- Преподавателю
- Математика
- Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби
Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Семенова Е.В. |
Дата | 19.12.2014 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Введение
В результате практической деятельности человека, при дележе добычи после охоты возникла потребность в нахождении долей. Другой существенной причиной появления дробных чисел можно считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.
Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида - так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot - «несколько»).
Египетская дробь - в математике сумма нескольких дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.
Задачи с использованием в решении аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего, задачи, в которых требуется разделить какие либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.
Цель: Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни
Задачи:
-
Узнать происхождение аликвотных дробей.
-
Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями.
-
Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.
-
Составлять и решать задачи практического содержания.
I Теоретическая часть
1 Происхождение аликвотных дробей
В Древнем Египте «настоящими» математики считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.
Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида так называемые единичные дроби или аликвотные. То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1.
И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например, .
Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить «хекат», основную меру объёма в Древнем Египте, т.е. аликвотные дроби нужны были египтянам в практических целях.
Египтяне широко использовали дроби. Египетская дробь представляла собой сумму нескольких единичных (или аликвотных) дробей вида 1/n. Например, 8/15=1/3+1/5. Часто сами аликвотные дроби они представляли в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например, 1/4=1/5+1/20.
Для обозначения единичной дроби египтяне над обычным числом ставили специальный иероглиф "рот" . Например дроби 1/3 и 1/10 выглядели так:
и
В папирусе Ахмеса есть задача:.«Как разделить 7 хлебов между 8 людьми?».
Египтяне решали эту задачу так: 7/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8.
Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба.
Существовали и другие способы записи дробей, например, для написания дробей от 1/2 до 1/64 использовались составные части глаза Гора.
Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков . К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой(позиционная система исчисления)
Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» - это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.
2 Основные операции над аликвотными дробями
Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Скажем, число выражается так:
.
Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно.
Начиная решение задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей, как, например
мы выявили закономерность, которую записали в виде формулы. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.
Докажем это равенство:
(1)
, приведя дроби к общему знаменателю, получаем:
после сокращения получаем .
Итак, получается, что . Наша формула верна.
Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:
. (2)
3 Решение задач
3.1 Решение задач из учебника
Простейшими задачами - разложение дроби на сумму аликвотных дробей. Эти разделить на две категории:
1. в знаменателе простое число,
2. в знаменателе составное число.
Рассмотрим решение задач первого типа:
Для того, чтобы выполнить это задание, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы числитель получившейся дроби можно было разложить на слагаемые, каждый из которых будет делителем знаменателя (так как при сокращении в числители получится 1). После решения многих таких задач мы сделали вывод, что таким «удобным» числом является число 6.
.
Задачи второго типа также можно разделить на три вида:
1) числитель сразу можно предс2тавить в виде суммы делителей знаменателя, например
;
2) в числителе число меньшее наименьшего делителя знаменателя:
решение совпадает с решением первого типа
;
3) числитель можно разложить на сумму чисел, среди которых есть как делители знаменателя, так и числа не являющиеся таковыми:
.
Для того чтобы разложить дробь на сумму аликвотных дробей, воспользуемся алгоритмом пункта 1.
Тогда конечный результат будет таким: .
К следующей разновидности задач, относятся задачи подобные задаче о 7 хлебах (рассмотренная выше). Приведем пример из учебника [2]:
№ 730. Олжас, Нуртас и Алмас купили 2 дыни. Как не разрезая каждую дыню на 3 доли, мальчики разделят их поровну?
Решение: По условию задачи 2 дыни нужно разделить на 3 равные части.
.
Каждый мальчик взял по половинке дыни, а когда оставшуюся половину дыни разделили на три равные части, то каждый мальчик получил еще по дыни.
Ответ: половинка дыни и дыни.
Подобных задач можно придумать очень много. И над этим мы планируем поработать в дальнейшем. Рассмотрим одну из таких придуманных нами задач.
Задача.
3.2 Решение олимпиадных задач
1. Найдите сумму: .
Решение: Для решения воспользуемся формулой (2)
и т. д.
т. е. получим .
2. Найти сумму:
Решение: Для решения воспользуемся решением предыдущей задачи.
, и т. д.
Рассуждая аналогично решению предыдущей задачи, получаем ответ .
4 Авторская задача
Хотим предложить свою задачу для решения в олимпиадах.
Чтобы узнать в каком году в Астане будет проводиться международная ярмарка EXPO нужно сумму аликвотных дробей умножить на год, когда Н. А. Назарбаеву исполнится лет.
Решение:
Ответ: 2017 год.
Заключение
При разработке данной темы, мы узнали, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Выяснили, что любая правильная дробь может быть разложено на единичные дроби. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики. Аликвотные дроби долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».
Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Мы выяснили, что точного алгоритма решения подобных задач нет, но мы составили приближенный алгоритм решения для различных дробей. Мы рассмотрели решение некоторых олимпиадных задач, а также составили свою.
На этом работа над данной темой не заканчивается. Нам бы хотелось рассмотреть, как можно разложит любое рациональное число . А так же составить сборник задач.