Методика реализации межпредметных связей при организации практического занятия по математике «Производная функция и ее приложение»

Федеральное агентство по образованию

ГОУ СПО «Комсомольский-на-Амуре Металлургический техникум»

Методическая разработка

Тема: Методика реализации межпредметных связей

при организации практического занятия по математике

«Производная функция и ее приложение»

Преподаватель:

Грибанова Г.Ф.

Рассмотрено

на заседании ПЦК ЕНД

«___»___________ 2014 г.

___________ /Коростылева Н.И./

2014

Тема: Производная функция и ее приложения

Вид занятия: Практическое занятие

Цели урока:

1. Обобщение теоретических знаний по теме «Производная»

2. Применение знаний к решению задач с использованием физического и геометрического смысла производной.

3. Развитие умений и навыков решения задач

4. Привитие интереса к предмету через межпредметные связи.

Дидактическое обеспечение:

ТСО: ПК, экран, проектор.

Учебно-дидактический материал: таблицы, карточки-задания, раздаточный материал.

План урока

1. Повторение ранее изученного материала.

1. Выбрать соответствие между формулами дифференцирования (устно).

2. Самостоятельная работа (дифференцированная оценка знаний)

2. Творческая работа студентов

Сообщение на тему: «Возникновение дифференциального исчисления и его основоположники»

3. Решение задач на приложение понятия производной (предварительная подготовка группы)

1. Физический смысл производной

а) презентация задачи;

б) решение задач по физическому смыслу производной.

2) Геометрический смысл производной

а) презентация задачи;

б) решение задач по геометрическому смыслу производной.

3) Решение задач на max и min

а) презентация задачи;

б) решение задач на max и min.

4) Построение графиков с помощью производной

IV. Самостоятельная работа по решению задач (при наличии времени)

5. Итоги урока. Выставление оценок.

Ход занятия

Повторение

1. Составить соответствие: Ответы

1. (xⁿ)` 1) cos x 1 - 2

2. (e^x)` 2) nx^n-1 2 - 12

3. (sin x)` 3) 1 3 - 1

4. (tg x)` 4) 0 4 - 10

5. (a^x)` 5) 5 - 13

6. (ln x)` 6) -sin x 6 - 7

7. (coa x)` 7) 1/x 7 - 6

8. (c)` 8) c 8 - 4

9. (u+v)` 9) u`+v` 9 - 9

10. (uv)` 10) 10 - 14

11. (u-v)` 11) u`-v` 11 - 11

12. (cx)` 12) 12 - 8

13. (x)` 13) a^xln a 13 - 3

14. ` 14) u`v+uv` 14 - 5

2. Самостоятельная работа «Найти производные»

Критерии оценки: 10 заданий - «5»

8 заданий - «4»

5 заданий - «3»

I. II. III. IV.

1) y=2x-4 1) y=3x+6 1) y=7x+1 1) y=5x - 8

2) y=x²-3x 2) y=x³+4x 2) y=x⁵ - 2x 2) y=3x - x²

3) y=cosx+2 3) y=3 - cosx 3) y=2 - sin x 3) y=sin x +1

4) y=sin x - 5 4) y=4+sin x 4) y=cos x+2 4) y=2 - cos x

5) y=e^x+x² 5) y=x³ - e^x 5) y=e^x - x⁵ 5) y=e^x+x³

6) y=ln x+2x 6) y=ln x - 3x 6) y=2x - ln x 6) y=ln x +4x

7) y=x²cos x 7) y=x³sin x 7) y=x⁴cos x 7) y=x^2∙sin x

8) y= 8) y= 8) y= 8) y=

9) y=3^x+x 9) y=5^x - x 9) y=2^x - 3x 9) y=3^x - 4x

10) y= 10) y= 10) y= 10) y=

1. Историческая справка.

Творческая работа студентов - сообщение «Возникновение дифференциального исчисления и его основоположники».

2. Применение производной к решению задач (применение ПK; Презентация)

1. Физический смысл производной

а) Презентация:

Механическое истолкование производной было впервые дано И. Ньютоном:

Скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.

Задача 1. Тело движется прямолинейно по закону S=3t² - 2t+4. Найти скорость движения тела в конце пятой секунды.

V=S`(t). S`=(3t²-2t+4)`=6t-2

S`(5)=6∙5-2=28(м/c) v=28(м/с)

Задача 2. Высота тела, брошенного вертикально вверх, меняется по закону H=200t-4,9t². Найти скорость тела в конце 10- ой секунды. Сколько секунд тело будет лететь вверх и какой высоты может достичь?

V=H`(t) V=200-9,8t, при t=10с

V(t)=200-9,8∙10=102(м/с)

В момент наивысшей высоты, скорость тела равна нулю, тогда

200-9,8t=0 => t=(с)

S(t)=200∙20,4-4,9∙20.4²2040.8(м)

Задача 3. Рассмотрим задачу из раздела теоретической механики:

При торможении маховик за t секунд поворачивается на угол φ=5+6t-t² радиан.

Найти:

а) Угловую скорость ω вращения маховика в момент времени t=2(c)

б) Момент времени t, когда вращение прекратиться.

Определение: Угловой скоростью ω называется скорость изменения угла φ за время ∆ t.

ω=φ`(t).

ω=φ`(t)=(5+6t-t<sup>2</sup>)`=6-2t

a) t=2. Ω=6-2∙2=2(рад/с)

б) Угловое ускорение - это производная от угловой скорости ω по времени t.

ε=ω`(t) ε=(6-2t)`=-2(рад/с)

в) во время остановки маховика ω=0, тогда 6-2t=0 t=3/в конце третьей секунды маховик остановится.

б) Задачи для самостоятельного решения:

1) Материальная точка движется по закону S=2t³-6t²+4t. Найти скорость точки в конце третьей секунды

v=S`(t) v=6t²-12t+4

v(3)=6∙9-12∙3+4=42(м/с)

2) Тело брошено вертикально вверх. В какой момент времени оно достигнет наивысшей точки S=2+9t-5t²

v=S`(t) v=9-10t v=0 - тело в наивысшей точке.

9-10t=0 t=9/10(c)

2. Геометрический смысл производной

Геометрическая интерпретация производной впервые дана в конце XVII в. Лейбницем. «Значение производной функции y=f(x) в точке х равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой же точке х.

k=f`(x)=tg φ

Задача 1. Шоссе проходит через речку. Мост имеет форму параболы y=px². Каким надо сделать уклон насыпи к мосту, чтобы переход с моста на насыпь был плавным? длина моста l=20м, стрела провеса f=0,5

Пусть угол наклона касательной х α, тогда tg α=y`(x)

tg α=(px²)`=2px точка 0(10;0,5)

р= для 0 (10;0,5)

p=

tg α=2∙0.005∙10=0.1 по таблице <α=?

б) задачи для самостоятельного решения

1) найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой y=x³ в точке (-2;-8)

y`=3x<sup>2</sup>tg α =y`(x) =3∙(-2)²=12

3. Решение задач на max и min

а) Презентация задачи:

задача 1. Сопротивление f догори движению автомобиля при скорости движения v (км/ч) выражается

1. на асфальте f=14.5+0.25v

2. на хорошем шоссе f=24-2/3v+1/30v²

3. на бульварной мостовой f=29-2/3v+1/15v²

4. на грунтовой дороге f=36.5-3/4v+1/30v²

Определить для тех случаев, когда это возможно, скорость, при которой сопротивление будет наименьшим

1. Функция линейная v=0.25 - min - нет

2. v=-2/3+2/15v v=10км/ч

3. v=-2/3+2/15v v=5км/ч

4. м=-3/4+1/15v v=11.25км/ч

задача 2. Разложить число 100 на слагаемые так, чтобы их произведение было наибольшим

Пусть 1 число - х, тогда 2 (100-х) составим произведение y=x∙(100-x) =>y =100x-x²

y`=100-2x

y`=0 100-2x=0 x=50

y` + - x=50 - max

y 50 оба числа равны 50

б) Задачи для самостоятельного решения

1) найти такое число , чтобы разность между этим числом и квадратом его была наименьшей

Пусть число х, тогда его квадрат х²

у=х²-х

у`=2x-1 y`=0 2x-1=0 y` - +

2x=1 y 1/2

X=1/2

2) каковы должны быть стороны прямоугольного участка, периметр которого 120 м, чтобы площадь его была наибольшей? (квадрат со стороной 30м).

4) применение производной к построению графиков

1. Презентация

а) алгоритм построения графиков

б) построить график функции:

у=х²+2х-3

1. ОДЗ: xR

2. y(-x)=(-x)²+2(-x)-3 - не является четной; не является нечетной

3. найдем точки пересечения с осями:

с ОХ: х²+2х-3=0

у=0 х_1,2= х_1,2=-3;1

с ОУ: у=0²+2∙0-3=-3

х=0

4. найдем пересечение точки:

у`=(x<sup>2</sup>+2x-3)`=2x+2

y`=0 2x+2=0

x=-1

5. определим промежутки монотонности y

y` - + -3 -1 1 x

y -1 x

-3

6. у(-1)=-4

б) задача для самостоятельного решения.

Построить график функции у=8-2х-х²

3. Самостоятельная работа (при наличии времени)

1. Построить графики функций

2. Решить задачи на max и min (раздаточный материал)

Литература

Г.М. Яковлев «Алгебра и начала анализа». 1ч

Ш.А. Алимов «Алгебра и начала анализа» 10-11кл

В.М. Богомолов «Практические задания по математике»