неравенство выполнялось при любом допустимом значении х необходимо, чтобы D 0,

т. е D = (2t+1)² - 4(t² + ) = 4t² + 4t + 1 - 4t² - 2 = 4t -1 0, t ,

|a| , -.

Решим это неравенство графически: построим графики двух функций

f(x)= |x-a²| и y =

3. Найдите все значения параметра а, при которых данное уравнение имеет три решения |( 2x -a)² - |x| - 28| + 2 |x| = 16.

Будем решать с использованием графиков. Все эти графики легко построить в системе GeoGebra.

Решения будут, если 16 - 2|x| 0, |x| 8, -8.

Этот важный факт, он будет использован позже.

Теперь преобразуем наше уравнение.

Теперь построим графики трёх функций f= y = 44 - |x| h= 3|x| + 12

Точки пересечения параболы и ломаных найти несложно

44 - |x| = 3|x| + 12 |x| = 8

Находим а.

| ( 2x-a)² - 36| =0, 2x - a = ± 6, a = ± 22, ±10.

Решением будет значение а = ±10.