Урок на тему «Предмет стереометрии, ее основные понятия и аксиомы»

Раздел Математика
Класс -
Тип Презентации
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Нет
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

5

Урок на тему «Предмет стереометрии, ее основные понятия и аксиомы»

Цели урока:

Образовательные:

  • Сформировать представления учащихся о логическом строении геометрии, о стереометрии, как разделе геометрии, изучающем свойства фигур в пространстве, о сходстве и различиях планиметрии и стереометрии.

  • Сформировать представления о точках, прямых и плоскостях, как основных понятиях стереометрии, о геометрических телах и их поверхностях.

  • Познакомить учащихся с возможностями изображения пространственных фигур и их взаимного расположения, их символическими обозначениями.

  • Изучить аксиомы стереометрии, учить применять их к решению задач.

Развивающие:

  • систематизировать представления учащихся о дедуктивном методе построения теории и рассуждений;

  • развивать их умения пользоваться эмпирическими методами познания, иллюстрировать различные пространственные конфигурации с помощью моделей;

  • формировать умение описывать соотношения между пространственными объектами на языке математики;

  • развивать умения осознанно применять аналитико-синтетические методы при решении задач.

Воспитательные:

  • Формировать мировоззрение учащихся через раскрытие взаимосвязи изучаемой информации с реальной действительностью, демонстрацию того, что стереометрия, с одной стороны, является результатом социального опыта, развития культуры, целенаправленной деятельности человека, с другой стороны, строится в соответствии со своими внутренними потребностями и логикой.

  • Продолжить знакомство с ролью и функциями математики как науки в развитии практической деятельности человека, воспитание привычки к выполнению эстетических требований.

Структура урока:

  1. Актуализация знаний.

1.1. Мобилизующее начало урока, вводные слова учителя о начале изучения нового раздела геометрии.

2 мин.

1.2. Беседа о логическом строении геометрии на примере планиметрии с целью подготовки к формированию представлений о содержании и строении стереометрии.

4 мин.

1.3. Беседа о стереометрии, как разделе геометрии, изучающем свойства фигур в пространстве с целью формирования представлений о геометрических телах и их поверхностях.

5 мин.

1.4. Устная работа с моделями и предметами окружающей обстановки с целью закрепления представлений о геометрических телах и их границах, а также с целью выделения плоскости, как еще одного основного понятия геометрии, и мотивации необходимости введения аксиом стереометрии.

4 мин.

1.5. Подведение итога 1 этапа, постановка проблемы, выделение подпроблем.

  1. мин.

2. Формирование новых знаний и способов действия.

2.1.Самостоятельная работа исследовательского характера с целью решения поставленной проблемы.

8 мин.

2.2. Коллективное обсуждение результатов самостоятельной работы.

12 мин.

2.3. Беседа с целью знакомства учащихся со способами изображения пространственных фигур и их взаимного расположения, их символическими обозначениями, демонстрация возможности иллюстрации на рисунке результатов самостоятельной работы и содержания аксиом.

10 мин.

2.4. Обобщающая беседа с целью подведения итогов этапа.

  1. мин.

3.Применение знаний, формирование умений и навыков.

3.1. Решение задач с целью формирования умений по применению аксиом.

3.2. Обсуждение полученных результатов.

15 мин.

2 мин.

3.3. Подведение итога урока. Постановка домашнего задания.

1 мин.

Ход урока.

  1. Актуализация знаний.

    1. Мобилизующее начало урока.

    2. Беседа о логическом строении геометрии на примере планиметрии с целью подготовки к формированию представлений о содержании и строении стереометрии.

Учитель: Ребята, уже с 7 класса вы начали изучать такой предмет, как геометрия, а именно один раздел геометрии - планиметрию. Вспомним историю развития этой науки.

«Презентация 1»

Учитель: Как нам уже известно, геометрия делится на планиметрию и стереометрию. С планиметрией мы знакомились с 7 по 9 класс. Вспомним её основные понятия и сведения.

- Что изучается в курсе планиметрии.

- Какие фигуры являются (ключевыми) основными в курсе планиметрии

-Сформулируйте систему аксиом планиметрии.

Таким образом, мы с вами обобщили наши знания о курсе планиметрии.

А сегодня перед нами стоит следующая задача: Узнать, а что же такое стереометрия, рассмотреть её основные понятия и аксиомы.

  1. Беседа о стереометрии, как разделе геометрии, изучающем свойства фигур в пространстве с целью формирования представлений о геометрических телах и их поверхностях.

Учитель: Стереометрия -это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. На основе данного определения попробуем ответить на те же вопросы.

-Что изучается в курсе стереометрии. «Презентация 2»

Ученики: В курсе стереометрии изучаются свойства фигур в пространстве.

Учитель: Какие фигуры являются (ключевыми) основными в курсе стереометрии.

Ученики: Основные фигуры - точка, прямая и плоскость.

Учитель: Сформулируйте систему аксиом стереометрии.

Ученики: Мы затрудняемся с ответом на 3 вопрос.

  1. Подведение итога 1 этапа, постановка проблемы, выделение подпроблем.

Учитель: Сегодня на нашем уроке нам предстоит дать ответ на этот вопрос. И так мы уже узнали некоторые сведения о стереометрии , и теперь нам предстоит сформулировать аксиомы стереометрии.


  1. Формирование новых знаний и способов действия.

    1. Самостоятельная работа исследовательского характера с целью решения поставленной проблемы.

Цель: Установить соотношения, определяющие взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве.

Инструктаж: Работа будет выполняться в тройках. На каждый стол выдаются карточки с заданиями. На выполнение заданий отводится 7-10 минут. В результате выполнения задания вам нужно сформулировать ваше предположение о том, каким должен быть ответ на поставленный в карточке вопрос.

Задание:

Карточка 1. (аксиома 1)

Исследовательская задача: С помощью моделей исследовать взаимное расположение точек и плоскости, выявить условие задания плоскости с помощью точек.

  1. Сконструируйте модель (плоскость, точки). С помощью модели проверьте, каким может быть взаимное расположение точек и плоскости?

  2. Используя модель, выясните, сколько точек достаточно выбрать, чтобы единственным образом задать плоскость? Каким должно быть их взаимное расположение?

  3. Сделайте вывод о том, сколько, по вашему мнению точек нужно выбрать и как их расположить, чтобы через эти точки проходила единственная плоскость.

Карточка 2. (аксиома 2)

Исследовательская задача: С помощью моделей, исследовать взаимное расположение прямой и плоскости, выявить условие принадлежности прямой плоскости.

  1. Сконструируйте модель (плоскость и прямая). С помощью модели проверьте, каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости?

  2. Сколько общих точек могут иметь прямая и плоскость, как их взаимное расположение зависит от числа общих точек? При каком условии прямая принадлежит плоскости?

  3. Сделайте вывод о том, сколько, по вашему мнению общих точек достаточно иметь прямой и плоскости, чтобы вся прямая принадлежала плоскости.

Карточка 3. (аксиома 3)

Исследовательская задача: С помощью моделей, исследовать взаимное расположение двух плоскостей, выявить условие принадлежности прямой плоскости.


  1. Сконструируйте модель (2 плоскости). С помощью модели проверьте, каким может быть взаимное расположение двух плоскостей?

  2. Сколько общих точек могут иметь 2 плоскости, как их взаимное расположение зависит от числа общих точек? При каком условии плоскости пересекаются?

  3. Сделайте вывод о том, сколько, по вашему мнению общих точек достаточно иметь 2 плоскостям, чтобы все эти точки лежали в одной плоскости.


  1. Обсуждение полученных результатов.

Учитель: Теперь обсудим полученные результаты и запишем их к себе в тетради, кто работал с карточкой 1? Продемонстрируйте нам полученные модели.

Каким же может быть взаимное расположение точек и плоскости?

Ученики: точки могут лежать в плоскости, а могут и не лежать в плоскости.

Учитель: сколько точек достаточно выбрать, чтобы единственным образом задать плоскость?

Ученики: достаточно выбрать 3 точки.

Учитель: Каким должно быть их взаимное расположение?

Ученики: они не должны лежать на одной прямой.

Учитель: Верно, какой же вывод вы сделали, сколько, по вашему мнению точек нужно выбрать и как их расположить, чтобы через эти точки проходила единственная плоскость.

Ученики: Через любые 3 точки, не лежащие на 1 прямой, проходит плоскость и при том только одна.

Учитель: хорошо, верно. Запишем полученную аксиому.

Теперь обсудим результат работы со 2 карточкой.

Учитель: Продемонстрируйте нам полученные модели.

Каким может быть взаимное расположение прямой и плоскости?

Ученики: прямая может лежать в плоскости, может пересекать её, а может не лежать в плоскости.

Учитель: Сколько общих точек могут иметь прямая и плоскость, как их взаимное расположение зависит от числа общих точек?

При каком условии прямая принадлежит плоскости?

Ученики: прямая и плоскость имеют не менее одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют 1 общую точку, то они пересекаются, если 2 общие точки и более, то прямая лежит в плоскости.

Учитель: Сколько, по вашему мнению общих точек достаточно иметь прямой и плоскости, чтобы вся прямая принадлежала плоскости?

Ученики: Если 2 точки лежат в плоскости, то и все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Учитель: Хорошо. Запишем полученные результаты.

И перейдем к обсуждению 3 карточки.

Продемонстрируйте нам полученные модели.

Каким может быть взаимное расположение двух плоскостей?

Ученики: Плоскости могут пересекаться, а могут не пересекаться.

Учитель: Сколько общих точек могут иметь 2 плоскости, как их взаимное расположение зависит от числа общих точек?

При каком условии плоскости пересекаются?

Ученики: 2 плоскости могут иметь не менее 1 общей точки. Если 2 плоскости имеют 1 общую точку и более, то данные плоскости пересекаются.

Учитель: Какой вывод вы получили?

Ученики: Если 2 плоскости имеют 1 общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки эти плоскостей.

Учитель: Хорошо. Молодцы ребята, вы отлично справились с заданием. И мы продолжаем с вами работать дальше.


  1. Беседа с целью знакомства учащихся со способами изображения пространственных фигур и их взаимного расположения, их символическими обозначениями, демонстрация возможности иллюстрации на рисунке результатов самостоятельной работы и содержания аксиом.

Учитель: Мы получили формулировки аксиом стереометрии, смогли продемонстрировать модели. Теперь нам необходимо научиться изображать пространственные фигуры и их взаимное расположение.

Учитель изображает у доски, ученики у себя в тетрадях.

  1. Применение знаний, формирование умений и навыков.

    1. Решение задач, с целью формирования умений по применению аксиом. (Один ученик выполняет задание у доски с комментированием, остальные у себя в тетрадях).

Задание 1 . Устное решение задач на применение аксиом.

Задание 2. Решение задач по готовым чертежам.

Задание 3. Решение задач у доски.

Задача № 7(Л.С. Атанасян и др.): Две прямые пересекаются в точке М. Докажите, что все прямые не проходящие через точку М и пересекающие данные прямые, лежат в одной плоскости. Лежат ли в одной плоскости все прямые, проходящие через точку М?

Анализ условия и требования задачи.

Дано: a∩b=М.

Доказать: все прямые, пересекающие a и b в точках отличных от М лежат в одной плоскости.

Поиск способа решения задачи.

Учитель: Рассмотрим требование задачи. Откуда может следовать вывод о том, что все прямые, удовлетворяющие определенному условию, лежат в одной плоскости?

- Если мы докажем, что произвольно выбранная прямая, удовлетворяющая данным условиям, принадлежит определенной плоскости, то это доказательство будет верным и для всех остальных прямых, удовлетворяющих данным условиям.

Следовательно, нужно рассмотреть некоторую прямую п, пересекающую данные прямые a и b, но не проходящую через точку М.

Учитель: Обратимся к условию задачи. Что следует из того, что «Две прямые пересекаются в точке М»?

- По теореме о пересекающихся прямых эти прямые лежат в одной плоскости (α).

Учитель:Что следует из того, что прямая п пересекает две данные прямые, но не проходит через т. М?

- Т. к. пересекающиеся прямые имеют единственную общую точку, то прямая п пересекает данные прямые в двух различных точках А и В.

Учитель:Как расположены точки А и В относительно плоскости α?

- Эти точки принадлежат плоскости α, т.к. они принадлежат прямым лежащим в этой плоскости.

Учитель: Что следует из того, что прямая п проходит через точки А и В, лежащие в плоскости α?

- По аксиоме А2 вся эта прямая лежит в плоскости α.

Учитель: Что следует из того, что произвольно выбранная прямая, удовлетворяющая условиям задачи, принадлежит плоскости α?

- Из этого следует, что любая другая прямая, удовлетворяющая заданным условиям, также принадлежит плоскости α. Т. е. все прямые, пересекающие данные в точках отличных от М, лежат в одной плоскости. Ч.т.д.

Оформление решения.

  1. Прямые a и b лежат в одной плоскости α, по теореме о пересекающихся прямых (следствие 2).

  2. Пусть п пересекает прямые a и b соответственно в точках А и В.

  3. А и В Є α (следствие из пп. 1 и 2)

  4. пЄ α, на основании пп. 2, 3 и аксиомы А2.

  5. Т.к. п произвольно выбранная прямая, пересекающая a и b в точках отличных от М, то все такие прямые лежат в одной плоскости α.

Анализ проведенного решения.

Учитель: Какую задачу решили? Какой факт установили?

- Все прямые, пересекающие две пересекающиеся прямые и не проходящие через точку их пересечения, лежат в одной плоскости.

Учитель: Как была решена задача? В чем особенность ее решения? Какие методы и приемы были использованы?

- При решении задачи мы опирались на аксиому А2 и следствие из аксиом.

Учитель: Решение данной задачи привело нас к формулировке одного следствия из аксиом, теперь попробуем его сформулировать.

4.2. Обсуждение полученных результатов. Подведение итогов урока.

Учитель: Подведем итоги нашего занятия.

Что нового вы сегодня узнали?

Сформулируйте систему аксиом стереометрии.

Вызвала ли данная исследовательская работа у вас затруднение?

© 2010-2022