Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона

Раздел Математика
Класс 10 класс
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Прямая Симсона

Теория.

Основания перпендикуляров, опущенных из точки описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой. Эта прямая называется прямой Симсона.

Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона

Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона

Свойства

  • Верно и обратное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из произвольной точки плоскости на стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой, то точка лежит на описанной окружности треугольника.

  • Пусть H -ортоцентр (ортоцентр- точка пересечения высот треугольника или их продолжений)треугольника ABC. Тогда прямая Симсона произвольной точки Pделит отрезок PH пополам.

  • Существуют обобщения прямой Симсона. Если из данной точки описанной окружности треугольника провести прямые под данным ориентированным углом к сторонам, то три полученных точки пересечения будут лежать на одной прямой.

Задача №1

Точки А, В и С лежат на одной прямой, а точка Р вне этой прямой. Докажите, что центры описанных окружностей треугольников АВР, ВСР, АСР и точка Р лежат на одной окружности.

Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона

Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона

Задача №2

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC проведены прямые PA1, PB1 и PC1 под данным (ориентированным) углом Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона к прямым BC, CA и AB соответственно (точки A1, B1 и C1 лежат на прямых BC, CA и AB). Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.
б) Докажите, что при замене в определении прямой Симсона угла 90o на угол Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона она повернется на угол 90o - Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона.

Решение

а) Решение задачи проходит без изменений и в этом случае.
б) Пусть A1 и B1 - основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и CA, а точки A2 и B2 прямых BC и AC таковы, что Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона(PA2, BC) = Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона= Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона(PB2, AC). Тогда Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая СимсонаPA1A2 Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая СимсонаПодборка задач для работы на уроке по теме Прямая СимсонаPB1B2, поэтому точки A1 и B1 переходят в A2 и B2 при поворотной гомотетии с центром P, причем Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая СимсонаA1PA2 = 90o - Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона - угол поворота.

Задача №3

В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и из точки D опущены перпендикуляры DB' и DC' на прямые AC и AB; точка M лежит на прямой B'C', причем DM Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая СимсонаBC. Докажите, что точка M лежит на медиане AA1.

Решение

Пусть продолжение биссектрисы AD пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке P. Опустим из точки P перпендикуляры PA1, PB1 и PC1 на прямые BC, CA и AB; ясно, что A1 - середина отрезка BC. При гомотетии с центром A, переводящей P в D, точки B1 и C1 переходят в B' и C', а значит, точка A1 переходит в M, так как она лежит на прямой B1C1 и PA1| DM.

Задача №4

а) Из точки P описанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры PA1 и PB1 на прямые BC и AC. Докажите, что PA . PA1 = 2Rd, где R - радиус описанной окружности, d - расстояние от точки P до прямой A1B1.
б) Пусть Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона - угол между прямыми A1B1 и BC. Докажите, что cosПодборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона = PA/2R.

Решение

а) Пусть угол между прямыми PC и AC равен Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона. Тогда PA = 2R sinПодборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона. Так как точки A1 и B1 лежат на окружности с диаметром PC, угол между прямыми PA1 и A1B1 тоже равен Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона. Поэтому PA1 = d /sinПодборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона, а значит, PA . PA1 = 2Rd.
б) Так как PA1 Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая СимсонаBC, то cosПодборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона = sinПодборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона = d /PA1. Остается заметить, что PA1 = 2Rd /PA.

Точка P движется по описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что при этом прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC поворачивается на угол, равный половине угловой величины дуги, пройденной точкой P.

Решение

Пусть A1 и B1 - основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC и CA. Тогда Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона(A1B1, PB1) = Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая Симсона(A1C, PC) = Подборка задач для работы на уроке по теме Прямая СимсонаBP/2. Ясно также, что для всех точек P прямые PB1 имеют одно и то же направление.



© 2010-2022