Методическая разработка Построение сечений многогранников

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РТ

ГАОУ ВПО «Альметьевский государственный институт муниципальной службы»

Методическая разработка

По дисциплине: «Математика»

Для студентов ССУЗов по разделу

«Построение сечений многогранников»

Составила: Хадеева Залфира Махмудовна

преподаватель математики

торгово-экономического факультета

среднего профессионального образования

Альметьевск, 2014

Тема: Построение сечений многогранников

Цель занятия:

1) Ввести понятия сечения многогранников

2) Сформировать у учащихся умения строить сечения в пространственных фигурах.

3)Способствовать формированию практических компетенций в выборе наиболее рациональных способов решения задач.

4) Развивать пространственное воображение у учащихся при решении геометрических задач

5)Развивать геометрическое мышление, интерес к предмету, познавательную и творческую деятельность учащихся

6) Воспитывать самостоятельность познавательного интереса к предмету

Тип урока: урок формирования новых понятий.

Все чертежи выполнены в программе Paint

Презентация выполнена в программе: Microsoft PowerPoint

План занятия:

1)Организационный момент

2) Актуализация знаний о пространственных фигур

3) Изучение нового материала:

А) сечение тетраэдра с плоскостью

Б) сечение куба, параллелепипеда с плоскостью

В) сечение пирамиды с плоскостью

4) формирование практических навыков и самостоятельная работа с самопроверкой

5) постановка домашнего задания и подведение итогов.

Оборудование: Компьютер, интерактивная доска, раздаточный материал в виде готовых чертежей с задачами, макеты многогранников, индивидуальные карточки.

Методы работы: наглядный, практический, проблемно-поисковый, метод самостоятельной работы, метод контроля

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая, самостоятельная

Ход урока:

1. Организационный момент

Преподаватель проверяет готовность учащихся к занятию по темам: «Тетраэдр», «Параллелепипед», «Свойства параллельных плоскостей». Также преподаватель ознакомляет студентов с темой занятия: «задачи на построение сечений в многогранниках и решение задач связанных сечением».

2. Актуализация знаний

Учащийся №1 выходит к доске с сообщением и презентацией на тему «Тетраэдр», одновременно на мультимедийном экране высвечивается изображение тетраэдра, для того чтобы учащийся смог наглядно продемонстрировать элементы фигуры. (ребра, грани, вершины, боковые грани)

Учащийся №2 выходит к доске с сообщением презентацией на тему «Параллелепипед и его свойства», одновременно на мультимедийном экране высвечивается изображение тетраэдра, для того чтобы учащийся смог наглядно продемонстрировать элементы фигуры. (ребра, грани, вершины, боковые грани)

Учащийся №3 выходит к доске с сообщением и презентацией о признаках параллельности двух плоскостей. Одновременно на мультимедийном экране высвечиваются изображения соответствующие данной теме докладчика.

3. Изучение нового материала.

Преподаватель:

- Сечение многогранников плоскостью используется при решении многих стереометрических задач. Рассмотрим сечение плоскостями проходящими через данные точку и прямую, через три данные точки, а также сечения, способ задания которых содержит условия параллельности сечения данной плоскости, данной прямой или двум данным прямым.

Построить сечение многогранника плоскостью - это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Точки пересечения плоскости сечения с ребрами многогранника будут вершинами, а отрезки, принадлежащие граням, - сторонами многоугольника, получившегося в сечение. [1, C 27-29].

Рассмотрим простые задачи

Задача №1 (Слайд 3)

Провести сечение через ребро AD и точку М ребра CB.

Задача №2 (Слайд 3)

Провести сечение через D и точки M и N на ребрах AB и BC

Вывод делают учащихся: Построение сечения основано на простом следствии из аксиом стереометрии: Если две плоскости имеют две общие точки , то прямая проходящая через эти точки, является линией пересечения данных плоскостей.

Задача №3 Слайд 4)

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку

M ребра AD параллельно грани ABC.

()=, , Проведем через точку M прямую, параллельную прямой AB и в пересечении ее с ребром BD находим вершину P сечения. Отрезок MP сторона сечения. Аналогично , . [4, C 366 - 373].

Вывод: Если две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения параллельны.

Преподаватель: Тетраэдр имеет четыре грани, поэтому его сечение могут быть треугольники и четырехугольники.

Рассмотрим построение сечения тетраэдра плоскостью, проходящие через точки M, N, P на ребрах тетраэдра. Точки M и N заданы так,

а) прямые MN и АС не параллельны

б) прямые MN и АС параллельны.

а) Отрезки MN и NP являются сторонами сечения. Точка Р- общая для плоскостей MNP и ABC. (рис.а)

Вторую общую точку находим в пересечении прямых MN и АС

(рис.б).

Прямая SP линия пересечения плоскостей MNP и ABC и пересечение этой прямой с ребром АВ дает вершину Q.

Q, сечение тетраэдра MNPQ (Слайд 5) [2, C-12]

б) Если MN AC, то прямая MN параллельна грани АВС, значит плоскость MNP пересекает эту грань по прямой QP,параллельной прямой MN, Q-точка пересечения ребра СВ.(рис в)

Вывод: Если плоскость и проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.(Слайд 6) [3, C-8]

Преподаватель: Рассмотрим несколько нестандартных задач

Задача 1. Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью MNP, где точка М расположена на ребре AD, точка N в грани BCD и точка Р в грани АВС тетраэдра

Для того чтобы построить линию пересечения плоскости какой-либо грани с плоскостью MNP, необходимо найти еще оду общую точку для этих плоскостей. Тоска Р - общая для плоскостей АВС и MNP. Второй общей точкой является точка перечения прямой MN с плоскостью АВС.

Через точки M, N и вершину D тетраэдра проводим плоскость, строим ее линию пересечения А с плоскостью АВС. Общая тоска прямых MN и A и является точкой пересечения прямой MN с плоскостью АВС.

Прямая P - линия пересечения плоскостей MNP и АВС. Вершины и находим как точки пересечения прямой Pc ребрами ВС и АВ, пересечение прямой N с ребром CD дает вершину . Получим сечение - четырехугольник M (Слайд 7) 4, С 373].

Задача 2. Построить сечение тетраэдра по трем точкам: М - в грани АВС, N - в грани BCD и Р - в грани АСD .

Для нахождения точки пересечения прямой MN с плоскостью ACD проведена вспомогательная плоскость через эту прямую и вершину В тетраэдра.

Прямая - пересечение этой плоскости с плоскостью ACD. Точка является точкой пересечения прямой MN с плоскостью ACD .(Слайд 8) [4, C-372].

Преподаватель: Рассмотрим, какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда. Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки M, N, P.

1 случай, когда эти точки лежат на ребрах, выходящих из одной вершины (Слайд 9)

2 случай. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три данные точки, являющихся либо вершинами куба, либо серединами его ребер (Слайд 9)

3 Случай. Если три точки M,N,P расположены так, как показано, то сначала нужно провести отрезки MN и NP, затем через точку М провести прямую параллельную NP, а через точку Р провести прямую, параллельную MN. Пересечение этих прямых с ребрами нижней грани дают точки Q и D. Остается провести QD искомое сечение MNPQD (Слайд 10)

4 Случай. Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки , , (Слайд 10)

Вывод: В сечении параллелепипеда могут получиться треугольники, четырехугольники, прямоугольники, шестиугольники

4. Формирование практических навыков

Работа с карточками

Задание 1 (уровень 1)

1.1 Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ABC

1.2 Построить сечение тетраэдра, проходящие через точки M, N и P

1.3 Построить сечение тетраэдра плоскостью, параллельной ребру АС и проходящий через точку М ребра CD и точку N в грани ABD.

Задание 2 (уровень 2)

2.1 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки MNP

2.2 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящий через точки A, B и C NDK

2.3 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки MNP

2.4 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки MNP

MASB

PABC

Задание 3 (уровень 3)

3.1 Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящий через точки А, В, С.

Задание 4 (уровень 1)

4.1 Построить сечение параллелепипеда, проходящие через точки M, N, P.

4.2 Постройте сечение через точки A, , M

4.3 Постройте сечение через точки А, М, С

Задание 5 (уровень 2)

5.1 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N, P

5.2 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N, P

Задание 6 (уровень 3)

6.1 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N, P

6.2 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N, P

6.3 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, N, P

По окончании работы учащиеся проверяют свое решение, которое высвечивается на мультимедийном экране. Учащиеся оценивают свою работу по бальной системе, результаты сдаются преподавателю.

5. Постановка домашнего задания

Задание 1

Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки M, N, P

Задание 2

Построить сечение тетраэдра, проходящее через точки M, N, P

Задание 3

Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки M, N, P

Преподаватель подводит итоги занятия и оглашает заработанные баллы

Список использованных источников и литературы

1. Геометрия. 10 - 11 классы: учеб. Для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил. уровни/ [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. - 19-е изд. - М.: Просвещение, 2010. - 255с.

2. Еженедельная учебно-методическая газета: Математика/ Издательский дом: Первое сентября., №8, 2013г.

3. Еженедельная учебно-методическая газета: Математика/ Издательский дом: Первое сентября., №5, 2004г.

4. Пособие по математике для поступающих в ВУЗЫ / Под редакцией Г.Н. Яковлева. - М: Наука, 1981. - 608с.