МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

ГИМНАЗИЯ №16 города Тюмени

Заочная физико-математическая школа

Математическое отделение

Сравнения. Диофантовы уравнения

Задание №___ для 10 - 11-ых классов

Тюмень 2015

Д.И. Иванов, А.Ю. Куликов. Тема: Методические указания по теме «Сравнения. Диофантовы уравнения» разработаны для учеников 10 - 11-го класса.

В настоящих методических указаниях представлен теоретический материал по данной теме, приведены примеры типовых задач с подробными решениями, а также представлены задачи для самостоятельного решения, которые помогут проверить уровень понимания темы после изучения пособия.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: В. Н. Кутрунов, д. ф.-м. н., профессор.

РЕЦЕНЗЕНТЫ: Т. Г. Латфуллин, д. ф.-м. н., профессор кафедры математического анализа и теории функций Тюменского государственного университета.

Н. В. Игнатовская, учитель математики МАОУ гимназии №16 г. Тюмени.

© ФБГОУ ВПО Тюменский государственный университет

© МАОУ гимназия №16 г. Тюмень

© Д.И. Иванов, А.Ю. Куликов, 2015

ГЛАВА 1. СРАВНЕНИЯ

1. Теоретический материал

Если целые числа a и b при делении на натуральное число m дают равные остатки, то эти числа сравнимы по модулю m.

(1)

Выражение (1) называется сравнением.

Свойства сравнений:

1. Разность a - b делится на m.

2. Если, то a делится нацело на m.

3. Если, то верно следующее сравнение , где

4. Если и , то .

5. Если и , то имеют место следующие сравнения

• - сравнения можно складывать;

• - сравнения можно вычитать;

• - сравнения можно умножать.

6. Если , то имеет место сравнение .

7. Если , m ≠ 1, а числа k и m взаимно просты, то .

   2. Примеры заданий по теме «Сравнения»

Задание 1. Решить сравнения:

Решение

1. Разрешим сравнение . По свойству 3 получим сравнение . Так как 4 и 7 взаимно просты, то по свойству 7 получим .

2. Разрешим сравнение . По свойству 3 получим сравнение . Так как 5 и 9 взаимно просты, то по свойству 7 получим .

3. Разрешим сравнение . По свойству 3 получим сравнение . Так как 7 и 13 взаимно просты, то по свойству 7 получим .

Ответ: a) ; b).; c)..

Задание 2. Доказать, что при любых натуральных значениях n

Доказательство:

1. Пусть. Тогда. Разрешим данное сравнение => => , значит .

2. Пусть . Тогда. Разрешим данное сравнение => => => , значит .

3. Пусть . Тогда. Разрешим данное сравнение => => => , значит .

Задание 3. Найти последнюю цифру числа

Решение

1. Заметим, что число для любого натурального n оканчивается на цифру 6, число оканчивается на цифру 2, число оканчивается на цифру 4 и число оканчивается на цифру 8. Число можно представить в виде . Значит, число оканчивается на цифру 4.

2. Чтобы найти последнюю цифру числа, нужно рассмотреть данное число по модулю 10. Так как => . => . Заметим, что число для любого натурального n оканчивается на цифру 1, число оканчивается на цифру 3, число оканчивается на цифру 9 и число оканчивается на цифру 7. Число можно представить в виде . Значит, число оканчивается на цифру 9.

3. Так как => произведение оканчивается на 0. Значит, число оканчивается на ту же цифру, что и . Число можно представить в виде . Значит, число оканчивается на цифру 4. Тогда оканчивается на цифру 8 оканчивается на цифру 8.

Ответ: a) 4; b)9; c)8.

Задание 4. Найти остаток от деления числа

1. ;

2. 

3. 

Решение:

1. Так как => 4⦁
   => . Значит остаток от деления числа равен 4.

2. Так как => . => . Значит остаток от деления числа равен 2.

3. Так как и => , т. е. . Значит остаток от деления числа равен 3.

Ответ: a) 4; b)2; c)3.

ГЛАВА 2. ДИОФАНТОВЫ УРАВНЕНИЯ

2.1. Линейные диофантовы уравнения.

Общий вид линейного диофантова уравнения + , где - целые числа, а - неизвестные данного уравнения.

Рассмотрим линейные уравнения с двумя неизвестными, то есть рассмотрим уравнения вида

. (2.1)

Предположим, что a, b, c - целые числа и поставим задачу - найти целочисленные решения уравнения (1), то есть все пары чисел x и y такие, что уравнение (1) обращается в верное числовое равенство, или показать, что таких чисел нет.

Пусть a, b, c не имеют общего делителя, отличного от единицы. Если a, b, c имеют общий делитель, отличный от единицы, то разделим обе части уравнения (1) на этот общий делитель.

Пусть d - наибольший общий делитель чисел a и b. Возможны два случая . Рассмотрим оба случая.

Случай 1: . Пусть уравнение (1) имеет целочисленное решение. Тогда существуют целые числа x и y, которые обращают уравнения (1) в верное числовое равенство.

Так как, d - наибольший общий делитель чисел a и b, причём где m и n - целые числа, не имеющие общих натуральных делителей, отличных от единицы (m и n - взаимно просты числа).

Тогда равенство (1) примет вид

. (2.2)

По предложению числа a, b, c не имеют общего делителя, отличного от единицы. Но из равенства (2.2) следует, что c делится на d, где то есть a, b и c имеют общий делитель Получаем противоречие, значит уравнение (2.1) при не может иметь целочисленных решений.

Случай 2: . Пусть (α,β) - целочисленное решения уравнения (2.1), тогда является верным равенство

(2.3)

Если (x;y) - произвольное целочисленное решение уравнения (2.1), то равенство (2.1) является верным. Вычитая почленно из равенства (2.1) равенства (2.3), получаем

отсюда следует, что

. (2.4)

Число α - целое и, кроме того, a и b - взаимно простые числа. Поэтому число x, определяемое формулой (2.4), будет целым тогда и только тогда, когда β-y делится на a. Обозначим

(2.5)

Тогда t -целое число, и равенство (2.4) примет вид

, (2.6)

а из равенства (2.5) следует, что

. (2.7)

Таким образом, доказано, что если (α,β) - какое-либо целочисленное решения уравнения (2.1), то все решения этого уравнения задаются формулами (2.6 и 2.7), где .

Замечание. Если целочисленное решение уравнения , то является целочисленным решением уравнения (2.1), так как из верного равенства следует верное равенство

(2.8)

Это утверждение часто оказывается полезным при отыскании решения уравнения (2.1)

Задание 1. Решить диофантовы уравнения

1. ;

2. ;

3. ;

Решение.

1. Перепишем уравнение в виде . Поскольку левая часть делится на 3, то и правая часть должна делиться на3. Рассмотрим три случая:

1. Если то не делится на 3.

2. Если то не делится на 3.

3. Если то делится на 3. Поэтому , т. е.

2. Заметим, что пара чисел ( -9; 13) - решение данного диофантового уравнения , где a = 36, b = 25. Тогда все решения этого уравнения задаются формулами (используем формулы 2.6 и 2.7) ; , где .

3. Используя решения пункта b) и замечания к данному пункту, получим

; , где .

2.2. Методы решения диофантовых уравнений второго порядка с двумя переменными.

Рассмотрим диофантово уравнение второго порядка с двумя переменными вида

(2.9)

где и хотя бы одно из чисел a, b, c отлично от нуля. Одним из методов является разложение на множители.

Рассмотрим примеры решения данных уравнений.

Задание 1. Найти все пары целых чисел (x,y), каждая из которых удовлетворяет уравнению .

Решение. Преобразуем данное уравнение к следующему виду
. Разложив левую часть как многочлен второй степени относительно y, получим . Чтобы решить уравнение, надо рассмотреть решение четырёх систем

1. - не имеет решений в целых числах

2. - не имеет решений в целых числах

3. - имеет решение (x,y) = (2,1)

4. - имеет решение (x,y) = (-2,-1)

Ответ: (-2,-1); (2,1).

Задание 2. Найти все пары натуральных чисел разной чётности, удовлетворяющие уравнению .

Решение. Преобразуем данное уравнение следующим образом
. Так как m и n - натуральные числа разной чётности, то число 144 надо представить в виде произведения чётного и нечётного множителя. Возможны следующие варианты:

1. - m = 13, n = 156

2. - m = 15, n = 60

3. - m = 21, n = 28

4. - n = 13, m = 156

5. - n = 15, m = 60

6. - n = 21, m = 28

Ответ: (m,n) : (13,156); (15,60); (21,28); (156,13); (60,15); (28,21).

ГЛАВА 3. Сборник заданий для самостоятельного решения

1. Решить сравнение .

2. Найти последнюю цифру числа

3. Найти остаток от деления числа .

4. Решить уравнение в целых числах .

5. Решите задачу. Во дворе обитают коровы и утки. На всех обитателей двора приходится 84 лапы. Сколько коров и сколько уток, если известно, что всего 27 голов во дворе

6. Докажите, что для любых

7. Найти все пары целых чисел (x,y), каждая из которых удовлетворяет уравнению .

8. Найти последнюю цифру числа

9. Найти остаток от деления числа

10. Решите задачу. В кармане у Гоши монеты номиналом 1 рубль, 2 рубля и 5 рублей. Известно, что общее количество монет - 18, а сумма всех монет составляет 74 рубля. Найдите количество монет каждого номинала, если известно, что количество монет номиналом 5 рублей столько же, сколько и утроенное количество монет номиналом 2 рубля вместе с количеством монет номиналом 1 рубль.

11. Решить уравнение в натуральных числах .

12. Разложить дробь на сумму двух дробей со знаменателями 3 и 7 соответственно.

13. Решите задачу. Красный карандаш стоит 17 рублей, синий - 13 рублей. Нужно купить карандаши, имея 495 рублей с условием, что число синих карандашей не должно отличаться от числа красных карандашей больше чем на пять. Сколько синих и сколько красных карандашей куплено, если всего приобретено 32 карандаша.

14. Решите уравнение в целых числах .

15. Решить уравнение в целых числах .

Оглавление

Глава 1. Сравнения…………………………………………………..3

п. 1.1. Теоретический материал................................................................3
п. 1.2 .Примеры заданий по теме «Сравнения».......................................3

Глава 2. Диофантовы уравнения 6

п. 2.1. Линейные диофантовы уравнения 6

п. 2.2. Методы решения диофантовых уравнений второго порядка с двумя переменными. 9

Глава 3. Сборник заданий для самостоятельного решения…...11