- Преподавателю
- Математика
- Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона
Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона
Раздел | Математика |
Класс | 10 класс |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Казьмирчук И.Ю. |
Дата | 26.01.2016 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Прямая Симсона
Теория.
Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.
Свойства
-
Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из произвольной точки плоскости на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка лежит на описанной окружности треугольника.
-
Пусть H -ортоцентр (ортоцентр- точка пересечения высот треугольника или их продолжений)треугольника ABC. Тогда прямая Симсона произвольной точки Pделит отрезок PH пополам.
-
Существуют обобщения прямой Симсона. Если из данной точки описанной окружности треугольника провести прямые под данным ориентированным углом к сторонам, то три полученных точки пересечения будут лежать на одной прямой.
Задача №1
Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точка Р вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников АВР, ВСР, АСР и точка Р лежат на одной окружности.
Задача №2
а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA1, PB1 и PC1 под данным (ориентированным) углом к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A1, B1 и C1 лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла 90o на угол она повернется на угол 90o - .
Решение
а) Решение задачи проходит без изменений и в этом случае.
б) Пусть A1 и B1 - основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и CA, а точки A2 и B2 прямых BC и AC таковы, что (PA2, BC) = = (PB2, AC). Тогда PA1A2 PB1B2, поэтому точки A1 и B1 переходят в A2 и B2 при поворотной гомотетии с центром P, причем A1PA2 = 90o - - угол поворота.
Задача №3
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки D опущены перпендикуляры DB' и DC' на прямые AC и AB; точка M лежит на прямой B'C', причем DM BC. Докажите, что точка M лежит на медиане AA1.
Решение
Пусть продолжение биссектрисы AD пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке P. Опустим из точки P перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на прямые BC, CA и AB; ясно, что A1 - середина отрезка BC. При гомотетии с центром A, переводящей P в D, точки B1 и C1 переходят в B' и C', а значит, точка A1 переходит в M, так как она лежит на прямой B1C1 и PA1| DM.
Задача №4
а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA1 и PB1 на прямые BC и AC. Докажите, что PA . PA1 = 2Rd, где R - радиус описанной окружности, d - расстояние от точки P до прямой A1B1.
б) Пусть - угол между прямыми A1B1 и BC. Докажите, что cos = PA/2R.
Решение
а) Пусть угол между прямыми PC и AC равен . Тогда PA = 2R sin. Так как точки A1 и B1 лежат на окружности с диаметром PC, угол между прямыми PA1 и A1B1 тоже равен . Поэтому PA1 = d /sin, а значит, PA . PA1 = 2Rd.
б) Так как PA1 BC, то cos = sin = d /PA1. Остается заметить, что PA1 = 2Rd /PA.
Точка P движется по описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что при этом прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой P.
Решение
Пусть A1 и B1 - основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и CA. Тогда (A1B1, PB1) = (A1C, PC) = BP/2. Ясно также, что для всех точек P прямые PB1 имеют одно и то же направление.