Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Тема занятия: Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Вид занятия (тип урока): Комбинированный

Цели урока:

Дидактическая:

  • повторить пройденный материал;

  • углубить знания студентов по теме "Решение систем линейных уравнений";

  • изучить решение систем линейных уравнений c помощью метода Крамера;

  • научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.

Развивающая:

  • способствовать развитию:

  • логического мышления;

  • памяти;

  • умению сравнивать, обобщать, анализировать;

  • интереса к избранной специальности.

Воспитательная:

  • стремиться воспитывать:

  • чувства ответственности, исполнительности, аккуратности;

  • чувство гордости за избранную профессию;

  • положительное отношение к знаниям, учениям;

  • интерес к математике

Межпредметные связи:

  • Обеспечивающие: история, русский язык, информатика

  • Обеспечиваемые: специальные предметы

  • Обеспечение занятия:

Наглядные пособия: Презентации к уроку

Раздаточный материал: карточки.

Технические средства обучения: калькуляторы, компьютеры, интерактивная доска

ПЛАН УРОКА

1. Организационный момент (слайд №1)

Здравствуйте, студенты. Тема урока: "Решение систем линейных уравнений методом Крамера". Ученый-математик Колмогоров А.Н. говорил: "Без знаний математики нельзя понять ни основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления", поэтому математика связана с будущей специальностью. В результате изучения темы научимся решать задачи прикладного характера для профессиональной деятельности.

2. Постановка целей занятия

Цели урока: повторить пройденный материал; углубить знания по теме "Решение систем линейных уравнений"; изучить решение систем линейных уравнений с помощью метода Крамера; научиться решать системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и трех линейных уравнений с тремя неизвестными, используя метод Крамера.

3. Проверка домашнего задания

4. Проверка знаний (слайды № 2,3,4).

Экспресс-опрос

  1. Какое уравнение называется линейным?

  2. Напишите систему m линейных уравнений с n переменными.

  3. Назовите коэффициенты при переменных.

  4. Какие числа называются свободными членами?

  5. Что является решением системы?

  6. Какие методы решения систем линейных уравнений знаете?

Ответы: Уравнение называется линейным, если оно содержит переменные только в первой степени и не содержит произведений переменных.

В системе m линейных уравнений с n переменными:

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Числа Решение систем линейных уравнений методом Крамера называются коэффициентами при переменных, а Решение систем линейных уравнений методом Крамера - свободными членами.

Совокупность чисел Решение систем линейных уравнений методом Крамера называется решением системы линейных уравнений, если при подстановке их вместо переменных во все уравнения они обращаются в верные равенства.

5. Изучение нового материала

В школьном курсе рассматриваются способ подстановки и способ сложения. В курсе высшей математике решают методом Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы. Рассмотрим решение систем линейных уравнений методом Крамера

5.1 Знакомство с биографией Крамера

При изучении новой темы "Решение систем линейных уравнений методом Крамера" важное место занимает связь истории с математикой, что прививает интерес к предмету. Познакомимся с биографией Габриэля Крамера.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Сведения из истории (слайды № 5-10)

Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных его работ является "Введение в анализ алгебраических кривых", опубликованный на французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем - метод Крамера.

Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария) в семье врача.

Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.

В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Учёный много путешествовал по Европе, перенимая опыт у знаменитых математиков своего времени - Иоганна Бернулли и Эйлера в Базеле, Галлея и де Муавра в Лондоне и других. Со многими из них он продолжал переписываться всю жизнь.

В 1729 году Крамер возобновляет преподавательскую работу в Женевском университете. В это время он участвует в конкурсе Парижской Академии и занимает второе место. Талантливый учёный написал множество статей на самые разные темы: геометрия, история, математика, философия. В 1730 году он опубликовал труд по небесной механике.

В 1740-е гг. Иоганн Бернулли поручает Крамеру подготовить к печати сборник своих работ. В 1742 году Крамер публикует сборник в 4-х томах. В 1744 году он выпускает посмертный сборник работ Якоба Бернулли (брата Иоганна Бернулли), а также двухтомник переписки Лейбница с Иоганном Бернулли. Эти работы вызвали большой интерес со стороны учёных всего мира.

Габриэль Крамер скончался 4 января 1752 года во Франции

5.2 Решение системы линейных уравнений методом Крамера(слайды № 11-15)

Теорема Крамера.

Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе - определитель системы, а в числителе - определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.

Дана система Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Формулы Крамера Решение систем линейных уравнений методом КрамераРешение систем линейных уравнений методом Крамера………….Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной свободными членами:

Решение систем линейных уравнений методом КрамераРешение систем линейных уравнений методом КрамераРешение систем линейных уравнений методом Крамера

6. Закрепление.

6.1 Решение системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера (слайды № 16-19)

1) Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Ответ: (1;-1)

2) Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 12 млн усл. ед. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 70%, второго - на 40%. В результате суммарная прибыль должна вырасти в 1,5 раза. Какова величина прибыли каждого из отделений: a) в минувшем году; б) в этом году?

Решение. Пусть x и y - прибыли первого и второго отделений в минувшем году.

Тогда условие задачи можно записать в виде системы: Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Решив систему, получим x = 4, y = 8.

Ответ: а) прибыль в минувшем году первого отделения - 4 млн усл. ед., второго - 8 усл.ед.: б) прибыль в этом году первого отделения 1,7. 4 = 6,8 млн усл. ед., второго 1,4. 8 = 11,2 млн усл. ед.

При решении системы уравнений могут встретиться три случая:

1) система линейных уравнений имеет единственное решение

(система совместна и определённа)

Условия:

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

2) система линейных уравнений имеет бесчисленное множество решений

(система совместна и неопределённа)

Условия:

Решение систем линейных уравнений методом Крамера,

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

т.е. коэффициенты при неизвестных и свободные члены пропорциональны.

3) система линейных уравнений решений не имеет

(система несовместна)

Условия:

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Система называется несовместной, если у неё нет ни одного решения, и совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определённой, а более одного - неопределённой.

6.2 Решение системы трех линейных уравнений с тремя двумя неизвестными методом Крамера (слайды № 20-22)

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Ответ: (1; 0; -1) .

Решение. Находим определители системы:

Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Решение систем линейных уравнений методом Крамера Решение систем линейных уравнений методом КрамераРешение систем линейных уравнений методом Крамера

Решение систем линейных уравнений методом КрамераРешение систем линейных уравнений методом КрамераРешение систем линейных уравнений методом Крамера

Ответ: (1; 0; -1) .

7. Домашнее задание (слайд № 23)

Решите системы:

1)Решение систем линейных уравнений методом Крамера

2) Решение систем линейных уравнений методом Крамера

8. Подведение итогов

Подведем итоги урока. По результатам работы на уроке выставляются оценки, с последующей демонстрацией успеваемости в виде диаграммы на интерактивной доске.


© 2010-2022