Справочные материалы по математике (7 класс) А. Г. Мордкович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ

Действия над многочленами

- (a + b - c)x=-ax - bx + cx; (a + b - c)(x + y)=ax + ay + bx + by - cx - cy

Дроби

; ; ; ; ;

Формулы сокращённого умножения

²= a² ± 2ab + b² (a ± b)³ = a³ ± 3ab² + 3a²b ± b³ a² - b² = (a-b)(a+b)

a³ ± b³ = (a ± b)(a² ± ab + b²)

Степени

Корни

Система двух уравнений первой степени

Квадратное уравнение

общего вида: с чётным 2-м коэффициентом

приведённое разложение трёхчлена на множители

теорема Виета для приведённого уравнения

Неравенства второй степени

D=b²-4ac

a>0

график

ax² + bx + c>0

ax² + bx + c<0

D>0 x₁2

x1 x>x₂

x₁2

D=0 x₁=x₂

x1 x>x₁

нет решений

D<0 корней нет

x R

нет решений

Неравенства с переменной в знаменателе дроби

1. неравенство сводиться к системам: 2.неравенство сводится к системам:

1) 2) 1) 2)

ПРОГРЕССИИ

Арифметическая прогрессия

Общий член d - разность прогрессии, т.е. или

Сумма n - первых членов или

Геометрическая прогрессия

Общий член где q - знаменатель прогрессии сумма членов бесконечно

Свойства геометрической прогрессии: убывающей прогрессии:

Сумма n - первых членов или

ЛОГАРИФМЫ

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени c, в которую нужно возвести основание a, чтобы получилось число b.

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов: ; ; ; ;

; ; ; ;

ЗАМЕЧАНИЕ: все числа a , b , x , y - принимают положительные значения, а если они стоят в основании логарифма, то не равны единице.

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1. уравнения вида: 1) при b<0, уравнение решения не имеет

2) при

3) при уравнение можно решить логарифмируя по основанию а,

2. уравнения вида: выражение, находящиеся в скобках уравнения (2), является величиной постоянной; обозначим эту величину буквой N, тогда уравнение (2) примет вид , при N ≠ 0 имеем:

3. уравнение вида: (1) с помощью подстановки обращается в обычное квадратное уравнение , где y₁ и y₂ - корни. Далее решение уравнения (1) сводится к решению двух уравнений: 1) 2)

4. уравнение вида: легко привести к виду уравнения (1) из 3.

разделив это уравнение на : С помощью подстановки , уравнение принимает вид: и сводится к решению двух уравнений: 1) 2)

ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

1. 1) при 2) при

аналогично для неравенства .

2. для неравенства вида решение сводиться к решению систем:

1) 2) 3) 4)

аналогично для неравенства:

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

1. неравенство вида сводится к решению одной из систем:

1) при a>1 2) при 0<a<1 аналогично для неравенства:

2. неравенство вида сводиться к решению двух систем:

1) 2) аналогично для неравенства

ПРОИЗВОДНАЯ

значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке. - уравнение касательной к графику функции в точке

ФОРМУЛЫ ПРОИЗВОДНЫХ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ

ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Определение Радианная мера углов 1радиан = 180⁰/π ≈57,29577952⁰;

1⁰ = π/180⁰радиан ≈ 0,001745 рад.

Знаки тригонометрических функций

sin α

cos α

tg α

ctg α

0< α <π/2

+

+

+

+

π/2< α < π

+

-

-

-

π< α <3π/2

-

-

+

+

3π/2< α <2π

-

+

-

-

Значения функций характерных углов

радианы

0

π/6

π/4

π/3

π/2

π

3π/2

2π

градусы

0⁰

30⁰

45⁰

60⁰

90⁰

180⁰

270⁰

360⁰

sin α

0

½

√2/2

√3/2

1

0

-1

0

cos α

1

√3/2

√2/2

½

0

-1

0

1

tg α

0

√3/3

1

√3

∞

0

∞

0

ctg α

∞

√3

1

√3/3

0

∞

0

∞

Формулы приведения. Чётность.

аргумент

функция

sin

cos

tg

ctg

-α

-sinα

cosα

-tgα

-ctgα

π/2 ± α

cosα

sinα

ctgα

tgα

π ± α

sinα

-cosα

tgα

ctgα

Основные соотношения

sin²α + cos²α = 1; tgα · ctgα = 1; tgα = sinα/cosα = 1/ctgα; ctgα = cosα/sinα = 1/tgα;

1 + tg²α = 1/cos²α; 1 + ctg²α = 1/sin²α; secα = 1/cosα; cosecα = 1/sinα;

Периодичность

функции sinα и cosα имеют период 2π, а функции tgα и ctgα - период π.

sin(α + 2πn) = sinα, nZ; cos(α + 2πn) = cosα, nZ; tg(α + πn) = tgα, nZ; ctg(α + πn) = ctgα, nZ;

Формулы для суммы и разности аргументов.

sin(α ± β) = sinα · cosβ ± cosα · sinβ; cos(α ± β) = cosα · cosβ sinα · sinβ;

tg(α ± β) = (tgα ± tgβ) / (1 tgα · tgβ); ctg(α ± β) = (ctgα · ctgβ 1) / (ctgβ ± ctgα);

Функции двойных углов

sin2α = 2sinα · cosα; cos2α = cos²α - sin²α = 1-2sin²α = 2cos²α - 1; tg2α = 2tgα / (1-tg²α);

ctg2α = (ctg²α - 1) / 2ctgα;

Функции половинного угла

sin(α/2) = ± cos(α/2) = ± tg(α/2) = ±

2sin²(α/2) = 1 - cosα; 2cos²(α/2) = 1 + cosα; sin²α = (1-cos2α) / 2

Функции полного угла

sinα = 2tg(α/2) / (1+ tg²(α/2)); cosα = (1-tg²(α/2)) / (1+tg²(α/2)); tgα = 2tg(α/2) / (1-tg²(α/2));

Функции тройного угла

sin3α = 3sinα - 4sin³α; cos3α = 4cos³α - 3cosα;

Произведения тригонометрических функций

sinα · cosβ = ½ · (sin(α + β) + sin(α - β)); cosα · cosβ = ½ · (cos(α + β) + cos(α - β));

sinα · sinβ = ½ · cos(α - β) - cos(α + β));

Сумма и разность тригонометрических функций

sinα + sinβ = 2 · sin((α + β)/2) · cos((α - β)/2); sinα - sinβ = 2 · sin((α - β)/2) · cos((α + β)/2);

cosα + cosβ = 2 · cos((α + β)/2) · cos((α - β)/2); cosα - cosβ = 2 · sin((α + β)/2) · sin((α - β)/2);

tgα ± tgβ = sin(α ± β) / (cosα · cosβ); cosα ± sinα = ;

Тригонометрические уравнения

sinα = a, α = (-1)ⁿ · arcsin a + π·n, nZ; cosα = a, α = ± arccos a + 2π, nZ;

tgα = a, α = arctg a + π·n, nZ; ctgα = a, α = arcctg a + π·n, nZ;

Частные случаи

sin x = ±1, x = ± π/2 + 2π, nZ; sin x = 0, x = πn, nZ; cos x = -1, x = π + 2πn, nZ;

cos x = 0, x = π/2 + πn, nZ; cos x = 1, x = 2πn, nZ;

Обратные тригонометрические функции отрицательного аргумента

arcsin(-α) = -arcsinα; arccos(-α) = π - arccosα; arctg(-α) = -arctgα; arcctg(-α) = -arcctgα;

ГЕОМЕТРИЯ

МЕТОД КООРДИНАТ

Пусть на (i, j, k) заданы , тогда операции над ними будут равны:

;

Пусть A ( x₁; y₁; z₁); B (x₂; y₂; z₂); тогда:

вектор; модуль вектора

ТРЕУГОЛЬНИК

внешний угол СВД = ; К - точка пересечения высот (ортоцентр треугольника). h_a, h_b, h_c - высоты треугольника на соответствующие стороны.

где полупериметр .

М - точка пересечения медиан треугольника (центр тяжести).

m_a, m_b, m_c - медианы на соответствующие стороны. МВ:МД=МА:МЕ=МС:МК=2/1

Т - точка пересечения биссектрис треугольника (центр вписанной окружности). L_a, L_b, L_c - биссектрисы соответствующих углов. ВМ:МС = АВ:АС

r - радиус вписанной окружности. О - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности). Радиус описанной окружности:

где S_Δ - площадь треугольника; p - периметр треугольника; h_c -

высота опущенная на соответствующую сторону с. На всех 4-х нарисованных треугольниках стороны одинаково обозначены, просто на 1-м они обозначены, а на остальных они опущены для упрощения рисунка. И вообще подразумевается, что все 4 треугольника абсолютно одинаковые.

MN - средняя линяя треугольника. MN=0.5AC; MN║AC.

ТЕОРЕМА СИНУСОВ

где R - радиус описанной окружности.

ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ

ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

где - длины сторон треугольника, а - высоты, опущенные на соответствующие стороны.

- формула Герона.

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

тогда площадь

ПРАВИЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

а и b - катеты, с - гипотенуза, а_с и b_c - проекции катетов на гипотенузу.

а² + b² = c² - теорема Пифагора.

S= a·b/2 = c·h_c/2; - радиус вписанной окружности.

R = c/2, - радиус описанной окружности.

sinA = a/c; cosA = b/c; tgA = a/b; ctgA = b/a; b² = c·b_c;

a = c·sinA = c·cosB = b·tgA = b·ctgB; c = a/sinA = a/cosB = 2R;

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ

ПРЯМОУГОЛЬНИК

РОМБ

КВАДРАТ

ТРАПЕЦИЯ

_{а и b - основания, h - высота}

ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ

Длина окружности с =2πR. Площадь круга S = πR² = πD²/4.

Длина дуги l = π·R·α/180⁰. Площадь сектора S = π·R²·α/360⁰.

где α - величина угла дуги в градусах.

ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И КРУГ

Свойство вписанного четырёхугольника:

ac + bd = ef, где a,b,c,d - стороны, e,f - диагонали.

Свойство описанного четырехугольника: a + c = b + d;

S = p·r, p - полупериметр.

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ

Внутренний угол где n - число сторон. a_n = 2R·sin(180⁰/n);

S_n = ½ ·n·a_n·r; S_n = ½ ·P_n·r; r = R·cos(180⁰/n);

ШЕСТИУГОЛЬНИК

СТЕРЕОМЕТРИЯ

ПРИЗМА

Боковая поверхность наклонной призмы S_б.п. = P₁·l, где P₁ - периметр перпендикулярного сечения, l - ребро призмы. Боковая поверхность прямой призмы S_б.п. = P_осн ·l; Объём призмы V_пр=S_осн·h;

ПИРАМИДА

I. Если боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (их длины равны), то высота проходит через центр окружности описанной около многоугольника основания.

II. Если боковые грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания (длины апофемы равны), то высота проходит через центр окружности, вписанной в многоугольник основания.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: S_б.пир.= ½ ·P_осн·h_a , где h_a - апофема.

S_б.пир.= S_осн /cosα , где α - угол наклона боковой грани к основанию.

Объём пирамиды: V_пир= ⅓·S_осн·h, где h - высота пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды: S_бок= ½ ·(P₁+P₂)·h_a , где P₁, P₂ - периметры оснований (верхнего и нижнего); h_a - апофема.

Объём усечённой пирамиды: где Q₁ и Q₂ - площади оснований.

ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

ЦИЛИНДР

Площадь боковой поверхности: S_бок =2·π·R·h; Площадь всей пов-ти: S=2·π·R·(R + h); Объём: V = πR²·h;

КОНУС

Площадь пов-ти конуса: боковой S_б=πrl; полной S_п=πr ·(r + l); где l - образующая. Объём: V=πr²h/3;

УСЕЧЁННЫЙ КОНУС

Площадь боковой пов-ти: S_б.у.к.= π·l·(R + r); Объём: V=⅓·π·h(R² + r² +Rr); угол развёртки: α=(R-r)/l;

ШАР

Площадь пов-ти сферы: S_сф=4πR²; Объём шара: V_ш=4/3·πR ³;

ТАБЛИЦА ПЕРВООБРАЗНЫХ ИНТЕГРАЛОВ

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)