Сообщение по математике на тему Теория Янга — Миллса

Теория Янга - Миллса

Теория Янга - Миллса - калибровочная теория с неабелевой калибровочной группой. Калибровочные поля в этой теории называются полями Янга - Миллса. Такие теории были предложены в 1954 году Чж. Янгом и Р. Миллсом, однако некоторое время рассматривались лишь как математические изыски, не имеющие отношения к реальности. Несмотря на это, именно на основе теорий Янга - Миллса в 1960-1970-х годах были созданы две краеугольные теории Стандартной в физике элементарных частиц: квантовая хромодинамика (теория сильных взаимодействий) на основе группы SU(3) и теория электрослабых взаимодействий на основе группы SU(2).

Характерные свойства теорий Янга - Миллса

• Неабелевость группы означает, что поля-переносчики взаимодействий Янга - Миллса могут взаимодействовать сами с собой и друг с другом. Это влечёт за собой то, что уравнения, описывающие эволюцию полей Янга - Миллса, являются нелинейными (в противоположность линейным уравнениям Максвелла, отвечающим абелевой теории). Можно также сказать, что для полей Янга - Миллса не выполняется принцип суперпозиции.

• Кванты полей Янга - Миллса являются векторными частицами (то есть бозонами со спином 1) и обладают нулевой массой. Однако с помощью механизма спонтанного физические поля Янга - Миллса могут приобретать ненулевую массу.

• Нелинейность уравнений Янга - Миллса делает их очень сложными для решения. В режиме малой константы связи эти уравнения удается решить приближенно в виде ряда теории возмущений, однако как решить эти уравнения в режиме сильной связи, пока неизвестно. Неизвестно также, как именно эта нелинейность приводит к наблюдаемому в нашем мире конфайнменту в сильных взаимодействиях. Проблема решения уравнений Янга - Миллса в общем случае является одной из семи математических «Проблем тысячелетия», за решение любой из которых Математический институт Клэя присудит премию в 1 миллион долларов США.

Математика

Теории Янга - Миллса - специальный пример калибровочной теории поля с неабелевой калибровочной группы симметрий. Лагранжиан свободного поля Янга - Миллса таких теорий имеет определённый вид

где F - 2-форма напряжённости поля Янга - Миллса, остающаяся инвариантной при воздействии на тензор-потенциал калибровочной группы:

где под понимается ковариантная производная в пространстве-времени, в пространстве Минковского в галилеевых координатах сводящаяся к обычной частной производной.

Порождающие алгебры Ли калибровочной группы удовлетворяют соотношению

где называются структурными константами группы.

Ковариантные (иногда называемые удлинёнными) производные полей, взаимодействующих через поля Янга - Миллса данной теории, определены как

где - единичный оператор, а - это константа взаимодействия. В четырёхмерном пространстве-времени константа взаимодействия - это безразмерная величина. Для SU(N) групп

Вышеприведённое определение может быть получено, исходя из коммутатора

Само поле Янга - Миллса оказывается при этом самодействующим, а получающиеся уравнения движения

называются полулинейными. В случае малой константы связи в данной теории применима теория возмущений.

Отметим, что переход между «верхним» («контравариантным») и «нижним» («ковариантным») векторными или тензорными компонентами тривиальны для групповых латинских индексов (например, , в групповом пространстве введена евклидова метрика), но нетривиальны для пространственно-временных греческих индексов, которые жонглируются метрикой пространства-времени, в простейшем случае - обычной метрикой Лоренца .

С введением , уравнения движения можно переписать так

Так как F - 2-форма, то выполняется тождество Бьянки

Источник входит в уравнения движения как

Обратите внимание, что токи тоже должны правильно меняться при калибровочных преобразованиях.

Приведем здесь некоторые комментарии по поводу физической размерности константы связи. Отметим, что в D измерениях пространства-времени поле масштабируется как и, таким образом, взаимодействие должно иметь размерность . Это означает, что теории Янга - Миллса неперенормируемы для размерностей пространства-времени больше, чем четыре (см. также Антропный принцип). Кроме того, отметим, что для константа связи безразмерна, а поле и квадрат константы взаимодействия имеют одинаковые размерности с полем и константой взаимодействия теории скалярного безмассового поля с самодействием . Таким образом, эти теории имеют одинаковую масштабную инвариантность на классическом уровне.