Исследовательский проект Это загадочное число π

МУНИЦИПАЛЬНАЯ VII УЧЕНИЧЕСКАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ « ЮНОСТЬ: ТВОРЧЕСТВО, ПОИСК, УСПЕХ»

Аннинский муниципальный район

Воронежская область

Секция: МАТЕМАТИКА

Тема: «Это загадочное число π»

Авторы работы: Митрофанова Наталья, Киселев Иван, Порокин Александр, Порокин Артём, Бокова Анна

МКОУ Аннинская СОШ №3, 9 «В» класс

Место выполнения работы: МКОУ Аннинская СОШ № 3, 9 «В» класс,

Воронежская область, п.г.т. Анна

Научный руководитель:
Конюхова Галина Станиславовна,
учитель математики МКОУ Аннинская СОШ №3

г. АННА, 2014/2015учебный год

Содержание.

стр.

1. Введение………………………..……………………………………………2,3

2. История числа π……………………………………………………………...4-9

2.1. Математика Древнего Междуречья, Древнего Египта…………….4,5

2.2. Математические достижения в Древней Греции…………………..5-7

2.3. Приближения числа π в Индии и Китае………………………………7

2.4. Число π в Европе (15 - 16 вв.)…………………………………………8

2.5. Число Лудольфа………………………………………………………8,9

3. Задача о квадратуре круга………………………………………………...10-12

4. Иррациональность и трансцендентность числа π……………………….13-15

5. 100 000 знаков числа π…………………………………………………….16-18

6. Способы вычиления числа π……………………………………………...19-26

6.1. Библейское вычисление числа π…………………………………..19-21

6.2. Простейшие вычисления……………………………………………...21

6.3. Измерение с помощью взвешивания…………………………………22

6.4. Суммирование площадей прямоугольников,
вписанных в полукруг……………………………………………………...23

6.5. Метод Монте-Карло………………………………………………..24,25

6.6. Вычисление с помощью ряда Тейлора……………………………....26

7. Чудных формул совершенство……………………………………………27,28

8. В погоне за бесконечностью…………………………………………...29-38

9. Число π в современной математике………………………………………39-44

10. Это интересно……………………………………………………………...45,46

11. Заключение…………………………………………………………………...47

12. Литература……………………………………………………………………48

1. Введение

Хотя число π является лишь одним из бесконечного множества действительных чисел, оно обратило на себя внимание людей ещё в те времена, когда они не умели письменно излагать ни своих знаний, ни своих переживаний, ни своих воспоминаний. С тех пор как первые натуральные числа 1, 2, 3, ... стали неразлучными спутниками человеческой мысли, помогая оценивать количества предметов либо их длины, площади или объемы, люди познакомились и с числом π. Тогда оно ещё не обозначалось одной из букв греческого алфавита и его роль играло число 3.

Нетрудно понять, почему числу π уделяли так много внимания. Выражая величину отношения между длиной окружности и длиной её диаметра, оно появлялось во всех расчетах, связанных с площадью круга или длиной окружности. Но уже в глубокой древности математики довольно быстро и не без удивления обнаружили, что число 3 не совсем точно выражает то, что теперь известно как число π. К такому выводу они могли прийти только после того, как к ряду натуральных чисел добавились дробные числа.

По мере того как в области геометрии накапливались новые результаты, разгорались споры о природе числа π. Этому во многом способствовали попытки геометров определить сторону квадрата, имеющего площадь, точно равную площади заданного круга.

Эта задача, ставшая позже известной как задача о квадратуре круга, должна была как будто остаться, подобно любой другой математической задаче, достоянием специалистов. Но случилось иное: своим кажущимся элементарным характером она породила иллюзию, будто для её решения нужны не столько глубокие математические познания, сколько изобретательность. Под влиянием этой иллюзии задача о квадратуре круга получила широкую известность среди нематематиков, превратившись в навязчивую идею, предмет страсти и даже в цель жизни многих из них. И по сей день выражение «квадратура круга» вызывает у непосвященных представление о задаче, полной глубокой таинственности. На самом же деле ничего таинственного в ней не было - кроме того, пожалуй, что для её решения требовалось знать, что такое число π. Установить его природу было не очень легко. Средства, необходимые для такого исследования, поначалу отсутствовали. Создавались они постепенно, по мере того как математика развивала и закрепляла свои собственные методы изучения природы.

Вот почему задача о квадратуре круга занимала умы математиков - и особенно нематематиков - более тридцати веков. За это длительное время она несколько утратила «строгость», свойственную задаче из специальной области; вместо этого, однако, она приобрела немало занимательного. Это и побудило меня выбрать данную тему. Я была удивлена, узнав, какие страстные споры, бурные чувства вызывало число π у тех, кто им занимался. Этому числу удавалось в течение тысячелетий держать в плену мысли и чувства не только ученых, но и философов, и художников. История числа π лишний раз убеждает, что мысли тех, кто стремится к решению одной и той же задачи, не остаются изолированными во времени и в пространстве: они «ищут» друг друга и соединяются в единое целое, подобно звукам мелодии, связанным между собой законами гармонии.

Когда решение математической задачи получено, его структура часто радует красотой и действует на ум и душу подобно звукам симфонии.

Цель нашей работы - это как бы краткий визит в мастерскую великого скульптора, называемого математикой.

2. ИСТОРИЯ ЧИСЛА π

Пи - самое таинственное число в мире.

Никакое другое число не является таким загадочным, как "Пи" с его знаменитым никогда не кончающимся числовым рядом. Во многих областях математики и физики ученые используют это число и его законы.

Каждый, кто узнать желает "пи" число, его уж знает...

ПИ, ЧИСЛО - математическая константа, обозначающая отношение периметра к диаметру окружности. Число Пи является иррациональным трансцендентным числом, цифровое представление которого является бесконечной непериодической десятичной дробью - 3,141592653589793238462643... и так до бесконечности.

Проблеме π - 4000 лет. Исследователи древних пирамид установили, что частное, полученное от деления суммы двух сторон основания на высоту пирамиды, вырабатывается числом 3,1416. В знаменитом папирусе Ахмеса приводится такое указание для построения квадрата, равного по площади кругу: «Отбрось от диаметра его девятую часть и построй квадрат со стороной, равной остальной части, будет он эквивалентен кругу». Из этого следует, что у Ахмеса π 3,1605. Так началась письменная история π.

2.1. Математика Древнего Междуречья, Древнего Египта.

В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии: " И сделал литое из меди море, - от края его и до края его десять локтей, - совсем круглое… и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом" ( 3 Цар. 7.23 ). Однако уже во 2 тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение. Важным достижением геометрической науки египтян было очень хорошее приближение числа π, которое получается из формулы площади круга диаметра d: S = ( d - 1/9d ) ² = ( 1 - 1/9 ) ² d² .

Этому правилу из 50 - й задачи папируса Райнда (приблизительно 1650 г. до н.э.) соответствует значение π = 4(8/9)² = 3,1605. Однако каким образом египтяне получили саму формулу, из контекста неясно.

В Московском папирусе есть ещё одна интересная задача: вычисляется поверхность корзины " с отверстием 4 ½ ". Исследователи толкуют её по - разному, поскольку в тексте не указано, какой формы была корзина. Но все сходятся во мнении, что и здесь для числа π берётся то же самое приближённое значение 4 ( 8/9 )². Замечательно, что на всём Древнем Востоке при вычислениях использовалось значение π = 3.

В этом отношении египтяне намного опередили другие народы.

2.2. Математические достижения в Древней Греции.

С 6 века до н.э. математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Древние греки Евдокс Книдский, Гиппократ и др. измерение окружности сводили к построению соответствующего отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата.

Архимед в 3 веке до н.э. занимаясь вычислениями длины окружности, установил, что " периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых ". В своей небольшой работе " Измерение круга " он обосновал три положения: 1) всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу; 2) площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре как 11 к 14; 3) отношение любой окружности к её диаметру меньше 3 1/7 и больше 3 10/71. (Вероятно, в первоисточнике третье предложение стояло на месте второго, но при переписке или переводе была допущена погрешность. Нужно заметить, что арабы располагали более точным текстом этой работы, чем мы.) Последнее предложение Архимед обосновал последовательным вычислением периметров правильных вписанных и описанных многоугольников при удвоении числа их сторон. Сначала он удвоил число сторон правильных описанного и вписанного шестиугольников, затем двенадцатиугольников и т.д., доведя до вычисления периметров правильного вписанного и описанного многоугольников с 96-ю сторонами.

(Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. Определение. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Определение. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то многоугольник называется описанным около этой окружности. Определение. Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то многоугольник называется вписанным в эту окружность.)

По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3 10/71 и 3 1/7, а это означает, что π =3,1419… Иначе говоря, Архимед указал границы числа

3,1408 < π < 3,1428 .

Значение 3 1/7 до сих пор считается вполне хорошим приближением числа π для прикладных задач. Более точное приближение 3 17/120 (π =3,14166) нашёл знаменитый астроном, создатель тригонометрии Клавдий Птолемей (2 в.), но оно не вошло в употребление.

В Вавилоне в V в. до н.э. пользовались числом 3 3,1215, а в Древней Греции числом () 3,1462643. В индийских «сутрах» VI - V в. до н.э. имеются правила, из которых вытекает, что π = 3,008. Наиболее древняя формулировка нахождения приблизительного значения отношения длины окружности к диаметру содержится в стихах индийского математика Аршабхата (V - VI в.):

Прибавь четыре к сотне и умножь на восемь,

Потом еще шестьдесят две тысячи прибавь,

Как поделить результат на двадцать тысяч,

Тогда откроется тебе значение

Длины окружности к двум радиусам отношенья,

т.е. =

Архимед (III в. до н.э.) для оценки числа π вычислял периметры вписанных и описанных многоугольников от шести до 96-ти. Такой метод вычисления длины окружности посредством периметров вписанных и описанных многоугольников применялся многими видными математиками на протяжении почти 2000 лет. Архимед получил:

, т.е. π 3,1418

Долгое время все пользовались значением числа, равным .

2.3. Приближения числа π в Индии и Китае.

В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в 6 веке до н.э. ) имеется указание, из которого следует, что число "пи " принимали равным дроби 3,162… Это значение приводит индийский математик 7 века Брахмагупта.

Китайские учёные в 3 веке использовали для π значение 3 7/50, которое хуже приближения Архимеда. В конце 5 века китайский математик Цзу Чун Чжи получил приближение 355/113 (π = 3,1415927). Это значение записывалось в виде именованного числа: 3 чжана 1 чи 4 цуня 1 фень 5 ме 9 хао 2 мяо 7 хо.

Оно осталось неизвестно европейцам и было вновь найдено нидерландским математиком Адрианом Антонисом лишь в 1585 г.

2.4. Число π в Европе (15 - 16 веках).

В первой половине 15 века в обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик ал-Каши вычислил "пи" с 16 десятичными знаками.

К концу 16 века в европейской математике сформировались понятия рациональных и иррациональных чисел. (Определение. Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел. Термин " рациональное число " произошёл от латинского слова ratio, что в переводе означает " отношение " (частное). Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной периодической дроби. Определение. Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами (приставка "ир" означает отрицание).) Хотя многие были убеждены, что число π - иррациональное, доказать это никто не мог.

В то же время некоторые математики продолжали заниматься вычислением числа π. Спустя полтора столетия после ал-Каши в Европе Ф.Виет нашёл число "пи" только с 9 правильными десятичными знаками. Но при этом он первым сделал открытие, имеющее большое значение, так как позволило вычислять π с какой угодно точностью.

2.5. Число Лудольфа.

Дворец Кастель дель Монте

П оиски точного выражения числа π продолжались и после работ Ф.Виета. В начале 17 века голландский математик из Кёльна Лудольф ван Цейлен ( 1540 - 1610 ) - некоторые историки называют его Л.ван Кейлен - нашёл 32 знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа π с 32 знаками получило название числа Лудольфа.

Германский король Фридрих Второй был настолько очарован этим числом, что посвятил ему… целый дворец Кастель дель Монте, в пропорциях которого можно вычислить Пи. Сейчас волшебный дворец находится под охраной ЮНЕСКО.

Пи (π) - буква греческого алфавита, применяемая в математике для обозначения отношения длины окружности к диаметру. Это обозначение (вероятно, от греч. perijereia окружность, периферия) стало общепринятым после работы Л. Эйлера, относящейся к 1736, однако впервые оно было употреблено английским математиком У. Джонсом (1706). Как и всякое иррациональное число, π представляется бесконечной непериодической десятичной дробью: π = 3,141592653589793238462643...

Чтобы проследить за дальнейшей историей числа π, приходится обращаться к Западной Европе. Именно там мыслители теорему за теоремой восстанавливали геометрию. Это доказывают некоторые дошедшие до нас рукописи. Среди них - работа о квадратуре круга, написанная магистром Франконом из Льежа, любителем геометрических проблем.

3. Задача о квадратуре круга.

"Геометрия - неотъемлемая часть мировой сокровищницы человеческой мысли. Некоторые теоремы геометрии старше, чем Библия. Если человек не слышал о Моне Лизе или не знает, где находится Парфенон, может ли он считаться культурным человеком? А если он не знает теоремы Пифагора или проблемы квадратуры круга?"

И. Ф. Шарыгин

Следы задачи о квадратуре круга можно усмотреть ещё в древнеегипетских и вавилонских памятниках II тысячелетия до н.э. Однако непосредственная постановка задачи о квадратуре круга встречается впервые в греческих сочинениях V в. до н.э. В своём произведении « Об изгнании » Плутарх рассказывает, что философ и астроном Анаксагор (500 - 428 г. до н.э.) находясь в тюрьме, отгонял печаль размышлениями над задачей о квадратуре круга. В комедии « Птицы » (414 г. до н.э.) знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста Астронома Метона следующие слова:

Возьму линейку, проведу прямую,

И мигом круг квадратом обернётся,

Посередине рынок мы устроим,

А от него уж улицы пойдут -

Ну, как на Солнце! Хоть оно само

И круглое, а ведь лучи прямые!..

Эти стихи говорят о том, что задача уже была к тому времени очень популярна в Греции. Один из современников Сократа - софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже Аристотель доказал, что это будет только приближённое, но не точное решение задачи, так как многоугольник никогда не может совпасть с кругом.

С глубокой древности известны три задачи на построение: об удвоении куба, трисекции угла и квадратуре круга.

Квадрату́ра кру́га - задача, заключающаяся в нахождении построения с помощью циркуля и линейки квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Эти задачи сыграли особую роль в истории математики. В конце концов было доказано, что решить их невозможно, пользуясь только циркулем и линейкой. Но уже сама постановка проблемы «доказать неразрешимость» была смелым шагом вперёд.

Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x² = π.

Как известно, с помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π, которая была доказана в 1882 году Линдеманом.

Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства (например, квадратрису).

Рассмотрим квадрат ABCD (рис), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка E равномерно движется по дуге от точки D до точки B; одновременно отрезок A'B' равномерно движется из положения DC в положение AB. Наконец, потребуем, чтобы оба движения закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса AE и отрезка A'B' опишет квадратрису (выделена красным цветом).

Так появилась мысль обобщить эту задачу: построить с помощью циркуля и линейки такой квадрат, площадь которого была бы равна площади данного круга. Задача получила название квадратуры круга, и многие учёные пытались выполнить такое построение. Однако решение не поддавалось их усилиям.

Один из самых громких споров на эту тему произошёл в Англии между двумя выдающимися учёными XVII в., философом Томасом Гоббсом и математиком Джоном Валлисом. В весьма почтенном возрасте Гоббс опубликовал около десяти «решений» задачи о квадратуре круга.

Однако учёных Древней Греции и их последователей такие решения, находящиеся за пределами применения циркуля и линейки, не удовлетворяли. Будучи вначале чисто геометрической задачей, квадратура круга превратилась в течение веков в исключительно важную задачу арифметико-алгебраического характера, связанную с числом π, и содействовала развитию новых понятий и идей в математике.

Можно вычислить приближенное значение π. Однако не в практическом отношении интересовала людей задача о квадратуре круга, а интересовала её принципиальная сторона: возможно ли точно решить эту задачу, выполняя построения с помощью только циркуля и линейки.

Термин «квадратура круга» стал синонимом неразрешимых задач. Вместе с тем предлагалось множество решений при помощи нетрадиционных инструментов. Всё это привело к возникновению и развитию совершенно новых идей в геометрии и алгебре. Неразрешимость некоторых задач служит отправной точкой новых математических исследований, интригует, стимулирует и способствует развитию творчества.

4. Иррациональность и трансцендентность числа пи.

Понятие рационального числа возникло довольно естественно как отношение целых чисел. Числа более сложной природы естественно возникают в задачах геометрии. Например, уже пифагорейцам было, известно элементарное доказательство того, что квадратный корень из двойки - отношение диагонали квадрата к его стороне - не является рациональным числом. История не сохранила имени математика, впервые открывшего этот факт; существует легенда, что после оглашения открытия он был убит (выброшен с корабля в море) потрясенными коллегами. Несмотря на столь решительные меры, скрыть тайну либо сделать это число рациональным не удалось. Такие числа очень долго воспринимались как «ненастоящие», что и соответствует буквальному смыслу слова «иррациональный». Правда, уже Евдокс (IV в. до н. э.) в своей теории пропорций близко подошёл к современной концепции иррационального числа как «сечения» множества рациональных чисел. Однако аккуратная формулировка этой идеи и введение иррациональных чисел в науку «на законном основании» произошло лишь в XIX в. (это достижение связано прежде всего с именами немецких математиков Р. Дедекинда, К. Вейерштрасса и Г. Кантора). Тем не менее, даже после этого ряд крупных математиков продолжали по-прежнему скептически относиться к иррациональным числам.

Ещё более странными выглядели «трансцендентные» числа, которые (в отличие от упомянутого корня из двух) даже не могут быть корнями никаких алгебраических уравнений с целочисленными коэффициентами. Известно высказывание выдающегося математика XIX в. Л. Кронекера: «Господь Бог создал целые числа; все остальное - дело рук человеческих». Он же сказал другому известному математику, Ф. Линдеману, по поводу доказательства последним трансцендентности числа пи (отношения длины окружности к ее диаметру, связанного с классической проблемой квадратуры круга): «Что толку от вашей прекрасной работы? Стоит ли браться за решение подобных проблем, если подобные иррациональные числа вообще не существуют?» (цит. по: М. Клайн, «Математика. Утрата определенности», С. 269).

Доказательство иррациональности Пи.

Прежде дадим определение иррациональности: Вещественное число называется иррациональным, если оно не является рациональным, то есть, его нельзя представить в виде дроби , где m - целое, а n - натуральное число.

Иррациональность числа π была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761 году путём разложения числа в непрерывную дробь .

В 1794-м Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π и π².

Схема доказательства иррациональности строится от противного (предполагается, что π = a / b) на рассмотрении функции специального вида: f(x) = xⁿ(a - bx)ⁿ / n! и функции F(x) = f(x) + ... + ( - 1)^jf^(2j)(x) + ( - 1)ⁿf⁽²ⁿ⁾(x), где f^(j)(x) - j-ая производная ф-ии f. Легко показать, что F(0) и F(π) являются целыми. Далее, пользуясь тем, что F + F'' = f, мы получаем, что (F' * sin - F * cos)' = f * sin. Проинтегрировав от 0 до π это равенство, устанавливаем, что слева у нас целое число, а значит интеграл справа: - тоже имеет целочисленное значение. Но 0 < = f < = πⁿaⁿ / n! на отрезке от 0 до π. Поэтому этот интеграл можно сделать меньшим единицы на этом, же отрезке. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Трансцендентность числа Пи.

Трансцендентное число - это вещественное число, не являющееся алгебраическим. Заметим, что любое трансцендентное число является иррациональным, однако обратное неверно.

Сейчас мы кратко изложим историю и схему доказательства трансцендентности числа Пи.

История гипотезы такова: Лежандр первый высказал мысль, что π должно быть число трансцендентное, но только Эрмит в 1873 показал, что основание Неперовых логарифмов, т. е. число е, есть трансцендентное, а Линдеман в 1882 г. показал, что и π есть число трансцендентное.

Исторически, схема, по которой доказывается трансцендентность π, следующая: Линденман показал трансцендентность π при помощи соображений, подобных соображениям Эрмита (Теорема Эрмита о трансцендентности е довольно сложна для восприятия учениками, поэтому мы не будем здесь приводить её доказательство). Суть соображений заключается в том, что если х есть корень алгебраического уравнения, которого коэффициенты действительные или мнимые числа, то e^x не может быть числом алгебраическим; а так как e^πi = - 1 , то следовательно и π не может быть числом алгебраическим. Таким образом трансцендентность одной константы легко свелась к трансцендентности другой, не менее важной.

5. 100 000 знаков числа пи.

Эти цифры числа позаимствованы на joyofpi.com/pi.htm - одной из страничек, посвященных числу Пи.

3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494

45923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470

93844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644

62294895493038196442881097566593344612847564823378678316527120

19091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870

06606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530

54882046652138414695194151160943305727036575959195309218611738

19326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830

11949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943

70277053921717629317675238467481846766940513200056812714526356

08277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853

71050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774

77130996051870721134999999837297804995105973173281609631859502

44594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387

52886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562

86388235378759375195778185778053217122680661300192787661119590

92164201989380952572010654858632788659361533818279682303019520

35301852968995773622599413891249721775283479131515574857242454

15069595082953311686172785588907509838175463746493931925506040

09277016711390098488240128583616035637076601047101819429555961

98946767837449448255379774726847104047534646208046684259069491

29331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003

55876402474964732639141992726042699227967823547816360093417216

41219924586315030286182974555706749838505494588586926995690927

21079750930295532116534498720275596023648066549911988183479775

35663698074265425278625518184175746728909777727938000816470600

16145249192173217214772350141441973568548161361157352552133475

74184946843852332390739414333454776241686251898356948556209921

92221842725502542568876717904946016534668049886272327917860857

84383827967976681454100953883786360950680064225125205117392984

89608412848862694560424196528502221066118630674427862203919494

50471237137869609563643719172874677646575739624138908658326459

95813390478027590099465764078951269468398352595709825822620522

48940772671947826848260147699090264013639443745530506820349625

24517493996514314298091906592509372216964615157098583874105978

85959772975498930161753928468138268683868942774155991855925245

95395943104997252468084598727364469584865383673622262609912460

80512438843904512441365497627807977156914359977001296160894416

94868555848406353422072225828488648158456028506016842739452267

46767889525213852254995466672782398645659611635488623057745649

80355936345681743241125150760694794510965960940252288797108931

45669136867228748940560101503308617928680920874760917824938589

00971490967598526136554978189312978482168299894872265880485756

40142704775551323796414515237462343645428584447952658678210511

41354735739523113427166102135969536231442952484937187110145765

40359027993440374200731057853906219838744780847848968332144571

38687519435064302184531910484810053706146806749192781911979399

52061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142

69123974894090718649423196156794520809514655022523160388193014

20937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014

21503068038447734549202605414665925201497442850732518666002132

43408819071048633173464965145390579626856100550810665879699816

35747363840525714591028970641401109712062804390397595156771577

00420337869936007230558763176359421873125147120532928191826186

12586732157919841484882916447060957527069572209175671167229109

81690915280173506712748583222871835209353965725121083579151369

88209144421006751033467110314126711136990865851639831501970165

15116851714376576183515565088490998985998238734552833163550764

79185358932261854896321329330898570642046752590709154814165498

59461637180270981994309924488957571282890592323326097299712084

43357326548938239119325974636673058360414281388303203824903758

98524374417029132765618093773444030707469211201913020330380197

62110110044929321516084244485963766983895228684783123552658213

14495768572624334418930396864262434107732269780280731891544110

10446823252716201052652272111660396665573092547110557853763466

82065310989652691862056476931257058635662018558100729360659876

48611791045334885034611365768675324944166803962657978771855608

45529654126654085306143444318586769751456614068007002378776591

34401712749470420562230538994561314071127000407854733269939081

45466464588079727082668306343285878569830523580893306575740679

54571637752542021149557615814002501262285941302164715509792592

30990796547376125517656751357517829666454779174501129961489030

46399471329621073404375189573596145890193897131117904297828564

75032031986915140287080859904801094121472213179476477726224142

54854540332157185306142288137585043063321751829798662237172159

16077166925474873898665494945011465406284336639379003976926567

21463853067360965712091807638327166416274888800786925602902284

72104031721186082041900042296617119637792133757511495950156604

96318629472654736425230817703675159067350235072835405670403867

43513622224771589150495309844489333096340878076932599397805419

34144737744184263129860809988868741326047215695162396586457302

16315981931951673538129741677294786724229246543668009806769282

38280689964004824354037014163149658979409243237896907069779422

36250822168895738379862300159377647165122893578601588161755782

97352334460428151262720373431465319777741603199066554187639792

93344195215413418994854447345673831624993419131814809277771038

63877343177207545654532207770921201905166096280490926360197598

82816133231666365286193266863360627356763035447762803504507772

35547105859548702790814356240145171806246436267945612753181340

78330336254232783944975382437205835311477119926063813346776879

69597030983391307710987040859133746414428227726346594704745878

47787201927715280731767907707157213444730605700733492436931138

35049316312840425121925651798069411352801314701304781643788518

52909285452011658393419656213491434159562586586557055269049652

09858033850722426482939728584783163057777560688876446248246857

92603953527734803048029005876075825104747091643961362676044925

62742042083208566119062545433721315359584506877246029016187667

95240616342522577195429162991930645537799140373404328752628889

63995879475729174642635745525407909145135711136941091193932519

10760208252026187985318877058429725916778131496990090192116971

73727847684726860849003377024242916513005005168323364350389517

02989392233451722013812806965011784408745196012122859937162313

01711444846409038906449544400619869075485160263275052983491874

07866808818338510228334508504860825039302133219715518430635455

00766828294930413776552793975175461395398468339363830474611996

65385815384205685338621867252334028308711232827892125077126294

63229563989898935821167456270102183564622013496715188190973038

11980049734072396103685406643193950979019069963955245300545058

06855019567302292191393391856803449039820595510022635353619204

19947455385938102343955449597783779023742161727111723643435439

47822181852862408514006660443325888569867054315470696574745855

03323233421073015459405165537906866273337995851156257843229882

73723198987571415957811196358330059408730681216028764962867446

04774649159950549737425626901049037781986835938146574126804925

64879855614537234786733039046883834363465537949864192705638729

31748723320837601123029911367938627089438799362016295154133714

24892830722012690147546684765357616477379467520049075715552781

96536213239264061601363581559074220202031872776052772190055614

84255518792530343513984425322341576233610642506390497500865627

10953591946589751413103482276930624743536325691607815478181152

84366795706110861533150445212747392454494542368288606134084148

63776700961207151249140430272538607648236341433462351897576645

21641376796903149501910857598442391986291642193994907236234646

84411739403265918404437805133389452574239950829659122850855582

15725031071257012668302402929525220118726767562204154205161841

63484756516999811614101002996078386909291603028840026910414079

28862150784245167090870006992821206604183718065355672525325675

32861291042487761825829765157959847035622262934860034158722980

53498965022629174878820273420922224533985626476691490556284250

39127577102840279980663658254889264880254566101729670266407655

90429099456815065265305371829412703369313785178609040708667114

96558343434769338578171138645587367812301458768712660348913909

56200993936103102916161528813843790990423174733639480457593149

31405297634757481193567091101377517210080315590248530906692037

67192203322909433467685142214477379393751703443661991040337511

17354719185504644902636551281622882446257591633303910722538374

21821408835086573917715096828874782656995995744906617583441375

22397096834080053559849175417381883999446974867626551658276584

83588453142775687900290951702835297163445621296404352311760066

51012412006597558512761785838292041974844236080071930457618932

34922927965019875187212726750798125547095890455635792122103334

66974992356302549478024901141952123828153091140790738602515227

42995818072471625916685451333123948049470791191532673430282441

86041426363954800044800267049624820179289647669758318327131425

17029692348896276684403232609275249603579964692565049368183609

00323809293459588970695365349406034021665443755890045632882250

54525564056448246515187547119621844396582533754388569094113031

50952617937800297412076651479394259029896959469955657612186561

96733786236256125216320862869222103274889218654364802296780705

76561514463204692790682120738837781423356282360896320806822246

80122482611771858963814091839036736722208883215137556003727983

94004152970028783076670944474560134556417254370906979396122571

42989467154357846878861444581231459357198492252847160504922124

24701412147805734551050080190869960330276347870810817545011930

71412233908663938339529425786905076431006383519834389341596131

Ну, вроде без ошибок!

6. Различные способы вычисления числа π.

6.1. Библейское вычисление числа π.

Почему 3.0 вместо 3.14?

Царь СоломонОдно из ранних приближений для числа π можно извлечь из канонического текста Библии, датируемого примерно X-V веками до нашей эры. В третьей книге Царств подробно рассказывается о том, как мастер Хирам сооружал по заказу правителя Иудейского Израильского царства Соломона храм. Это культовое сооружение украшал большой бассейн для омовения священнослужителей под названием «медного моря»: «И сделал литое из меди море, - от края его до края его десять локтей, - совсем круглое, вышиною в пять локтей, и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом.» (Третья книга Царств. Гл. 7, стих 23.)

Храм СоломонаЕ сли верить написанному, то число ПИ окажется равным не 3,14 (как нас учили в школе), а ровно 3,0. Иногда верующие, объясняя это противоречие, говорят, что здесь имеется ввиду длина внутренней окружности «моря», которое имело стенки в ладонь толщиной. При этом следует брать диаметр окружности по наружной стенке.

Однако все эти доводы не имеют смысла, т.к. сказано: «и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом», что говорит именно об измерении длины внешней окружности, ибо «обнимать» внутренние стенки емкости при помощи «снурка» нереально. Попробуйте измерить длину внутренней окружности бочки, ведра, кастрюли и т.д. при помощи верёвки - будет весело!

Почему Бог ошибся, вдохновляя сочинителей 3-й Книги Царств? Да, действительно это спорное место. Покажем, что с математической точки зрения противоречий действительности в данном тексте нет.

1. Экспериментальное определение числа пи. Погрешность измерения.

Воспримем этот текст как древний опыт по экспериментальному определению числа пи и на основании данных оценим погрешность измерения.

Формула для измерения очевидна:π = , где L - длина окружности, а D - её диаметр.

Дано: L = 30 локтя, D = 10 локтей. Из написания видно, что абсолютные погрешности каждой из величин составляют не менее 0,5 локтя. Мы тем самым берём половину последней значащей цифры, если считать, что каждое из чисел имеет две значащие. Вариант, что погрешность измерения была больше, обсудим в конце вычислений.

Итак, систематическая погрешность измерений равна

Рассчитаем измеренное число пи, используя

Но это ещё не ответ. Каждое измерение делается с какой-то погрешностью. Оценим относительную погрешность измерения числа пи как среднеквадратичное от относительных погрешностей данных величин:

Рассчитаем абсолютную погрешность измерения с учётом этой формулы (4):

По правилам округления у погрешности можно отбросить вторую значащую цифру, если при этом значение погрешности меняется менее, чем на 20%, в нашем же случае это не выполняется, поэтому для относительной погрешности измерения числа пи имеем и следовательно ответ записывается в виде

Итак, ответ очень прост! Длина диаметра в 10 локтей является длиной от наружного обода до наружного обода, так, как любой человек и будет измерять круглый предмет. Окружность длиной в 30 локтей, однако, является внутренним кругом, после вычитания толщины меди (две ладони одна на каждую сторону), из которой был сделан сосуд. Это и будет необходимым числом для вычисления объема воды.

Значение числа пи, известное нам сейчас с огромной точностью, вполне укладывается в ответ, полученный экспериментально несколько тысяч лет назад. Выходит, что если рассуждать не поверхностно, а с точки зрения методов науки, противоречия между текстом Писания и действительностью нет.

6.2. Простейшее измерение.

Начертим на плотном картоне окружность диаметра d (15 см), вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину L (46,5 см) одного полного оборота нити, разделим L на длину диаметра окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа π, т.е. π = , π = 46,5 см / 15 см. π= 3,1. Данный довольно грубый способ даёт в обычных условия приближённое значение числа π с точностью до 1.

6.3. Измерение с помощью взвешивания.

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Вырежем из квадрата круг.

Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Взвесим круг. Зная массы квадрата m_кв (10 г) и вписанного в него круга

m_кр (7,8 г), воспользуемся формулами m=rV, V=Sh, где r и h-соответственно плотность и толщина картона, S-площадь фигуры. Рассмотрим равенства:

m_кв = rS _кв h = r 4 R² h, m_кр = r S_кр h = r π R² h. Отсюда m_кр : m_кв = π : 4,

π = 4 m_кр : m_кв.

Естественно, что в данном случае приближенное значение π зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближенные числа π с точностью до 0,1.

6.4. Суммирование площадей прямоугольников,

вписанных в полукруг.

Пусть А (а,0), В (b,0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на n равных частей точками х₁,х₂,…,х_n-1 и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длина каждого такого перпендикуляра - это значение функции f(x)= . Из рис. 1 ясно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле

В нашем случае b = 1, a = -1. Тогда π ≈ 2S.

Значения π будут тем точнее, чем больше точек деления будет на отрезке АВ. Облегчить однообразную вычислительную работу поможет компьютер, для которого ниже приводится программа 1, составленная на Бейсике.

Программа 1.

10 REM *** ВЫЧИСЛЕНИЕ p***

20 REM *** МЕТОД ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ ***

30 INPUT N

40 DX 1/N

50 FOR I=0 TO N-1

60 F=SQR(1-X^2)

70 X=X+DX

80 A=A+F

90 NEXT I

100 P=4*DX*A

110 PRINT «ЗНАЧЕНИЕ p РАВНО»; P

120 STOP

Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n. Полученные значения числа записаны в таблице:

n

1000

2000

3000

4000

5000

6000

π

3.292

3.216

3.190667

3.181

3.1848

3.192

n

7000

8000

9000

10000

11000

12000

π

3.193714

3.1935

3.192889

3.196

3.192

3.193667

6.5. Метод Монте-Карло.

Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить и при помощи … дождя.

Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть N_кр - число капель в круге, N_кв - число капель в квадрате, тогда π=4N_кр/N_кв (1)

Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу (см. рис. 2).

Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265. Из него можно «приготовить» пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: x=0,32 , у=0,65.Эти числа будем считать координатами капли, т.е. капля как будто попала в точку (0,32;0,65).Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (х_i,у_i) выполняется неравенство x_i²+y_i²>1, то, значит, она лежит вне круга. Если x_i² +y_i² 1, то точка лежит внутри круга.

Для подсчета значения π снова воспользуемся формулой (1).Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна , где D- некоторая постоянная , а N- число испытаний. В нашем случае N = N_кв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе ещё один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т.е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам. Программа 2 реализует на компьютере описанный метод.

Программа 2

10 REM *** ВЫЧИСЛЕНИЕ ПИ ***

20 REM *** МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО ***

30 INPUT N

40 M=0

50 FOR I=1 TO N

60 T=INT (RND(1)*10000)

70 X=INT(T/100)

80 Y=T-X*100

90 IF X^2+Y^2<10000 THEN M=M+1

100 NEXT I

110 P=4*M/N

120 PRINT " ЗНАЧЕНИЕ ПИ РАВНО" ; P

130 STOP

Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n. Полученные значения числа записаны в таблице:

n

1000

2000

3000

4000

5000

6000

π

3.14357

3.14253

3.14231

3.14214

3.14212

3.14206

n

7000

8000

9000

10000

11000

12000

π

3.14184

3.14197

3.14193

3.14169

3.14203

3.14193

6.6. Вычисление с помощью ряда Тейлора.

Обратимся к рассмотрению произвольной функции f(х). Предположим, что для нее в точке x₀ существуют производные всех порядков до n-го включительно. Тогда для функции f(х) можно записать ряд Тейлора:

Вычисления с помощью этого ряда будут тем точнее, чем больше членов ряда будет задействовано. Реализовать данный способ, конечно, лучше всего на компьютере, для чего можно воспользоваться программой 3.

Программа 3

10 REM "Вычисление пи"

20 REM "Разложение в ряд Тейлора "

30 INPUT n

40 a = 1

50 FOR i = 1 TO n

60 d = 1 / (i + 2)

70 f = (-1) ^ i * d

80 a = a + f

90 NEXT i

100 p = 4 * a

110 PRINT "значение пи равно"; p

120 END

Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n. Полученные значения числа π записаны в таблице:

n

1000

2000

3000

4000

5000

6000

π

3.22941

3.22841

3.22809

3.22792

3.22782

3.22776

n

7000

8000

9000

10000

11000

12000

π

3.22771

3.22767

3.22765

3.22763

3.22761

3.22759

7. Формул чудных совершенство.

Если применить известные в интегральном исчислении методы нахождения длины кривой, площади поверхности и объема тела к формулам для окружности, круга, сферы и шара, то можно доказать, что в каждой из этих формул π задается интегралом

Преобразуя то же самое интегральное выражение, несложно получить представление π в виде либо бесконечной суммы (ряда)

либо бесконечного произведения

Первую формулу нашли независимо шотландец Джеймс Грегори и немец Готфрид Вильгельм Лейбниц, а вторую формулу получил англичанин Джон Валлис.

К сожалению, пользы от этих формул было немного: чтобы вычислить десять знаков π, необходимо сложить или умножить миллиарды слагаемых или перемножить миллиарды сомножителей, в чём легко убедиться, попытавшись вычислить π таким образом. Такая работа трудна даже для современного мощного компьютера.

Современник Исаака Ньютона японский математик Секи Такакадзу придумал метод ускорения медленно сходящихся последовательностей. Например, известные последовательности правильных многоугольников сходятся к окружности медленно, из-за этого медленно сходятся к числу π последовательности его приближений, рассчитанные с помощью этих многоугольников. Такакадзу ускорил сходимость последовательностей приближений и нашел десять знаков числа π.

Прошло более двух столетий, когда английский математик Александр Крэг Эйткен переоткрыл метод ускорения сходимости последовательностей, известный сегодня как метод Эйткена. Метод Такакадзу-Эйткена творит чудеса. Если в формуле Грегори-Лейбница сложить семь слагаемых, то мы найдем только один правильный знак: π = 3,…. Если же к этим семи слагаемым применить метод ускорения, то получим шесть правильных знаков: π = 3,14159….

Известно много формул с числом π:

Франсуа Виет, 1593:

Формула Валлиса:

Ряд Лейбница:

Тождество Эйлера:

Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

Интегральный синус

В настоящее время с числом π связано труднообозримое множество математических формул. Их количество продолжает стремительно расти. Всё это говорит о возрастающем интересе к важнейшей математической константе, изучение которой насчитывает уже более двадцати двух веков.

8. В погоне за бесконечностью.

На протяжении всего существования числа Пи, вплоть до наших дней, велась своеобразная «погоня» за его десятичными знаками. Леонардо Фибоначчи около 1220 года определил три первых точных десятичных знаков числа Пи. В XVI веке Андриан Антонис определил 6 таких знаков. Франсуа Виет, вычисляя периметры вписанного и описанного 322 216-угольников, получил 9 точных десятичных знаков. Андриан Ван Ромен таким же способом получил 15 десятичных знаков, вычисляя периметры 1 073 741 824-угольников. Лудольф Ван Кёлен, вычисляя периметры 32 512 254 720-угольников, получил 20 точных десятичных знаков пи и завещал вырезать это значение на своём надгробном памятнике. Авраам Шарп получил 72 точных десятичных знаков числа Пи. В 1844 году З. Дазе вычисляет 200 знаков после запятой, в 1847 году Т. Клаузен получает 248 знаков, в 1853 г. Рихтер вычисляет 330 знаков, в том же 1853 году 440 знаков получает З. Дазе, и в этом же году У. Шенкс получает 513 знаков.

С появлением компьютеров темпы возросли:

1949 год- 2037 десятичных знаков (Джон фон Нейман, ENIAC),

1958 год- 10000 десятичных знаков (Ф.Женюи, IBM-704),

1961 год- 100000 десятичных знаков (Д.Шенкс, IBM-7090),

1973 год- 10000000 десятичных знаков (Ж.Гийу, М.Буйе, CDC-7600),

1986 год- 29360000 десятичных знаков (Д.Бейли, Cray-2),

1987 год- 134217000 десятичных знаков (Т.Канада, NEC SX2),

1989 год- 1011196691 десятичных знаков (Д.Чудновски и Г.Чудновски, Cray-2+IBM-3040)

Они же добились в 1991 году 2260000000 знаков, а в 1994 году - 4044000000 знаков.

Дальнейшие рекорды принадлежат японцу Тамуре Канада: в 1995 году 4294967286 знаков, в 1997 - 51539600000, и, последний на сегодня рекорд 206.158.430.000 знаков. Суперкомпьютер (проект HINTS - High-performance Numerical Tools & Software для сверхмощных научных и инженерных вычислений) в сентябре 1999 года работал 37 часов 21 минуту 4 секунды используя 865 Гигабайт памяти для основной задачи и 46 часов, 816 Гигабайт для вспомогательной оптимизации вычислений.

Представьте себе, что это число не менее интересно запоминать, чем вычислять. И интерес для запоминания представляет именно хаотическое сплетение цифр после запятой, не поддающееся никаким видимым закономерностям, т.е. попросту говоря, не имея системы в записи, число не поддается запоминанию обычным человеком. Сейчас существует даже своеобразное соревнование среди мнемонистов: кто запомнит большее количество знаков после запятой. Эти рекорды записываются в Книгу рекордов Гиннесса.

Почему запоминают именно число ПИ, а не ряд случайных чисел? Мнемонисты запоминают число ПИ по одной простой причине. Если бы они воспроизводили просто ряд случайных чисел, то могут возникнуть подозрения, что человек не запомнил эти числа, а воспроизводит их по какой-нибудь системе. Например, называет любое случайное число, затем прибавляет 13 и называет две последние цифры, затем отнимает 9 и называет две последние цифры. Или что-нибудь другое в этом же роде. Но когда человек воспроизводит бесконечное число ПИ, то всякие подозрения о нечестности запоминателя отпадают. Очевидно, что никакой закономерности в следовании цифр в числе ПИ нет. И единственный способ воспроизвести эти цифры - это запомнить их.

Для чего запоминают такое количество цифр? Не только ради установления мирового рекорда. Не только для рекламы школы, в которой читаются курсы по технике запоминания. Не только ради славы (книга рекордов - это книга рекордов). Число ПИ обычно запоминают для тренировки.

Что тренируется при выполнении такого необычного упражнения?

1. Мнемонист оттачивает, отшлифовывает образные коды чисел - зрительные образы, которыми обозначается двузначное число (их всего сто) или трехзначное число (этих образных кодов 1000).

2. Мнемонист отрабатывает основную операцию запоминания - соединение зрительных образов в воображении. Чтобы запомнить несколько тысяч цифр, нужно образовать соответствующее количество связей между образами.

3. Мнемонист закрепляет в своей памяти большое количество вспомогательных образов, которые в разных системах называются по разному - локи, опорные образы, стимулирующие образы, и т.д.

4. Мнемонист отрабатывает разные способы фиксации последовательности образов. Длинный ряд чисел может быть разбит на фрагменты, каждый из которых запомнен разными методами. В результате, можно лично убедиться в том, какой метод запоминания более надежен с точки зрения долговременного запоминания. И более рационален с точки зрения запоминания числовой информации.

Победители соревнований на самую крепкую память всегда пользовались большим уважением даже в те времена, когда ещё не существовало книг рекордов. Самые сложные и объёмные соревнования, требующие максимального сосредоточения - это состязания по запоминанию знаков числа "пи", которое каждый школьник помнит как 3,14. Только вот дальше может идти бесконечно большое количество цифр, запомнить которые и берутся феномены памяти.

Шестидесятилетний житель Японии Акира Харагучи 2006-м году нашел выход из этого постоянного состояния поиска. Он просто запомнил число Пи… до 100-тысячного знака после запятой, поставив тем самым мировой рекорд. Ему понадобилось почти 16 часов, чтобы назвать все число целиком. Японец Хидеаки Томойори может воспроизвести число ПИ до

40 000 знаков. На запоминание такого количество цифр у него ушло около 10 лет.

Челябинец Александр Беляев воспроизвел 2500 знаков числа ПИ. На припоминание цифр он затратил полтора часа. На запоминание - полтора месяца. До этого рекорд России был «всего» 2000 знаков.

6006 цифр числа ПИ запомнил уникум из Краснодара Николай Скрипка. 14 сентября 2005 года он установил рекорд России по запоминанию знаков числа "пи", свои необыкновенные способности приписывает упорному труду и изучению всевозможных систем тренировки памяти, чему он посвятил последние годы. Его биография - одна из самых обычных. Родился 11 сентября 1980 года в городе Краснодаре. В возрасте 7 лет пошел в школу № 30. После 9 класса поступил в лицей при Кубанском Государственном Технологическом Университете. В 1997 поступил в сам университет. В 2002 получил диплом по специальности инженер-программист. В 2004 приехал по работе Москву, где и живет по настоящее время. Николай случайно прочитал попавшуюся ему на глаза книгу по развитию памяти и сходу запомнил 200 цифр числа "пи"! Потом были другие книги по развитию памяти, которые он уже целенаправленно разыскивал, покупал и внимательно изучал. Через какое-то время Николай понял, что способен побить национальный рекорд по части запоминания знаков числа "пи".

"Не хочу делать из своих достижений секрета! - объявил Николай экспертам "Агентства ПАРИ". - Хочу чтобы применяемые мною методы получили известность, и люди перестали относиться к этому, как к чему-то необычному и феноменальному. Если необходима информация по системе и методам запоминания, которую я использую, то могу её предоставить всем желающим. Я верю, что у всех есть такие же способности как у меня и такие же возможности, - считает Николай. - Только нужно знать технику и немного тренироваться".

Николай продемонстрировал свои уникальные способности журналистам и комиссии экспертов "Книги рекордов России" 14 сентября 2005 года в ресторане "Ангеликос" (Большой Каретный пер., д. 6, м. Цветной Бульвар), где в течение 3-х часов, начиная с 13.47, во время специального пресс-фуршета он воспроизвел на глазах у публики 6006 знаков после запятой числа "пи", не допустив при этом ни единой ошибки! Интересно, что скорость воспроизведения знаков у Николая непрерывно росла. В конце уникального эксперимента он воспроизводил уже около 1000 знаков менее чем за полчаса. Каждую цифру Николай писал на доске маркером. Комиссия тщательно сверяла данные с распечатками.

После установления рекорда уже состоявшийся рекордсмен России поделился с журналистами секретами запоминания цифр, слов и даже... японских иероглифов. Уникальный опыт Николай накопил, изучая техники запоминания, разработанные в разные века в разных странах мира (в том числе и опыт спецслужб разных стран мира). Установив рекорд России по запоминанию знаков числа "пи", Николай не собирается останавливаться на достигнутом. Он будет упорно готовиться к взятию мировой планки и параллельно намерен установить несколько десятков рекордов в области запоминания.

Колумбиец Хайме Гарсия в 2008 году вновь подтвердил свое прозвище "человек-компьютер". В ходе выступления перед преподавателями и студентами мадридского университета Комплутенсе он побил собственный рекорд, назвав по памяти 150 тысяч цифр, стоящих после запятой в знаке Пи.

Во время эксперимента потребовалось 652 слайда, чтобы воспроизвести на экране в аудитории все цифры, которые по памяти произносил колумбиец. Он сидел спиной к экрану и не мог видеть, что на него проектировалось.

На перечисление всех 150 тысяч цифр ушло три дня, сообщило агентство AFA. Рекорд подтвержден профессорами математики мадридского университета и заверен двумя нотариусами.

У наших предков не было компьютеров, калькуляторов и справочников, но со времен Петра I они занимались геометрическими расчетами в астрономии, в машиностроении, в корабельном деле. Впоследствии сюда добавилась электротехника - там есть понятие "круговой частоты переменного тока". Для запоминания числа "Пи" было придумано двустишие (к сожалению, мы не знаем автора и места первой публикации его; но ещё в конце 40-х годов двадцатого века московские школьники занимались по учебнику геометрии Киселева, где оно приводилось).

Двустишие написано по правилам старой русской орфографии, по которой после согласной в конце слова обязательно ставился "мягкий" или "твердый" знак. Вот оно, это замечательное историческое двустишие:

Кто и шутя, и скоро пожелаетъ

"Пи" узнать число - ужъ знаетъ. (3.1415926536)

В следующих фразах знаки числа π можно определить по количеству букв в каждом слове:

«Это я знаю и помню прекрасно: Пи многие знаки мне лишни, напрасны». (3.14159265358...)

Поговорку " Что я знаю о кругах?" (3,1416) предложил замечательный популяризатор науки Яков Исидорович Перельман.

«Вот и знаю я число, именуемое Пи. Молодец!» - 3,1415927 (в этих примерах последняя цифра дана с округлением).

«Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать» (3,14159265359…).

А так выглядит 101 знак числа " пи" без округления: 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

Число ПИ полагали равным двадцати двум седьмым (22/7), о чём сложили стишок для запоминания:

Двадцать две совы скучали

На больших сухих суках.

Двадцать две совы мечтали

О семи больших мышах.

В Древней Греции точные науки процвели просто-таки необычайно, а также появилась архитектура. А где архитектура - там и расчеты. И всем известный Архимед ещё уточнил значение числа пи, о чем также в стихах сообщил нам замечательный писатель С.Бобров в своей чудесной книге «Волшебный Двурог»:

Гордый Рим трубил победу

Над твердыней Сиракуз;

Но трудами Архимеда

Много больше я горжусь.

Надо только постараться

И запомнить все как есть:

Три - четырнадцать - пятнадцать -

Девяносто два и шесть!

Тот, кто выучит это стихотворение, всегда сможет назвать 8 знаков числа : (3,1415926…)

Индусы брали первые три подряд идущие простые числа: 1 3 5. Записывали их по два раза: 1 1 3 3 5 5. Разделяли на две сотни 1 1 3 | 3 5 5. А потом делили большую на меньшую: 355/113 - шесть цифр после запятой совпадали и до сих пор совпадают. Неплохо.

А это английский стишок для запоминания числа "Пи" до двадцатого знака после запятой

PIE

I wish I could determine pi

Eureka cried the great inventor

Christmas pudding

Christmas pie

Is the problem's very center. (3,14159265358979323846)

Французский вариант (3.141592653589793238462643383279)

Que j'àime faire apprendre un nombre utile aux sages!

Immortel Archiméde, sublime ingénieur,

Qui de ton jugement peut sonder la valeur?

Pour moi ton probléme eut de pareils avantages.

(Люблю учить я мудрецов полезному числу!

Бессмертный Архимед, великий инженер,

По-твоему, кто сможет значение узнать?

Твоя задача для меня наградою была...)(3.141592653589793238462643383279)

Чтобы нам не ошибаться,

Надо правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Ну и дальше надо знать,

Если мы вас спросим -

Это будет пять, три, пять,

Восемь, девять, восемь. (3.1415926535898)

Учи и знай в числе известном

За цифрой цифру без ошибки. (3,1415926536)

Раз у Коли и Арины

Распороли мы перины.

Белый пух летал, кружился,

Куражился, замирал,

Ублажился… Нам же дал

Головную боль старух,

- Ух, опасен пуха дух. (3,141592653589793238462643)

Ящер Пи.

Вот я упал и замер,

опасность не грозит,

теперь мой хвост - орнамент

подкрасил витражи,

которые хранились

тут не для простоты;

рожу, числом не жилясь,

крик, шок, как красноту... (3,14159265358979323846264338)

Математики стали выискивать всякие закономерности в расположении знаков числа ПИ. Что с математиков возьмешь? Ну, любят они искать порядок в беспорядке. И обнаружили много интересного. Например, оказалось, что в цифрах числа Пи можно найти любую наперёд заданную последовательность цифр! И любая последовательность цифр одинаковой длины встречается в нем с одинаковой частотой.

Например, самые распространенные расстановки встретились в следующих по счету цифрах:

01234567891 - с 26, 245, 852, 899,

01234567891 - с 41, 161, 536, 952,

01234567891 - с 99, 972, 955, 571

01234567891 - с 102, 081, 851, 717

01234567891 - с 171, 257, 652, 369

01234567890 - с 53, 217, 681, 704

01234567890 - с 148, 425, 641, 592

432109876543 - с 149, 589, 314, 822

543210987654 - с 197, 954, 994, 289

Попробуйте поискать в первых десяти тысячах знаков Пи свой телефон или дату рождения. Это очень приятный способ отметить такой необычный праздник.

B иррациональное число π, равное 3,14159265358979323846.., вдохновило выдающегося польского поэта ХХ века, лауреата Нобелевской премии 1996 года Виславу Шимборскую на создание стихотворения "Число Пи", цитатой из которого мы закончим эти заметки:

π - число, достойное восхищения:

Три запятая один четыре один.

Каждая цифра дает ощущение

начала - пять девять два,

ведь до конца не дойти никогда.

Взглядом всех цифр не объять -

шесть пять три пять.

Арифметических действий -

восемь девять -

уже не хватает, и трудно поверить -

семь девять -

что не отделаться - три два три

восемь -

ни уравнением, которого нет,

ни шутливым сравнением -

оных не счесть.

Двинемся дальше: четыре шесть...

9. Число π в современной математике.

К концу 19 века, после 20 лет упорного труда, англичанин Вильям Шенкс нашёл 707 знаков числа π. Однако в 1945 г. обнаружено с помощью ЭВМ, что Шенкс в своих вычислениях допустил ошибку в 520-м знаке и дальнейшие его вычисления оказались неверными.

В наше время с помощью ЭВМ число π вычислено с миллионами правильных знаков после запятой. Но такая точность не нужна ни в каких вычислениях и представляет скорее технический, чем научный интерес.

В современной математике число π - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул, в том числе и в формулы неевклидовой геометрии. Входит она и в замечательную формулу Л.Эйлера, которая устанавливает связь числа "пи" и числа "е". Эта и другие взаимосвязи позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа

В цифрах после запятой нет цикличности и системы, то есть в десятичном разложении Пи присутствует любая последовательность цифр, какую только можно себе представить (включая очень редко встречающуюся в математике последовательность из миллиона нетривиальных нулей, предсказанную немецким математиком Бернгардтом Риманом еще в 1859-м). Это значит, что в Пи, в закодированном виде, содержатся все написанные и ненаписанные книги, и вообще любая информация, которая существует (именно поэтому вычисления японского профессора Ясумаса Канада, который недавно определил число Пи до 12411-триллионного знака после запятой, были тут же засекречены - с таким объемом данных не составляет труда воссоздать содержание любого секретного документа, напечатанного до 1956 года, правда этих данных недостаточно для определения местонахождения любого человека, для этого необходимо как минимум 236734 триллионов знаков после запятой, - предполагают, что такие работы сейчас ведутся в Пентагоне (с использованием квантовых компьютеров, тактовая частота процессоров которых уже сегодня приближается к звуковой скорости).

Через число Пи может быть определена любая другая константа, включая постоянную тонкой структуры (альфа), константу золотой пропорции (f=1,618...), не говоря уж о числе e - именно поэтому число пи встречается не только в геометрии, но и в теории относительности, квантовой механике, ядерной физике и т.д. Более того - недавно учёные установили, что именно через Пи можно определить местоположение элементарных частиц в Таблице элементарных частиц (ранее это пытались сделать через Таблицу Вуди), а сообщение о том, что в недавно расшифрованном ДНК человека число Пи отвечает за саму структуру ДНК (достаточно сложную, надо отметить), произвело эффект разорвавшейся бомбы!

Как считает доктор Чарльз Кэнтор, под руководством которого ДНК и было расшифровано: "Такое впечатление, что мы подошли к разгадке некоей фундаментальной задачки, которую нам подкинуло мироздание. Число Пи - повсюду, оно контролирует все известные нам процессы, оставаясь при этом неизменным! Кто же контролирует само число Пи? Ответа пока нет."

На самом деле, Кэнтор лукавит, ответ есть, просто он настолько невероятен, что учёные предпочитают не выносить его на широкую публику, опасаясь за собственную жизнь (об этом чуть позже): число Пи само себя контролирует, оно разумно! Вздор? Не спешите. Ведь ещё Фонвизин говорил, что "в человеческом невежестве весьма утешительно считать всё то за вздор, чего не знаешь."

Во-первых, догадки о разумности чисел вообще давно посещали многих известных математиков современности. Норвежский математик Нильс Хенрик Абель в феврале 1829-го писал своей матери: "Я получил подтверждения того, что одно из чисел - разумно. Я говорил с ним! Но меня пугает, что я не могу определить, что это за число. Но может быть это и к лучшему. Число предупредило меня, что я буду наказан, если Оно будет раскрыто." Кто знает, раскрыл бы Нильс значение числа, с ним говорившего, но 6 марта 1829-го года его не стало.

1955 год, японец Ютака Танияма выдвигает гипотезу о том, что "каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма" (как известно, на основе этой гипотезы была доказана теорема Ферма). 15 сентября 1955-го, на международном математическом симпозиуме в Токио, где Танияма объявил о своей гипотезе, на вопрос журналиста: "Как вы до этого додумались?" - Танияма отвечает: "Я не додумался, число мне об этом сообщило по телефону". Журналист, думая, что это шутка, решил её "поддержать": "А номер-то телефона оно вам сообщило?". На что Танияма серьёзно ответил: "Такое впечатление, что этот номер мне давно был известен, но я могу теперь сообщить его только через три года, 51 день, 15 часов и 30 минут." В ноябре 1958 года Танияма покончил с собой. Три года, 51 день, 15 часов и 30 минут - это и есть 3,1415. Совпадение? Может быть. Но - вот ещё одно, ещё более странное. Итальянский математик Селла Квитино тоже несколько лет, как он сам туманно выражался, "поддерживал связь с одной милой цифрой". Цифра, по словам Квитино, который уже тогда лежал в психиатрической лечебнице, "обещала сказать своё имя в день своего рождения". Мог ли Квитино настолько лишиться разума, чтобы называть число Пи цифрой, или он так специально запутывал врачей? Не ясно, но 14 марта 1827-го года Квитино не стало.

А самая загадочная история связана с "великим Харди" (как вы все знаете, так современники называли великого английского математика Годфри Харолда Харди), который вместе со своим приятелем Джоном Литлвудом знаменит работами в теории чисел (особенно в области диофантовых приближений) и теории функций (где друзья прославились исследованием неравенств). Как известно, Харди был официально неженат, хотя не раз заявлял, что "обручён с царицей мира нашего". Коллеги-учёные не раз слышали, как он разговаривает с кем-то в своём кабинете, его собеседника никто никогда не видел, хотя его голос - металлический и чуть скрипучий - долгое время был притчей во языцех в Оксфордском университете, где он работал в последние годы. В ноябре 1947 года эти беседы прекращаются, а 1 декабря 1947 года Харди находят на городской свалке, с пулей в желудке. Версию о самоубийстве подтвердила и записка, где рукой Харди было написано: "Джон, ты увёл у меня царицу, я тебя не виню, но жить без неё я более не могу".

Связана ли эта история с числом Пи? Пока неясно, но не правда ли, любопытно? Вообще говоря, подобных историй можно накопать очень много, и, разумеется, не все они трагичны.

Но, перейдём к "во-вторых": каким образом число вообще может быть разумным? Да очень просто. Человеческий мозг содержит 100 млрд. нейронов, число знаков Пи после запятой вообще стремится к бесконечности, в общем, по формальным признакам оно может быть разумным. Но ведь если верить работе американского физика Дэвида Бейли и канадских математиков Питера Борвина и Саймона Плофе, последовательность десятичных знаков в Пи подчиняется теории хаоса, грубо говоря, число Пи это и есть хаос в его первозданном виде. Может ли хаос быть разумным? Конечно! Точно так же, как и вакуум, при его кажущейся пустоте, как известно, отнюдь не пуст.

Более того, при желании, можно этот хаос представить графически - чтобы убедиться, что он может быть разумным. В 1965-ом году американский математик польского происхождения Станислав М. Улам (именно ему принадлежит ключевая идея конструкции термоядерной бомбы), присутствуя на одном очень длинном и очень скучном (по его словам) собрании, чтобы как-то развлечься начал писать на клетчатой бумаге цифры, входящие в число Пи. Поставив в центре 3 и двигаясь по спирали против часовой стрелки, он выписывал 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5 и прочие цифры после запятой. Без всякой задней мысли он попутно обводил все простые числа чёрными кружками. Вскоре, к его удивлению, кружки с поразительным упорством стали выстраиваться вдоль прямых - то, что получилось, очень было похоже на нечто разумное. Особенно, после того, как Улам сгенерировал на основе этого рисунка цветовую картину, с помощью специального алгоритма.

Собственно, эту картинку, которую можно сравнить и с мозгом, и со звёздной туманностью, можно смело называть "мозгом числа Пи". Примерно с помощью такой структуры это число (единственное разумное число во вселенной) и управляет нашим миром. Но - каким образом происходит это управление? Как правило, с помощью неписанных законов физики, химии, физиологии, астрономии, которые контролируются и корректируются разумным числом. Приведённые выше примеры показывают, что разумное число так же нарочно персонифицируется, общаясь с учёными как некая сверхличность. Но если так, приходило ли число Пи в наш мир, в облике обычного человека?

Сложный вопрос. Может быть приходило, может быть нет, надёжной методки определения этого нет и быть не может, но, если это число во всех случаях определено само собой, то можно предположить, что оно приходило в наш мир как персона в день, соответствующий его значению. Разумеется, идеальной датой рождения Пи является 14 марта 1592-го года (3,141592), однако, надёжной статистики по этому году, увы, нет - известно только, что именно в этом году 14 марта родился Джордж Вильерс Бэкингем - герцог Бэкингем из "Трёх мушкетёров". Он великолепно фехтовал, знал толк в лошадях и соколиной охоте - но был ли он числом Пи? Вряд ли. На роль человеческого воплощения числа Пи мог бы идеально претендовать Дункан Мак Лауд, родившийся 14-го марта 1592-го года, в горах Шотландии - если б был реальной личностью.

Но ведь год (1592) может определяться по собственному, более логичному для Пи летоисчислению. Если принять это предположение, то претендентов на роль числа Пи становится много больше.

Самый очевидный из них - Альберт Эйнштейн, родившийся 14 марта 1879-го. Но 1879 год это и есть 1592 год относительно 287 года до нашей эры! А почему именно 287? Да потому что именно в этом году родился Архимед, вперые в мире вычисливший число Пи как отношение длины окружности к диаметру и доказавший, что оно одинаково для любого круга! Совпадение? Но не много ли совпадений, как думаете?

В какой личности Пи персонифицировано сегодня, не ясно, но для того, что бы увидеть значение этого числа для нашего мира, не нужно быть математиком: Пи проявляется во всём, что нас окружает. И это, кстати, очень свойственно для любого разумного существа, каковым, без сомнения, является Пи!

И, напоследок, вопрос. Почему, зная о нежелании числа Пи быть опознанным в качестве разумного, мы не побоялись обнародовать эту информацию? Да потому, что для "Новой Аналитической Энциклопедии" это и есть единственный способ выжить - Теперь-то Пи придётся или убить всех вас, или смириться с тем, что его тайна раскрыта. Будем надеяться, что Оно поступит разумно.

Кейт БушВ ыход нового диска Кейт Буш "Aerial" заставил сердца математиков забиться сильнее. В песне, которую певица так и назвала - "Пи", прозвучали 124 числа из знаменитого числового ряда 3,141… Пи заворожило не только Кейт Буш. С давних времен загадка этого числа не давала покоя многим ученым, особенно математикам - именно в этой области многие разделы науки не могут обойтись без законов этого таинственного числа.

10. Это интересно!

Христиан Крюзер, давний любитель числа пи не только взял это число с собой в полёт, но и заставил его (наверняка не спросив) совершить прыжок вместе с группой парашютистов. Он же установил памятный знак пи на одной из высочайших вершин мира - пике Ленина.

Другой энтузиаст Вернер Лехманн выложил на земле мозаику, цвета плиток в которой соответствуют цифрам числа пи, и гордо на ней восседает. Вот уж кто прочувствовал цифры пи буквально своими руками.

Почитатель числа пи Экхард Коен нанёс на стекло размером 60х60 см узор, основанный на 250 000 знаках любимого числа и соорудил из него журнальный столик. Теперь счастливый автор, может наслаждаться чашкой чая, рассуждая о фантастической красоте окружающего мира.

А ещё любители числа пи собрали необычайные фотографии, подтверждающие таинственное свойство этого числа появляться в самых неожиданных местах, причём не только в виде самого числа, но, самое невероятное, и в виде символа, обозначающего это число. Например, в виде снежных языков на склонах гор, в перекрещивающихся ветках деревьев, в прожилках обычных камней, в железяке для швартовки лодок и даже в струйках воды, стекающих с рук в умывальник!

А ещё приверженцы пи обнаружили в Лейпциге на улице Rietschelstrasse таинственное яйцо с нанесенными на нем 2345 цифрами числа пи. И вместо того, чтобы искать птицу или крокодила, снесших это чудо, они рассуждают о том, что космические сферы не обязательно сферические, что им больше подходит форма яйца, вот такие чудаки.

Они же, ко дню рождения Хуберта Риттера (Hubert Ritter, 1886 - 1967), архитектора из Лейпцига, применявшего в строительстве элементы окружностей, создали мозаику из 1886 элементов, ячейки которой раскрашены, вы уже догадались, по цифрам числа пи.

Двадцать второго июля (день приближённого Пи) 2000 года в Хохенчоенхаузене под Берлином (Berlin-Hohenschoenhausen ) прохожие могли стать свидетелями необычного действия. Максвелл Демон из 1392 яблок выложил на траве первые 314 цифр волшебного числа.

Вот это увлечённость, даже завидно стало. Представляете - жизнь, наполненная пи! Это вам не пустяки.

11. Заключение.

Мог бы кто-нибудь сегодня удалить число π из мира дел человеческих?

Число π присутствует в чертежах и вычислениях, выполняемых электронными машинами при подготовке и проведении полетов в космос; оно предоставляет необходимое количество десятичных знаков всякий раз, когда они нужны инженерам, рассчитывающим цилиндрические, сферические или конические части машин, физикам и астрономам, когда они проводят приближенные вычисления по формулам, в которых среди фундаментальных постоянных появляется и π, как, например, в формуле для периода колебания маятника, и в тысячах и тысячах других случаев. Куда бы мы ни обратили свой взор, мы видим проворное и трудолюбивое число π: оно заключено и в самом простом колесике, и в самой сложной автоматической машине.

12. ЛИТЕРАТУРА

1. Друянов В. «Загадочная биография Земли», 1989 г.

2. Кымпан Ф. «История числа π». М., «Наука», 1971 г.

3. Энциклопедия для детей. М., «Аванта +», 2002 г.

4. Балк М. «Математика после уроков», М., «Просвещение», 1971 г.

5. Глейзер Г. «История математики в школе», 1982 г.

6. Толковая Библия Лопухина, стр. 460

7. Манин Ю. И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки. Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая (геометрия), М., Физматгиз, 1963. - 568 с.

8. Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.

9. Хал Хеллман. Великие противостояния в науке. Десять самых захватывающих диспутов - Глава 2. Валлис против Гоббса: Квадратура круга = Great Feuds in Science: Ten of the Liveliest Disputes Ever. - М.: «Диалектика», 2007. - С. 320.

49