Научно-исследовательская работа Магические квадраты

КГУ «Новопокровская средняя школа»

Научно - исследовательская работа по математике

«Магические квадраты»

Автор: Грищенко В., 10 класс

с. Новопокровка

Оглавление

1.Введение стр.3

2.Основная часть стр.4-7

а) История появления магических квадратов

б) Исследование способов заполнения магических квадратов

- способ Баше

- индийский способ

в) Исследование количества решений магических квадратов.

3.Выводы стр.7

4. Литература стр.9

5. Приложение стр.10-13

Введение

Когда я учился в начальных классах, на уроках математики учительница часто нам предлагала заполнять магические квадраты. Тогда они меня и заинтересовали, я почувствовал, что в них есть что-то загадочное, таинственное. Я справлялся с поставленной задачей очень легко (рис.4). А сейчас я учусь в 10 классе. Нам также на уроках математики задают заполнить магические квадраты, но они уже намного сложнее прежних. Поэтому наша учительница объяснила нам, что существуют специальные приемы и способы заполнения магических квадратов и сказала, можно самим научиться составлять такие квадраты, если исследовать способы их составления. Тут я увлекся серьезнее, и с этого начались мои исследования по составлению магических квадратов.

Цели и задачи исследования:

• познакомиться с историей появления магических квадратов

• исследовать способы заполнения магических квадратов 3, 5 и 7 порядка.

• исследовать количество решений для магических квадратов 3 и 5 порядка.

Гипотеза:

для заполнения магического квадрата существуют специальные способы, позволяющие это сделать быстро.

Основная часть

История появления магических квадратов

Магический квадрат - квадратная таблица из целых чисел, в которой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главных диагоналей равны одному и тому же числу.

Магический квадрат - древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1а). Эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1б. В 11 веке о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 веке магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 веке византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1 (рис.3). Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты. В 19 и 20 вв. интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать с помощью методов высшей алгебры.

Исследование способов заполнения магических квадратов

«В дни моей юности я

в свободное время развлекался тем,

что составлял… магические квадраты»

Б.Франклин.

Составление магических, или волшебных, квадратов - старинный и ещё сейчас весьма распространенный вид математических развлечений. Задача состоит в отыскании такого расположения последовательных чисел (начиная с 1) по клеткам разграфленного квадрата, чтобы суммы чисел во всех строках, столбцах и по обеим диагоналям квадрата были одинаковы.

Наименьший магический квадрат - 9-клеточный; легко убедиться испытанием, что магический квадрат из четырех клеток существовать не может. Образец 9-клеточного магического квадрата на рисунке 5.

Сложим ли мы в этом квадрате числа 4+3+8, или 2+7+6, или 3+5+7, или 4+5+6, или любой другой ряд из трех чисел, мы во всех случаях получим одну и ту же сумму 15. Итог этот может предвидеть, не составляя ещё самого квадрата: три строки квадрата - верхняя, средняя и нижняя - должны заключать все его 9 чисел, составляющие в сумме

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

С другой стороны, сумма эта должна быть равна, очевидно, утроенному итогу одной строки. Отсюда для каждой строки имеем итог:

45:3=15

Подобным же образом можно заранее определить сумму чисел строки или столбца любого магического квадрата, состоящего из какого угодно числа клеток. Для этого нужно сумму всех чисел квадрата разделить на число его строк.

Повороты и отражения.

Составив один магический квадрат, легко получить его видоизменения, то есть найти ряд новых магических квадратов. Если, например, мы составили квадрат, то повернув его мысленно на четверть полного оборота (на 90⁰), получим другой магический квадрат: рис.5.

Дальнейшие повороты - на 180⁰ (половину полного оборота) и на 270⁰ (три четверти полного оборота) - дадут еще два видоизменения начального квадрата (рис.6).

Каждый из вновь полученных магических квадратов можно, в свою очередь, видоизменить, если представить себе, что он как бы отражен в зеркале. На рисунке 5 показан начальный квадрат и одно из его зеркальных отражений (рис.7).

Проделав с 9- клеточным квадратом все повороты и отражения, получаем следующие его видоизменения (рис. 8).

Это полный набор всех магических квадратов, какие вообще могут быть составлены из первых девяти чисел.

Способ Баше.

Старинный прием составления нечетных магических квадратов, то есть квадратов из любого нечетного числа клеток: 3х3, 5х5, 7х7 и т.п. Прием этот предложен в XVII веке французским математиком Баше. Так как способ Баше пригоден и для 9- клеточного квадрата, то удобнее всего начать исследование способа именно с этого примера. Итак, приступим к составлению 9- клеточного магического квадрата по способу Баше.

Начертив квадрат, разграфленный на девять клеток, пишем по порядку числа от 1 до 9, располагая их косыми рядами по три в ряд, как показано на рисунке 9.

Числа, стоящие вне квадрата, вписываем внутрь его так, чтобы они примкнули к противолежащим сторонам квадрата (оставаясь в тех же столбцах или строках, что и раньше). В результате получаем квадрат (рис.10).

Применим правило Баше к составлению квадрата из 5х5 клеток. Квадрат состоит из 25 клеток. Сумма всех 25 чисел равна 325. Теперь 325 разделить на количество строк (325:5=65), получим 65, т.е. сумма чисел по любому направлению квадрата должна равняться 65. Начинаем с расположения чисел (рис.11).

Остается только числа, оказавшиеся за рамками квадрата, ввести внутрь его. Для этого нужно фигуры, образованные числами, стоящими вне квадрата («террасы»), мысленно вдвинуть в квадрат так, чтобы эти фигуры примкнули к противолежащим сторонам квадрата. Получится магический 25- клеточный квадрат (рис. 12).

Составив один магический квадрат из 25 клеток, путем поворотов и отражений можно получить его видоизменения.

Индийский способ

Способ Баше, или, как его иначе называют, «способ террас», - не единственный для составления квадратов с нечетным числом клеток. Из других существующих способов сравнительно несложен весьма древний прием, придуманный в Индии еще до начала нашего летосчисления. Его можно изложить кратко в шести правилах. Пример магического квадрата из 49 клеток (рис. 13).

1. В середине верхней строки пишут 1, а в самом низу соседнего справа столбца - 2.

2. Следующие числа пишутся по порядку в диагональном направлении вправо вверх.

3. Дойдя до правого края квадрата, переходя к крайней левой клетке ближайшей вышележащей строки.

4. Дойдя до верхнего края квадрата, переходят к самой нижней клетке соседнего справа столбца.

Примечание. Дойдя до правой верхней угловой клетки, переходят к левой нижней.

5. Дойдя до уже занятой клетки, переходят к клетке, лежащей непосредственно под последней заполненной клеткой.

6. Если последняя заполненная клетка находится в нижнем ряду квадрата, переходят к самой верхней клетке в том же столбце.

Руководясь этими правилами, можно быстро составлять магические квадраты с любым нечетным числом клеток.

Если чисто клеток не делится на 3, можно начинать составление магического квадрата не по правилу 1, а по другому правилу.

Единицу можно написать в любой клетке диагонального ряда, идущего от средней клетки крайнего левого столбца к средней клетке самой верхней строки квадрата. Все последующие числа вписываются согласно правилам 2 - 5.

Это дает возможность составить по индийскому способу не один, а несколько квадратов.

Я составил следующий магический квадрат из 49 клеток по индийскому способу (рис. 14).

Исследование количества решений магических квадратов.

Изучая способы составления магических квадратов и соответствующую литературу, я установил факт, что с увеличением размеров квадрата быстро растет количество возможных магических квадратов. Так, например, для 3 порядка - единственный, для 4 порядка - 880, для 5 порядка - приближается к четверти миллиона.

Вывод: проводя исследования, я убедился, что универсального способа заполнения магических квадратов нет. Способ заполнения магического квадрата, зависит от его порядка.

Литература

1. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. За страницами учебника математики. Москва. Просвещение. 1989 г.

2. Энциклопедический словарь юного математика. М.,«Педагогика»,

1989 г.

2. Я.И. Перельман «Занимательные задачи и опыты». М. «Детская

литература», 1972 г.

Приложение

рис.2

рис.1

Альбрехт Дюрер,
"Меланхолия " Квадрат Дюрера

рис.3

14

15

16

11

62

54

38

14

рис.4

4

3

8

9

5

1

2

7

6

8

3

4

1

5

9

6

7

2
рис. 5 а б

рис. 6

2

9

4

7

5

3

6

1

8

6

1

8

7

5

3

2

9

4

рис. 7

6

1

8

7

5

3

2

9

4

4

3

8

9

5

1

2

7

6

8

3

4

1

5

9

6

7

2

8

1

6

3

5

7

4

9

2

6

7

2

1

5

9

8

3

4

4

9

2

3

5

7

8

1

6

рис. 8

2

7

6

1

5

1

4

3

8

3

2

6

1

5

9

4

8

7

рис. 9 рис.10

рис. 11

рис. 12

30

39

48

1

10

19

28

38

47

7

9

18

27

29

46

6

8

17

26

35

37

5

14

16

25

34

36

45

13

15

24

33

42

44

4

21

23

32

41

43

3

12

22

31

40

49

2

11

20

рис. 13

32

41

43

3

12

21

23

40

49

2

11

20

22

31

48

1

10

19

28

30

39

7

9

18

27

29

38

47

8

17

26

35

37

46

6

16

25

34

36

45

5

14

24

33

42

44

4

13

15

Рис.14