Тетрадь для правил по геометрии 8 класс

6

Глава VII

Подобные треугольники

Текст

Рисунок, чертеж

Комментарий

Отношением отрезков AB и CD называется отношение их длин.

=;

Отрезки AB и CD пропорциональ-

ны отрезкам A₁B₁ и C₁D₁, если

Теорема о свойстве биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. (№535)

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

A=A₁; В=В₁; С=С₁;

(коэффициент подобия)

Сходственные стороны - стороны, лежащие против равных углов в подобных треугольниках.

AB - A₁B₁;

BC - B₁C₁;

AC - A₁C₁;

Коэффициент подобия - число, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

(коэффициент подобия)

Теорема об отношении площадей подобных треугольников: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

ΔNDK ~ ΔCMR;

S₁ : S₂ = k²;

Теорема об отношении высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках: отношение сходственных сторон подобных треугольников равно отношению высот, проведённым к этим сторонам;

или

отношение высот, проведённых к сходственным сторонам подобных треугольников, равно коэффициенту подобия. (№543)

;

;

Теорема об отношении периметров двух подобных треугольников: отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия. (№547)

рис. см. выше;

ΔАВС ~ Δ А₁В₁С₁;

P : P₁=k;

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

I признак: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

A=A₁; В=В₁;

II признак: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

; A=A₁;

III признак: если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

;

Теорема о свойстве параллельных прямых, пересекающих стороны угла (более общая формулировка теоремы Фалеса): параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. (№556; №558)

=;

=;

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Теорема о средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

MN - средняя линия треугольника;

MN | | AC;

MN= ½AC;

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Теорема о средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

QP - средняя линия трапеции;

BC | | QP | | AD;

QP=½ (BC+AD);

Теорема: середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. (№567)

KMNF - параллелограмм

Теорема о медианах треугольника: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Теорема: отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований. (№569)

BC | | MN | | AD;

MN=½ (AD- BC);

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ

Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков AB CD, если XY=;

Теорема: высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Следствие 1. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Следствие 2. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

ADC ~ACB~BDC;

CD=;

AC=;

CB=;

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла равен отношению синуса к косинусу этого угла.

Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Котангенс угла равен отношению косинуса к синусу этого угла.

sin=;

cos=;

tg=;

tg=

ctg=;

ctg=

Основное тригонометрическое тождество

sin²+cos²=1;

Теорема: если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны, тангенсы этих углов равны, котангенсы этих углов равны.

sinA=sinA₁;

cosA=cosA₁;

tgA=tgA₁;

ctgA=ctgA₁;

ЗНАЧЕНИЯ sin, cos, tg, ctg ДЛЯ УГЛОВ 30⁰, 45⁰, 60⁰

30⁰

45⁰

60⁰

sin

cos

tg

1

ctg

1