Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби

Введение В результате практической деятельности человека, при дележе добычи после охоты возникла потребность в нахождении долей. Другой существенной причиной появления дробных чисел можно считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения. Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида   – так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot – «несколько»). Египетская дробь — в математике сумма нескольких дробей вида (так называемых аликвотных дробей). Друг...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат doc
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Введение

В результате практической деятельности человека, при дележе добычи после охоты возникла потребность в нахождении долей. Другой существенной причиной появления дробных чисел можно считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.

Первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби - так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot - «несколько»).

Египетская дробь - в математике сумма нескольких дробей вида Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби(так называемых аликвотных дробей). Другими словами, каждая дробь суммы имеет числитель, равный единице, и знаменатель, представляющий собой натуральное число.

Задачи с использованием в решении аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде, всего, задачи, в которых требуется разделить какие либо ресурсы на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого.

Цель: Выяснить, какое значение имеют аликвотные дроби в нашей жизни

Задачи:

  • Узнать происхождение аликвотных дробей.

  • Рассмотреть основные операции с аликвотными дробями.

  • Решать олимпиадные задачи с помощью аликвотных дробей.

  • Составлять и решать задачи практического содержания.





I Теоретическая часть

1 Происхождение аликвотных дробей

В Древнем Египте «настоящими» математики считали только аликвотные дроби. Поэтому каждую дробь стремились представить в виде суммы аликвотных дробей, причём с разными знаменателями.

Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби так называемые единичные дроби или аликвотные. То есть аликвотными дробями называются дроби с числителем 1.

И даже сами аликвотные дроби они часто стремились представить в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например, Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби.

Такие дроби использовались вместе с другими формами записи египетских дробей для того, чтобы поделить «хекат», основную меру объёма в Древнем Египте, т.е. аликвотные дроби нужны были египтянам в практических целях.

Египтяне широко использовали дроби. Египетская дробь представляла собой сумму нескольких единичных (или аликвотных) дробей вида 1/n. Например, 8/15=1/3+1/5. Часто сами аликвотные дроби они представляли в виде суммы меньших аликвотных дробей. Например, 1/4=1/5+1/20.

Для обозначения единичной дроби египтяне над обычным числом ставили специальный иероглиф "рот" Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби. Например дроби 1/3 и 1/10 выглядели так:

Исследовательская работа на тему Аликвотные дробиИсследовательская работа на тему Аликвотные дробии Исследовательская работа на тему Аликвотные дробиИсследовательская работа на тему Аликвотные дроби

В папирусе Ахмеса есть задача:.«Как разделить 7 хлебов между 8 людьми?».

Египтяне решали эту задачу так: 7/8 = 1/2 + 1/4 + 1/8.

Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба.

СИсследовательская работа на тему Аликвотные дробиуществовали и другие способы записи дробей, например, для написания дробей от 1/2 до 1/64 использовались составные части глаза Гора.

Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков . К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой(позиционная система исчисления)

Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи в своём труде «Liber Abaci» - это вычисления, использующие десятичные и обычные дроби, вытеснившие со временем египетские дроби. Фибоначчи использовал сложную запись дробей, включавшую запись чисел со смешанным основанием и запись в виде сумм дробей, часто использовались и египетские дроби. Также в книге были приведены алгоритмы перевода из обычных дробей в египетские.

2 Основные операции над аликвотными дробями

Чтобы представить какое либо число в виде суммы аликвотных дробей, порой приходится проявлять, незаурядную изобретательность. Скажем, число Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби выражается так:

Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби.

Производить арифметические действия над числами, раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно.

Начиная решение задач для разложения аликвотных дробей в виде суммы меньших аликвотных дробей, как, например

Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби

мы выявили закономерность, которую записали в виде формулыИсследовательская работа на тему Аликвотные дроби. Эта формула действует, если требуется разложение аликвотной дроби на две аликвотные дроби.

Докажем это равенство:

Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби (1)

Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби, приведя дроби к общему знаменателю, получаем:

Исследовательская работа на тему Аликвотные дробипосле сокращения получаем Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби.

Итак, получается, что Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби. Наша формула верна.

Но если преобразовать нашу формулу, то получим следующее полезное равенство:

Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби. (2)

3 Решение задач

3.1 Решение задач из учебника

Простейшими задачами - разложение дроби на сумму аликвотных дробей. Эти разделить на две категории:

1. в знаменателе простое число,

2. в знаменателе составное число.

Рассмотрим решение задач первого типа:

Для того, чтобы выполнить это задание, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на такое число, чтобы числитель получившейся дроби можно было разложить на слагаемые, каждый из которых будет делителем знаменателя (так как при сокращении в числители получится 1). После решения многих таких задач мы сделали вывод, что таким «удобным» числом является число 6.

Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби.

Задачи второго типа также можно разделить на три вида:

1) числитель сразу можно предс2тавить в виде суммы делителей знаменателя, например

Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби;

2) в числителе число меньшее наименьшего делителя знаменателя:

решение совпадает с решением первого типа

Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби;

3) числитель можно разложить на сумму чисел, среди которых есть как делители знаменателя, так и числа не являющиеся таковыми:

Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби.

Для того чтобы разложить дробьИсследовательская работа на тему Аликвотные дроби на сумму аликвотных дробей, воспользуемся алгоритмом пункта 1.

Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби

Тогда конечный результат будет таким: Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби.

К следующей разновидности задач, относятся задачи подобные задаче о 7 хлебах (рассмотренная выше). Приведем пример из учебника [2]:

№ 730. Олжас, Нуртас и Алмас купили 2 дыни. Как не разрезая каждую дыню на 3 доли, мальчики разделят их поровну?

Решение: По условию задачи 2 дыни нужно разделить на 3 равные части.

Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби.

Каждый мальчик взял по половинке дыни, а когда оставшуюся половину дыни разделили на три равные части, то каждый мальчик получил еще по Исследовательская работа на тему Аликвотные дробидыни.

Ответ: половинка дыни и Исследовательская работа на тему Аликвотные дробидыни.

Подобных задач можно придумать очень много. И над этим мы планируем поработать в дальнейшем. Рассмотрим одну из таких придуманных нами задач.

Задача.

3.2 Решение олимпиадных задач

1. Найдите сумму: Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби.

Решение: Для решения воспользуемся формулой (2)

Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби

и т. д.

т. е. получим Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби.

2. Найти сумму: Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби

Решение: Для решения воспользуемся решением предыдущей задачи.

Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби, и т. д.

Рассуждая аналогично решению предыдущей задачи, получаем ответ Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби.

4 Авторская задача

Хотим предложить свою задачу для решения в олимпиадах.

Чтобы узнать в каком году в Астане будет проводиться международная ярмарка EXPO нужно сумму аликвотных дробей Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби умножить на год, когда Н. А. Назарбаеву исполнится лет.

Решение: Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби

Ответ: 2017 год.

Заключение

При разработке данной темы, мы узнали, что первыми дробями, которыми оперировали люди, были аликвотные дроби. Выяснили, что любая правильная дробь может быть разложено на единичные дроби. В современной математике вместо египетских дробей используются простые и десятичные дроби, однако египетские дроби продолжают изучаться в теории чисел и истории математики. Аликвотные дроби долгое время были единственными дробями, с которыми как-то умел оперировать человек, а правила действий с произвольными дробями разработаны «сравнительно недавно».

Задачи с использованием аликвотных дробей составляют обширный класс нестандартных задач. Аликвотные дроби используются тогда, когда требуется что-то разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий для этого. Мы выяснили, что точного алгоритма решения подобных задач нет, но мы составили приближенный алгоритм решения для различных дробей. Мы рассмотрели решение некоторых олимпиадных задач, а также составили свою.

На этом работа над данной темой не заканчивается. Нам бы хотелось рассмотреть, как можно разложит любое рациональное число Исследовательская работа на тему Аликвотные дроби. А так же составить сборник задач.

© 2010-2022