- Преподавателю
- Математика
- Решение тригонометрических уравнений
Решение тригонометрических уравнений
| Раздел | Математика |
| Класс | - |
| Тип | Конспекты |
| Автор | Орлова Е.В. |
| Дата | 21.08.2014 |
| Формат | docx |
| Изображения | Есть |
УРОК ОБОБЩЕНИЯ ЗНАНИЙ
10 КЛАСС
Е. В. Орлова, пгт Красногвардейское, Республика Крым
высшая категория, «Учитель-методист»
ТЕМА: Методы решения тригонометрических уравнений.
ЦЕЛЬ: 1. Систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся,
связанные с применением методов решения тригонометрических
уравнений.
2. Содействовать развитию математического мышления учащихся.
3. Побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной
деятельности.
4. Прививать умение слушать и объяснять ход решения; развивать интерес
к математике.
ОБОРУДОВАНИЕ: бланки (1,2 части ВНО), плакат «Методы решения
тригонометрических уравнений».
ХОД РАБОТЫ:
1.Организационный момент
Воспитательная цель: организовать внимание учащихся.
2.Актуализация знаний
Тема нашего урока- «Методы решения тригонометрических уравнений». На этом уроке мы должны вспомнить методы решения простейших тригонометрических уравнений и уравнений сводящихся к ним.
«Три пути ведут к знаниям: путь размышления - это путь самый благородный; путь подражания - это путь самый лёгкий и путь опыта - самый горький». Конфуций
Мы умеем решать простейшие тригонометрические уравнения:
а) Работа по карточкам (3 человека):
1) 
− 7 
0
2) 
− 1 0
3) 5 ctg5 − 5 0
На доске: б) (Устно):
Найти соответствие букв:
1.
= 
; 2. 
= −
; 3. = 1 ; 4. = 3 ; 5. = 
О. 
; И. 
; Ч. 
Л. Нет решений; С. 
(1 − ч, 2 − и, 3 − с, 4 − л, 5 − о)
в) (Устно) Вычислить:
( 0,6) = ( ) =
( 0˚) = ( 
) =
г) (Устно) Ответьте на вопросы:
Что называется арксинусом числа ?
Что называется арккосинусом числа ?
Что называется арктангенсом числа ?
Что называется арккотангенсом числа ?
д) (Устно) Указать пропуски в тождествах:
(−) = ; (− ) = ;
(− ) = ; (− ) = ;
+ = ; + =
3. Работа по внешнему оцениванию (раздать бланки ответов)
1 часть:
-
Какая из тригонометрических функций является чётной?
а) = ; б) = ; в) = ; г) = ; д) все
2. Как называется график функции ?
а) гипербола; б) синусоида; в) парабола; г) прямая; д) нет ответа
3. Какое из тригонометрических уравнений не имеет корней:
а) = 1; б) = 
; в) = ; г) = 
; д) все имеют
4. Укажите период функции = 4
а) 
; б) ; в) 4; г) 2; д) определить нельзя
5. Вычислите 0 + 0
а) 0; б) 1; в) 
; г) ; д) −
6. Упростите 
а) 2 ; б) ; в) 2 ; г) 1; д) 2
2 часть:
Впишите верный ответ:
-
( + ) =
-
= −
-
( + ) =
4. Новая тема
«Метод решения хорош, если с самого начала мы сможем предвидеть − и в последствии подтверждать это, − что следуя этому методу, мы достигнем цели» Лейбниц
1)Метод разложения на множители
2)Метод замены переменной
Сводится к квадратным сводится к алгебраическому
(различным преобразованиям)
3)Метод использования свойств ограниченности функции.
4)Сведения тригонометрических уравнений к однородному.
1) Метод разложения на множители:
а) 3 − 5 0 () = ()
2 4 (− ) = 0 ƒ() = () + 2, ∊
4 0 или (− ) = 0 () − () + 2, ∊
4 + , ∊ = , ∊ 5 = 3 + 2, ∊
+ 
, ∊ 5 = − 3 + 2, ∊
Ответ: , ∊ = , ∊
+ , ∊ = + , ∊
б) 7 - 3 0 () = ()
−2 5 2 0 () () + 2, ∊
5 0 или 2 0 () − () + 2, ∊
5 , ∊ 2 , ∊ 7 = 3 + 2, ∊
, ∊ = 
, ∊ 7 = −3 + 2, ∊
Ответ: , ∊ = 
, ∊
, ∊ = 
, ∊
в) ⁴ − ⁴ = ²
(² − ²)(² + ²) = ²; ² − ² − ² = 0
−² = 0; = 0
Ответ: = + , ∊ = + , ∊
г) 2 − = 0
2 − = 0
(2 - 1) = 0
= 0 или 2 - 1 = 0
= + , ∊ =
= (− 1)ⁿ· + , ∊
Ответ: = + , ∊
= (− 1)ⁿ· + , ∊
д) 
= 0
= 0
= 0
Ответ: нет корней
е) 1 + · 5 = · 5
1 = · 5 − · 5
1 = ( + 5)
6 = 1
6 = 2, ∊
= 
, ∊
Ответ: = , ∊
5.Пауза (ФИЗКУЛЬТМИНУТКА)
-
Сколько корней имеет уравнение: (² − 1)(
- 3) = 0 -
2 · 2²⁰⁰⁵ + 3 · 2²⁰⁰⁶= ?
-
Согласно легенде, когда умирал Будда, к нему пришли проститься животные. Кто из них оказался первым? Имя ближайшего родственника произошло от английского «hamster» − запасать ? (Мышь)
2) Метод замены переменной:
а) 4² − 8 + 3 = 0 =
4² − 8 + 3 = 0 ² = ²
Д = ² − 4 = 16 (2к)
₁͵₂ = 
; ₁ = 
; ₂ =
= или =
= 
, ∊ нет корней (
)
Ответ: = , ∊
б) ²7 + 3 7 - 3 = 0
(1 − ²7) + 3 7 - 3 = 0 7 =
Ответ: = 
+ 
, ∊
в) ³ − ² + = 1 =
( - 1)(² + 1) = 0
= 1 ² + 1 = 0
нет корней
Ответ: = + , ∊
3)Метод использования свойств ограниченности функции:
а) sin ∙sin 5 =1
sin =1
=π/2+2πn, n є Z
sin5 =1
sin5(π/2+2πn)=1
sin(5π/2+5∙2πn)=1
sin(5π/2)=1
sin(π/2)=1 - верно
Ответ: = π/2+2πk, k є Z
sin = -1
= -π/2+2πn, n є Z
sin5x= -1
sin5(-π/2+2πn)= -1
sin(-5π/2+5∙2πn)= -1
sin(-5π/2)= -1
sin(-π/2)= -1
- sin(π/2)= -1 - верно
4) Сведение тригонометрических уравнений к однородному:
Однородными уравнениями первой и второй степени называются уравнения вида:
a sin x + b =0 (1)
a ² +bsin + c²=0 (2)
соответственно (а ≠ 0, b ≠ 0, с ≠ 0).
При решении однородных уравнений почленно делят обе части уравнения на cosx для (1) уравнения и на ² для (2). Такое деление возможно, так как sinx и cosx не равны нулю одновременно - они обращаются в нуль в разных точках. Рассмотрим примеры решения однородных уравнений первой и второй степени.
а) sin - √3 =0 ∕
- √3 =0
= √3
Ответ: = 
+ , ∊
б) 2 ²2+ 3 ²2=2,5∙ sin 4
2 ²2+ 3 ²2=5 ∙ sin 2∙ 2 / ²2
2²2 - 5 + 3 = 0
2 = t
2² - 5 +3 = 0
= 1 =
2 = 1 2 =
2 = + , ∊ 2 =arctg + k, k∊
= + , ∊ =arctg + k, k∊
Ответ: = + , ∊ =arctg + k, k∊
6. Итоги урока
1.О каких методах решения тригонометрических уравнениях вы узнали на уроке? 2.Что на уроке было самым сложным, простым?
3.Выставление оценок.
7.Домашнее задание а) 
;
б) 
;
в) 3 + = 4 2;
г) 3² − 
= 1;
д) ² 4 + 4 = 0.
Кто сказал, что математика скучна,
Что она сложна, суха, тосклива…
В этом вы не правы, господа,
Знайте: математика - красива!!!
8.Литература
-
М.Л. Галицкий, М.М. Мошкович, С.И. Шварцбурд. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа для 10-11 класса, Москва, Просвещение, 1990 г.
-
И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учебное пособие для 11 кл. средней школы - М., Просвещение, 1999.
-
М.И. Сканави сборник задач по математике для поступающих в
ВУЗы, Киев.,Каннон,1997г
4. Д.Н. Кравчук Сборник задач по математике с решениями. Донецк: ПКФ
"БАО", 1997
5. К.А. Иванов-Муромский Мозг и память. Киев: Наук. Думка 2001
8