Романтика на уроках математики

Изучение математики 5 класса начинается темой: «Натуральные числа» на первом уроке ребятам преподносится информация.

Замечали ли вы, что в мирах, сказках встречаются далеко не любые числа? А только 1, 3, 7, 13? Почему не 5, 10, их же можно увидеть, достаточно взглянуть на руки? И у А.С.Пушкина в «Пиковой даме» 3, 7, туз!

Начертим на плоскости круг (шар в двухмерном пространстве). Сколько шаров может касаться его как центрального? По прямой получается 3, а в плоскости - 7. А если перенестись в пространство, то касающихся к одному шару будет 13.

Что это, случайность или же фольклор доносит до нас следы глубоких математических познаний наших предков? А вдруг это свидетельство того, что люди знали в древности о размерности пространства и кодировали эту информацию числами 3, 7, 13… Тогда точно были связи с другими галактиками.

Задача о количестве одинаковых шаров решена математически для 4-х и 5-мерного пространства, их там 25, 41,73.

40 часто встречается в фольклоре: 40-й день - поминки, Москва - город сорока сороков, сороконожки. А 41 может считать запредельным У Некрасова есть строки: «Сорок медведей поддел на рогатину, на 41-м оплошал». Но числа 25, 73 не выделяются в фольклоре. Значит, ряд чисел 1, 13, 25, 7, 41 не состоялся и теория Земля - Космос не состоялась. Так что вряд ли в основе поговорок лежат знания пришельцев!

Домашнее задание носит творческий характер: «найти информацию о 7 чудесах света».

На следующем уроке ребята расскажут о них, нанесут пуансоны на карту, а учитель вывесит на доску рисунки, фотографии этих чудес и даст информацию, что 8-е чудо света еще не названо. но на него претендует: Статуя Свободы (1885), Эйфелева башня, Статуя Христа в г. Рио-де-Жанейро (Бразилия,1931), плотина Гувера в Аризоне (1936), мост «Золотые ворота» из Сан-Франциско (США,1937), здание оперного театра в Сиднее (Австралия,1973), туннель через Ла-Манш (1994). Информация сопровождается видеорядом.

Часто ребята спрашивают: «А что идет после миллиарда?» Им можно назвать классы чисел, известные науке: миллион, миллиард, триллион, квадрильон, квинтиллион, секстильон, септильон, октильон.

Правда, это похоже на музыкальные интервалы терция, кварта, квинта, секста, септима, октава?

А дальше? - нонильон, децильон, андецильон, доудецельон, кваттордециллион, квиндециллион, септидециллион, октодециллион, нанодециллион, вининтиллион, гугол.

При изучении вопроса «Знакомство с римскими числами» можно продемонстрировать памятник Петру I в Петербурге с хорошо просматриваемой надписью

PETRO PRIMO

CANTHARINA SECUNDA

MDCCLXXXII

И дается информация.

Вы видите памятник первому российскому императору Петру I. К началу его правления Россия безнадежно отставала от передовых стран Европы. Петр I начал строить заводы, прокладывать каналы. Он руководил постройкой флота, созданием регулярной армии. При нем была организована Академия наук и был построен город Петербург.

Скульптуру создал Фальконе, он воплотил в ней идею деятельности Петра, ее же воспел в стихах А.С.Пушкин:

На берегу пустынных волн

Стоял он, дум великих полон

И в даль глядел…

И думал он:

Отсель грозить мы будем шведу,

Здесь будет город заложен

Назло надменному соседу.

Природой здесь нам суждено

В Европу прорубить окно,

Ногою твердой стать на море.

Сюда по новым им волнам

Все флаги в гости будут к нам,

И запируем на просторе.

Обратите внимание на подпись на глыбе: Петру I, Екатерине II. Это вы прочли, а что значит последняя строчка? Эта запись сделана с помощью римских цифр

I V X L C D M

I 5 10 50 100 500 1000

А как же прочесть число на памятнике?

M D C C L X X X II

1000+500+100+100+50+10+10+10+2 = 1782 год

В этом году был установлен памятник

Дома предлагается найти репродукции римских скульптур с подобными надписями.

При изучении темы «Шкала», ребята часто испытывают трудности в нанесении координат точек. Но если начало первого урока сделать так, трудности устраняются.

На доске вывешивают репродукции лестниц Эрмитажа. Учитель предлагает рассмотреть картинки, мысленно подняться этими прекрасными ступенями. А потом дается информация, что в переводе с латинского школа - лестница, у которой есть начало, а расстояние от ступеньки до ступеньки всегда одно и тоже, иначе будет неудобно шагать.

Так и в математике начало шкалы всегда 0, а расстояние от 0 до 1 показывает каким шагом сделана лестница.

О чём поведал гордый ноль.

Я на шкале -число-граница

Где стану я- там чисел штаб.

За мной я числам разрешаю разместиться:

Ноль, направленье и масштаб

Изучая тему: «Окружность. Круг.» ребятам вначале урока предлагается вопрос: Как перевести слово окружность на украинский язык? Затем ребята ищут однокоренные слова.

Учитель дает информацию:

Знаете ли вы, что на старославянском языке коло - младенец Солнце. Он рождается зимой на праздник Коляды. Коло - хороший, коломень - округа, коляда - рождение нового круга. Колесо, старинное коло, круг, хоровод - тоже колесо, а хороводит песни - песни по кругу. Зимние святки были посвящены Коляде - богу мира и младенцу Солнце - Свету. Свет - свят - святки. Святочные песни носили ритуал «окликания звезды». Был святочный костер. Его разжигали на поляне, а угольки разносили потом по домам. Круговое завершение событий и начало новых отмечалось веселой круговой ездой на конях вокруг села, плетением золотых колес из лозы, которые зажженными спускались с горы. А еще пекли баранки - это тоже круг, каравай в виде круга.

Коло - молодость, обновление, потому колядовать ходила молодежь.

Можно предложить послушать отрывок «Масленица», где передается радостное настроение праздника.

Ребята выполняют домашнее задание:

- «Найти в природе, архитектуре, музыке движение по кругу». И мир следующего урока по теме наполняется красками: вот радуга, вот фотография садов и парков Петродворца, вот музыкальные вариации на заданную тему - как движение обновляемой мелодии.

А вот с темой «Обыкновенные дроби» хорошо уживается музыка. На урок приносят гитару, сопилку, таблицы по музыке. Вам хочется знать как звучала музыка в Греции. Сегодня я познакомлю вас с тем, как с помощью математики создавался нотный стан. Занимался этим Пифагор.

Играли в это время на мотне. Это струнный инструмент, а струна - это самое простое музыкальное устройство. Пифагор рассуждал так: Целая струна звучит как «до», половина - «ре», четверть - «ми», восьмая - «фа» и т.д. Послушайте, как звучит. Похоже это на современный звукоряд? Нет конечно. Чтобы стать похожей на сегодняшнюю музыка прошла через многие изменения.

А знаете, обыкновенные дроби применяются и в архитектуре. Перед вами фотография юрты - священного жилища монголов, унаследованного от предков. Круглое основание (ч = 6м) делится на 12 частей, каждой из которых издавна присвоен один из знаков древнего восточного зодиака: мышь, бык, тигр, заяц, дракон, змея, конь, баран, обезьяна, петух, собака, свинья.

Юрта - своеобразные солнечные часы, по которым кочевники могут определять время с точностью до 5 минут. Дело в том, что солнечный луч освещает 1 часть юрты, благодаря отверстию в кровле. Монголы и сейчас говорят: «Это произошло в час зайца» (18 часов).

А вот еще один древний музыкальный инструмент - сопилка. Видите, в ней дырочки расположены не на равном расстоянии. Сначала делают первую, вторую -

на 1 длины, потом на 1, 1 и т.д.

2 3 4

Каждая сопилка имеет свой голос. Вы знакомы с нотной грамотой. Тогда, скажите, сколько половинок в целой, четвертных, восьмых, шестнадцатых.

А еще старинный музыкальный инструмент - колокол. У В.Я.Шишкова в «Угрюм-реке» их звон расписан так: «А вскоре масленица подкатила, настоящая, сибирская: с блинами, водкой, жареной в сметане рыбой, вся в бубенцах, в гривастых тройках, с кострами. песнями. разгулом…

Даже трезвон колоколов точно веселый пляс: это одноногий солдат Ефимка - чтоб ему - вот как раскамаривает!

«Четверть блина, четверть блина!» - задорно подбоченивались, выплясывали маленькие колокола.

«Полблина, полблина, полблина!» - приставали медногорлые середняки. И основательно, не торопясь, бухал трехсотпудовый дядя:

«Блин!

Четверть блина -

Полблина,

Четверть блина,

Полблина,

Блин, блин, блин!».

Можно предложить ребятам эту не сложную попевку исполнить прямо на уроке, разделив их на 4 части: блинчики, четверть блина, полблина, блин.

Домашнее задание индивидуально детям, которые владеют инструментом: Сыграть «Жили у бабуси» на звукоряде Пифагора.

Изучение темы «Умножение десятичных дробей» занимает несколько уроков. На первом уроке ребятам дают задания: выразить старинную меру длины вершок нашими привычными мерами длины.

На втором уроке, когда ребята уже научились выполнять умножение, им предлагается следующая информация:

в неоконченной поэме Лермонтова М.Ю. «Сказка для детей» об отце героини говориться: «Он ростом был 12 вершков, с домашними был строг неумолимо…» И в рассказе Тургенева И.С. «Муму» дворник Герасим «сложенный богатырь» был такого же роста. А вот Пушкин А.С. по воспоминаниям брата, «ростом был мал ( в нем было 5 с небольшим вершков), но тонок и сложен необыкновенно крепко и соразмерно».

Вершок - старинная мера длины. Это 4,445 см. Какого же роста был Герасим и какого Пушкин? 12 х 4,445 = 53,34 5 х 4.445 = 22,225

И что же получилось? Богатырь ростом 53,34, а Пушкин с ладошку? Может быть существовали другие вершки? Не пытайтесь найти ничего подобного. Просто в старину рост человека указывали сверх двух аршин (один аршин = 0,71 см.). Давайте еще раз найдем рост Пушкина и рост Герасима.

Дома предлагается найти рост Конька-Горбунка.

На одном уроке, посвященном закреплению темы «Действия с десятичными дробями» или «Работа с калькулятором» можно выполнить самостоятельную работу.

Демонстрируются репродукции скульптур римских, египетских, греческих мастеров. Это могут быть Давид, Артемида, Венера Милосская и т.д.

Художники средневековья большое внимание уделяли антропологическим и анатомическим особенностям человеческого тела. Продолжили эти изыскания археологии. Они установили, что между размерами частей тела и ростом человеческих костей имеются весьма строгие соотношения. На основании этих соотношений археологи определяли внешний вид наших предков. В СССР этим занимался Герасимов. Однажды, чтобы проверить достоверность портрета Герасимову дали череп из запасников Эрмитажа. Он вылепил женский бюст, придал форму волосам и все ахнули - перед ними был бюст матери Ф.Достоевского, портрет которой сохранялся в самом Эрмитаже.

Воспользуемся пропорциями археологов, чтобы нарисовать свою геометрическую модель, для этого вы должны знать свой рост.

ЖЕНЩИНЫ

рост : 8 = голова --- см

рост - 64,9 = … : 3,13 = плечо --- см

рост - 73,5 = … : 3,8 = предплечье --- см

рост - 61,9 = … : 2,32 = бедро --- см

рост - 72,6 = … : 2,53 = голень --- см

МУЖЧИНЫ

рост : 8 = голова --- см

рост - 73, 6 = … : 2,97 = плечо --- см

рост - 80,4 = … : 3, 65 = предплечье --- см

рост - 69, 1 = … : 2, 24 = бедро --- см

рост - 72,6 = … : 2, 53 = голень --- см

Теперь приступим к рисованию. В одной клеточке 10 см. Отложим полный рост. От верхней точки вниз отложим размеры головы, от нижней точки вверх - длину ног, от линии плеча - длину рук (плечо + предплечье). Модель рисуем шириной 1-1.5 клеточки. Само туловище - 3, 35 клеточки. Голову - 1,5 - 2 клетки. Ваша модель готова. Сравните с изображением Давида. Похожа? То-то, не даром вы только ученики, а они мастера древности!

А вот в книге А.Дюрера «О пропорциях человека» сказано: «Витрувий, древний зодчий, которому римляне поручали большие постройки говорит: кто хочет строить, тот должен ориентироваться на сложение человеческого тела, ибо в нем, он найдет скрытые тайны пропорции. И поэтому, прежде чем приступить к строениям, я хочу рассказать, какими должны быть хорошо сложенные мужчина, женщина, ребенок, конь. Таким путем сможешь ты легко находить меры всех вещей.

Лицо от подбородка до волос 0,1 человека

Ладонь 0,1 человека

Голова 0,125 человека

От верхней части груди до волос 1/6 человека

Если разделить лицо на три части, то в верхней будет лоб, во второй - нос, в третьей - рот с подбородком.

Ступня 1/6 человека

Локоть 1/4 человека

Грудь 1/4 человека

Заканчивается эта цитата так: «И кто хочет, пусть просчитает сам. Как он объяснит лучше основы строений?»

При изучении темы «Масштаб» ребятам легко стать Гулливерами и отправиться в путешествия. Кто читал книгу Дж.Свифта «Путешествие Лемюэля Гулливера», тот знает, что Гулливер был моряком, математиком и врачом.

Однажды корабль его потерпел крушение, но Гулливер выбрался на берег и уснул.

«По моему расчету, сон продолжался не менее 9 часов… Я попробовал встать, но не мог пошевелиться. Мои руки и ноги, а я лежал на спине - были прочно прикреплены к земле. Точно также были притянуты к земле мои длинные и густые волосы. Вместе с тем, я чувствовал, что все6 мое тело от подмышек до бедер перетянуто множеством тонких шнурков. Вскоре я почувствовал, как что-то живое задвигалось у меня на левой ноге, осторожно подобралось мне на грудь и приблизилось к подбородку. Опустив глаза, я различил перед собой человека ростом не более 6 дюймов, с луком и стрелой в руках и колчаном за спиной…», а дальше он описывает пажа с ростом с большой палец.

Вам интересно знать, какого роста были лилипуты?

Дюйм - это 2,5 см или 25 мм, тогда 6 дюймов - 15 см.

Рост Гулливера примерно 1,8 м или 180 см. Во сколько раз рост Гулливера больше роста лилипута? 180 : 15 = 12.

Давайте рост лилипутов примем за 1 клетку и нарисуем вертикально рядом лилипута и Гулливера. Подпишем их.

Сколько раз рост лилипута может поместиться в росте Гулливера?

На этом приключения Гулливера не закончились. Его занесла судьба в страну великанов - Бомбдинген. «Во время бури нас отнесло к Востоку… Мы бросили якорь… Матросы разбрелись по побережью в поисках пресной воды, а я отправился в противоположную сторону. Передо мной открылся широкий вид на море. Внезапно я заметил, что наши матросы уже погрузились на баркас и изо всех сил гребут к кораблю. Я уже хотел окликнуть их, как вдруг заметил, что за ними гонится человек исполинского роста. Вода едва доходила ему до колен, он делал исполинские шаги… Ростом он был с колокольню»

Колокольня строилась высотой 6-10 м. Возьмем 9 метров. Во сколько раз великан больше Гулливера? Пусть Гулливер ростом 2 клеточки, тогда великан 10 клеточек. Нарисуем их. Сколько раз рост Гулливера может поместиться в росте великана? А помните мультфильм, в котором попугай мерил длину удава? В удаве было 38 попугаев. Таким образом. каждый раз мы измеряли большую длину меньшей. Число, показывающее сколько сантиметров, метров, километров «прячется» в отрезке единичной длины называется масштабом.

Например: 1 : 1 м обозначает в одном сантиметре спрятан один метр.

1 : 1 км - в одном сантиметре спрятан один километр.

1 : 28 км - в одном сантиметре спрятано 28 километров.

Далее ребята работают с учебниками и картой. А потом можно показать как увеличиваются картинки по клеточкам на примере носа Бабы Яги.

Домой ребята получают кроме обычных и творческое задание: попасть в Лилипутию и нарисовать себя и лилипута, сохраняя масштаб.

Проведение уроков по темам «Площадь», «Величины», «Решение уравнений», «Дроби», «Задачи на движение» намного оживиться, если предложить к решению задачи из «Задачника» Г.Остера:

1. Неутомимый мальчик прошел 3 км за 30 мин. За сколько часов пройдет 60 км неутомимый мальчик?

2. Приближаясь к дереву со скоростью 18 км / час велосипедист Артур мечтает покатать на своем велосипеде красавицу Катю. Как долго продлятся Артуровы мечты, если до дерева осталось 25 м ?

3. Из города А в деревню Б выехал автомобилист. Проехал со скоростью 80 км /час 3 часа и проколол шину кривой железякой. Из деревни Б в город А выехал велосипедист со скоростью 16 км/ч , ехал 3 часа и тоже проколол шину и той же самой кривой железякой. Узнай расстояние между городом А и деревней Б?

4. Скорость стрелы, выпущенной из лука Ивана Царевича 50 км/ч. Стрела долетела до Царевны Лягушки за 2 часа. Скорость пешего Ивана Царевича 5 км/ч. За сколько часов Иван Царевич доберется до своей невесты?

5. Петру Петровичу каждую ночь является приведение. Ровно в полночь оно встает из могилы и бредет от кладбища к дому Петра Петровича со скоростью 5 км/ч. 2 часа приведение жутко воет под окнами Петра Петровича и потом с той же скоростью бредет на кладбище. В 6 часов утра приведение ложится в могилу. Узнай расстояние от кладбища до дома Петра Петровича.

6. Из двух собачьих будок, находящихся на расстоянии 27 км друг от друга, навстречу друг другу выскочили в одно и тоже время две драчливые собачки. Первая бежит 4 км/ч, а вторая 5 км/ч. Через сколько часов начнется драка?

7. Первобытный человек пригласил динозавра в свою пещеру на завтрак и попросил прийти в 10 часов утра. Длина динозавра от кончика до кончика хвоста 200 м. В котором часу динозавр должен подойти к пещере, чтобы двигаясь со скоростью 3 км/ч, целиком прийти к завтраку без опоздания?

8. 3 милиционера гнались за одним жуликом. Усатый милиционер бежал со скоростью 10 км/ч, лысый - 15 км/ч, а пузатый - 20 км/ч. Жулик убегал со скоростью 100 км/ч. Пробежав 2 часа жулик залез на березу и притаился, а милиционеры пробежали по 20 часов каждый без завтрака, обеда и ужина, остановились и подняли головы вверх. Один из милиционеров увидел жулика на березе, образовался и арестовал его, а два других вернулись в милицию грустные. Какой милиционер арестовал жулика? Сколько часов жулик просидел на березе? На каком расстоянии находились друг от друга два грустных милиционера когда они остановились и подняли головы?

9. Если на одну чашу весов посадить Дашу, которая весит 45 кг и Наташу, которая весит на 8 кг меньше, а другую насыпать 89 кг разных конфет, то сколько кг конфет придется съесть девочкам, чтобы весы стали в равновесии?

10. Петя задумал число и никому не сказал какое. Друзья поймали Петю и заставили прибавить к этому числу 5, а потом отнять 3. После чего они щелкали Петю по носу до тех пор, пока он не признался, что получилось 12. Узнай, какое число придумал и скрыл от своих друзей Петя?

11. Когда из кастрюли с компотом достали 16 брошенных туда Машей кубиков, в кастрюле осталось еще 7 кубиков. Сколько кубиков накидала в компот Маша?

12. Два червяка пообедали яблоком и решили на закуску съесть грушу. Эту грушу уже едят Коля и Толя. Какую часть груши будут делить 2 червяка, если Коля съест 2/7 груши, а Толя 6/14 ?

13. Петя ест невкусную макаронину длиной 60 км. В первый день он съел 1/5 всей макаронины, во второй - ¼ всей макаронины. Сколько он съел за 2 дня невкусной макаронины? Какую часть ему осталось съесть.

14. Кощей Бессмертный родился в 1123 году, а паспорт получил в 1936. Сколько лет прожил без паспорта?

15. Пушкин родился в 1799 году, а Лермонтов на 15 лет позже. Сколько лет было бы Пушкину и Лермонтову, если бы Дантес и Мартынов промазали в 1850 году?

16. Длина крышки парты 110 см, а ширина 50 см. Сколько пронзенных стрелами сердец вырезал на своей парте курносый Серега если известно, что он заполнил сердцами всю крышку парты. И каждое сердце поместил на отдельных 20 см².

Тема «Модуль», изучаемая в 6 классе является самой сложной и важной темой курса. Попробуйте преподнести в образах. Искусство поможет закрепить сложное понятие.

Демонстрируются репродукции фреска Леонардо да Винчи «Тайная вечеря», картина «Джоконда» и портрет самого Леонардо.

Во всем мне хочется дойти

До самой сути.

В работе, в поисках пути,

В сердечной смуте.

До сущности протекших дней,

До их причины,

До основанья, до корней,

До сердцевины.

Эти стихи Бориса Пастернака написаны через века после жизни Леонардо да Винчи. Но они заключают в себе суть методов, нормы жизни Леонардо. Его знают как химика, изобретателя водолазного костюма; он предвидел создание вертолета, понял принцип построения дамб. А также его знают как великого художника, автора «Джоконды», «Дамы с горностаем», «Тайной вечери».

Над фреской «Тайная вечеря» Леонардо работал долго. Особенно ему не удавались два образа - Иуды и Иисуса. Абсолют зла и абсолют добра. Позднее он решил, что абсолют зла завершен, но абсолют добра требует доработки.

В «Джоконде» логика познания вела его к абсолюту добра и зла в одном образе, ибо в чистом виде они не встречаются, каждый грешен в чем-то и по-своему. Этот абсолют почти (почти потому. что сам Леонардо полагал «Джоконду» не завершенной) удался. Теперь зло и добро не сидели за одним столом, а были объединены в единое. Велик и непостижим художник, создавший художественное уравнение со многими неизвестными. Более 500 лет удивляет и восхищает нас портрет.

Вы услышали слово абсолют. Что же оно обозначает? «Абсолют» - вершина достижения, предел возможности. В математике абсолют еще называют модулем и показывает он силу числа. Пусть положительная 7 - добрая, а отрицательная - злая. Что можно сказать об их силе. Кто сильней -7 или 2 и на сколько?

При изучении темы «Простые и составные числа», после знакомства с решетом Эратосфена для поиска простых чисел ребята часто задают вопрос: «А что, простыми являются только те числа, которые меньше тысячи?»

И тогда нужна такая информация:

Каким самым большим числом можно пользоваться при расчетах? Это число было придумано математиком Каспаром и названо гуголом. Гугол - это единица со ста нулями, то есть в нем сто одна цифра. Современная математика с числами, большими чем гугол, не оперирует, ведь даже электронов, протонов, нейтронов, позитронов во Вселенной в триллион раз меньше гугола. Но в 1983 году математики вторглись в запредельную, загугольную область, развернув в ней поиск простых чисел. Ведь известно, что мере возрастания числового ряда, они встречаются все реже. Например, в первой сотне их 25, а в шестой - только 14.

В 1982 году математику Первушину удалось отыскать самое большое по тем временам простое число. В нем 19 цифр.

2305843009213693951.

В течение многих лет оно было рекордным. И вот американские ученые, воспользовавшись быстродействующей вычислительной машиной нашли простое число, состоящие из 39751 цифры. В нем цифр больше, чем в гуголе в 394 раза. В сокращенной записи оно выглядит так:

2¹³²⁰⁴⁹-1.

Во время поиска машина производила 200 операций в секунду, а час работы ее стоил 7500 долларов. Как видите, поиск простых чисел обходится математикам не дешево.

«Все знают, что Пифагор был математиком, боксёром, но не всем известно, что он был ещё музыкантом. Он первый догадался о существовании природного звукоряда. Для доказательства этого предложения Пифагор построил полуинструмент - полуприбор: монохорд. Это был продолговатый ящик с натянутой поверх него струной. Под струной на верхней крышке ящика Пифагор начертил шкалу, чтобы удобнее было делить струну на части.

Много опытов было сделано и, в конце концов, Пифагор описал математически поведение звучащей струны. Так что Пифагор отец науки «Музыкальная акустика». Пифагор искал гармонию в музыке, суть её сводилась к тому, чтобы найти такие частоты наиболее естественные для человеческого уха в простых соотношениях. Это выразилось так :

Октава: 1

Герцы: 24 48 96 192 384

До ре фа си до

ми соль ля

Потом Пифагор ввел 5 дополнительных звуков : бемоли, диезы, послушал интервал. Оказалось, что квинта звучит красивее всех (её соотношение 3/2 ) и вывел формулу звукового ряда.

Имея частоту 1-ноты «до» - 384 герц поможем Пифагору вычислить частоты остальных звуков.

1 ²³⁴⁵⁶

соль ре ля ми си фа до

⁶⁵⁴³²¹

соль ре ля ми си фа

Можно предложить ребятам побывать на уроке математики 19 века. А может перенестись туда картина Н. П. Багданова-Бельского «Устный счёт».Ребятам предлагается сократить дробь устно, найдя способ быстрого решения.

Геометрический материал урока в 7 классе тоже можно связать с искусством. Например, при изучении темы «Прямая и обратная теоремы» можно предложить стихи - эпитафию на памятник

Здесь я покоюсь, Джимми Хогг,

Авось грехи простит мне Бог,

Как я бы сделал , будь я Бог,

А он покойный Джимми Хогг.

При изучении темы «Сумма углов треугольника»,ребят можно познакомить с работами в стиле оригами - искусством складывания листа. А потом доказать теорему о сумме углов треугольника с помощью перегибания листа.

Все знают, что развёрнутый угол 180.

Возьмем треугольник АВС, где АС -

основание, а В - противоположная вершина.

Согнём лист так, чтобы точка В стала принадлежать АС.

1. Согнём лист так, что точка А совпала с точкой В.

2. Согнём лист так, что точка С совпала с точкой В.

Все три угла соединились в один развёрнутый угол, а поскольку развёрнутый угол равен 180 , значит и сумма углов треугольника равна 180.

При изучении темы «Решение линейных уравнений» можно ознакомить учащихся с интересными фактами из жизни живой природы:

При исследовании разнообразных процессов инженеры часто прибегают к помощи моделей. Ведь любое явление, каким бы грандиозным оно ни было, в том или ином приближении можно выразить в математической форме. Остаётся подобрать такую модель, которая удовлетворяла бы данной зависимости.

Так вот, в Западной Африке ( Гана, Сьерра-Леоне, Берег Слоновой Кости) растет дерево, вся жизнь которого строго подчинена алгебраическому уравнению. Столь необычное свойство дерева отражено даже в его научном названии - Schumanniophyton problematicum (последнее слово переводится как «задачное»).

Это дерево принадлежит к семейству мареновых и достигает в высоту от 6 до 12 м. Количество его листьев можно подсчитать по формуле:

N = (Y* 12) + 4, где Y - возраст дерева в годах. Дело в том, что каждый год, пока дерево не достигнет своего максимального роста, оно выбрасывает по 4 ветки. Листья располагаются группами по 3 на каждой ветке. Следовательно, 4 ветки у каждого узла несут вместе 12 листьев. Цифра 4 в конце формулы прибавляется потому, что верхний побег дерева увенчан 4 листьями. На следующий год эти листья превратятся в 4 ветки, а верхний побег увенчают новые 4 листа. На схематическом рисунке изображено другое «живое уравнение» S. magnificum ( у реального дерева от каждого узла отходят не 2, а 4 ветки ). У него очень красивые большие листья. Листья S. problematicum вдвое меньше, зато само дерево бывает гораздо выше. Но главное не это- особенности роста обоих деревьев позволяют применить их в качестве моделей каких-либо процессов, протекающих по соответствующим формулам. Правда, пользоваться такими моделями вряд ли кто согласится- очень уж медленно они работают.

Можно предложить ребятам решить задачи в стихах:

Нам из Гомеля тётя

Ящик яблок прислала.

В этом ящике яблок

Было, вобщем, немало.

Начал яблоки эти

Спозаранку считать я.

Помогали мне сёсты,

Помогали мне братья.

И пока мы считали

Восемь раз отдыхали.

Восемь раз мы сидели

И по яблоку ели.

И осталось их столько

Что когда поглядели

То на дне его чистом

Только стружки белели.

Вот прошу угадать я

Всех ребят и девчонок

Сколько было нас братьев?

Сколько было сестрёнок?

Поделили мы яблоки

Все без остатка.

А всего то их было

Пятьдесят без десятка.

О Пифагор благородный,

Геликонских муз потомок!

На мой вопрос ответь:

«Математику не понимает.

А четвёртая часть на природе гуляет.

Сколько учеников твоих

В доме твоём живёт?

« Честно скажу, Поликрат,

Учеников моих половина

Ещё прибавь три женщины-лентяйки

И среди них моя любезная Теана

Вот и все они, мои лентяи,

А я им математику толкую!

Если Грушам дать по груше,

То одна в избытке груша,

Если дать по паре груш,

То не хватит пары груш.

Сколько Груш и сколько груш?

В тёплом хлеве у бабуси

Жили кролики и гуси.

Бабка странная была

Счёт животным так вела:

Выйдя утром за порог,

Сосчитает 300 ног.

А потом, без лишних слов,

Насчитает 100 голов.

Со спокойною душой

Идёт снова на покой.

Кто ответит поскорей

Сколько было там гусей?

Кто узнает из ребят

Сколько было там крольчат?

В алгебре 8 класса изучается тема «Действия с корнями», где происходит знакомство с числом π как пропорциональным числом, Для лучшего запоминания числа π, можно прочесть строки.

Гордый Рим трубил победу

Над твердыней Сиракуз,

Но трудами Архимеда

Много больше я горжусь.

Надо нынче нам заняться,

Оказать старинке честь:

Чтобы нам не ошибаться,

Чтоб окружность верно счесть,

Надо только постараться

И запомнить всё как есть

3, 14, 15, 92, и 6.

При изучении темы «Формула корней квадратных уравнений» на втором - третьем уроке можно предложить ребятам решить уравнение:

x²-x-1 = 0, корнем которого является золотая пропорция.

Золотое сечение являлось своего рода жемчужиной пифагорейского учения о числовой гармонии мира. Позже принципы золотого сечения ( целое так относится к общей части, как большая часть к малой) легли в основу композиционного построения многих произведений искусства, начиная с античности.

Вся древнегреческая культура развивалась под знаком золотой пропорции. Греки первые установили: пропорции хорошо сложенного человеческого тела подчиняются законам золотого сечения. Особенно хорошо это просматривается в примере античных статуй Апполона Бельведерского и Венеры Милосской. Фригийские гробницы в античный Парфенон, театр Дионисия в Афинах - все они исполнены гармонии золотой пропорции. В эпоху Ренессанса Леонарда да Винчи, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и другие специально компоновали свои полотна используя золотое сечение. Якоб Брехт широко использует этот принцип в музыке. Знатоки утверждают, что его музыка уподобляется «кафедральному собору, созданному гениальным архитектором». Сергей Эйзенштейн использует золотую пропорцию при монтаже своих кинокартин. А академик Царители находит её в поэме Шота Руставели «Витязь в тигровой шкуре».

Изучая тему «Функция У=Х²» переноситесь с В, Скоттом в средневековый замок, зайдите в темницу и посмотрите на цепи, прикованные к цепи, прикованные к стене. Попросите нарисовать ребят такую фигуру и спросите как построить её без ошибок?

Впервые задачу построения параболы предложил Галилей в 1638 г. в своей работе «Беседы о математических доказательствах». Но делал он это так же как мы: с помощью вбитых в стену двух гвоздей и провисающей цепочки, а через год это сделали сразу несколько математиков.

«Фотографии» параболы можно увидеть в архитектурных сооружениях безлесной Месопотамии. Именно здесь были изобретены арки. Отсюда распространялись они на восток ( Иран, Средняя Азия), на север(Кавказ), на запад(Сирия). В Сирии была разработана техника сооружения арок из клинчатых камней. Затем эту идею переняли финикийцы и римляне. Рим стал пользоваться аркой со ІІ в. До н.э.

Почему же арка заменила колоны? ( Демонстрируется гипостильный зал в Египте, своды Колизея, собор Парижской Богоматери и др).

Вот гипостильный зал. В нём много колонн, расположенных впритык друг к другу. За этими колоннами хорошо прятаться и нагонять страх, за ними теряется человеческая радость. А всё потому, что техника построек была примитивна: на 2 колонны наложили балку и т.д. Но архитектура сражается за пространство за свет, за место, где можно отдохнуть.

Арка имеет опоры и замок. Давайте поставим руки за локти и скрестим их в замок. Надавите подбородком на замок. Чувствуете? Всё давление идёт на опоры. Такая конструкция позволяет строить высокие здания, длинные мосты, и не надо бояться, что разрушиться потолок.

ПАРАБОЛА - прочная фигура. Сегодня мы учимся её строить.

Начиная изучать тему «КВАДРАТ» можно продемонстрировать «Чёрный квадрат» Малевича, написанный в 1913 году.

Удивительная вещь - самые простые изображения могут создавать настроения. Когда в 1915 году карта была выставлена, кто-то увидел в ней чёрную дыру, кто-то бездонную криницу, а кто-то не увидел ничего. Своим критикам Малевич писал: «Всегда требуют, чтобы искусство было понятым, но никогда не требуют применять свою голову к пониманию».

В течение урока можно также показать оптическую иллюзию с квадратом, можно задать вопрос : « А какой квадрат бывает круглым?» (ринг). Можно прочитать стихотворение:

На глади грифельной доски

Расчерченной в квадраты

Ведём сраженья я и ты-

Бывалые солдаты.

Не нужно нам владеть клинком,

Не нужно славы громкой,

Тот побеждает, кто знаком

С искусством мысли тонкой.

В этом стихотворении «зашифровано» название любимой игры Тома Сойера. Что это за игра? (крестики-нолики)

Тема « Теорема Пифагора»- узловая тема курса школьной геометрии. Поэтому задача учителя так преподнести материал, чтобы он прочно вошёл в оперативную память ребёнка. Думается, что данный материал поможет в этом.

ПИФАГОР

Грек знаменитый Пифагор

Учёный был бедовый

Решил он сшить штаны на спор

Без помощи портного

Кроил он долго ,измерял,

Пока не стало ясно,

Как для пошива матерьял

не тратить понапрасну .

Вдруг на чертёж он бросил взор

И, поразмыслив немо,

Ух, ты - воскликнул Пифагор,-

Да это ж теорема!

Возможно с помощью портных

Штаны он сшил бы лучше,

Но Пифагоровы штаны

С тех пор мы в школе учим.

И нынче всякий вам готов

Поведать увлечённо,

Как открывают без штанов

Научные законы.

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает слабый человек

И ныне теорема Пифагора

Верна, как и в далёкий век.

Обильно было жертвоприношение

Богам от Пифагора: 100 быков

Он отдал на закланье и сожженье

За света луч, сошедший с облаков

Поэтому всегда с тех самых пор

Чуть истина рождается на свет-

Быки ревут, её почуя, вслед.

Они не в силах свету помешать.

А могут лишь, закрыв глаза, дрожать

От страха, что вселил в них Пифагор.

А ещё теорему Пифагора называли теоремой невесты. Чертёж напомнит почему это так. По - гречески « невеста» означает «нимфа».

При изучении темы « Теорема Фалеса» помимо биографии учёного можно коснуться его философских мировоззрений. Его взгляды остались потомкам в виде крылатых выражений:

• Где порука - там беда.

• Помни о присутствующих и отсутствующих друзьях.

• Не красуйся наружностью, а будь прекрасен делами.

• Не обогащайся нечестным путём.

• Пусть молва не ссорит тебя с теми, кто пользуется твоим доверием.

• Не стесняйся льстить родителям.

• Не перенимай от отца дурного.

• Какие услуги окажешь родителям, такие и сам ожидай в старости от детей.

• Что трудно? Познать самого себя

• Что самое приятное? Достичь желаемого

• Что утомительно? Праздность

• Что невыносимо? Невоспитанность

• Что вредно? Невоздержанность.

• Учись и учи лучшему

• Не будь праздным, даже если ты богат

• Плохое прячь в доме

• Лучше вызывать зависть, чем жалость

• Блюди меру

• Не верь всем подряд

• Находясь у власти, управляй самим собой.

Изучение темы «ДВИЖЕНИЕ» можно начать со стиха А.С. Пушкина

Движенья нет, сказал мудрец брадатый,

Другой смолчал и стал пред ним ходить.

Сильнее он не смог бы возразить.

Хвалили все ответ замысловатый.

Но, господа, забавный случай сей

Другой пример на память мне приводит

Ведь каждый день пред нами солнце ходит,

Однако ж право упрямый Галилей!

Быть может, А. С. Пушкин был знаком с апориями (парадоксами) Зенона, философа, жившего 2500 лет назад. Вот одна из них: «Пусть летит стрела. В какой-то момент времени она находится в какой-то точке, то она не летит. Вывод: движенья нет!

Где противоречие?

На уроке по теме «ВЕКТОРЫ» можно создать галерею. Девочки принесут украинские орнаменты, вышивки, ребята - фотографии с орнаментом на камне.

Всем знакомо слово «движение». Двигаются люди, деревья, двигаются времена года, человек рисует картину, им движет чувство. А пример перехода из одной геометрической формы в другую - тоже движение: карта переходит в глобус и наоборот.

Но есть особый вид перемещений, сохраняющий расстояние. В искусстве это иллюстрируется орнаментом. Само слово «орнамент» в переводе с латинского обозначает «украшение». Узор и орнамент не одно и тоже. Узор может создавать природа (морозные картинки на стёклах), орнамент это узор, состоящий из ритмически упорядоченных элементов с соблюдением строгой закономерности. Каждая историческая эпоха оставляет свой отпечаток на развитии орнамента. Сначала он был геометрическим, потом растительным ( у северных народов хвоя, шишки, олени; у южных - калина). Украину отличают орнаменты - составленные из различных растений, ими вышивали сорочки, рушники, салфетки, скатерти. Повторяющая часть орнамента называется раппорт. Раппорт перемещается в одном и том же направлении, на одно и тоже расстояние один и тот же крестик. С точки зрения математики такое движение называется вектором.

Образ нулевого вектора прекрасно изобразил Б. Заходер.

Жил на свете Джонни

Знаете его?

Не было у Джонни ровно ничего!

Нечего покушать

Нечего надеть

Не к чему стремиться,

Не о чём жалеть,

Нечего бояться,

Нечего терять…

Весело живётся,

Нечего сказать.

Изучая тему «СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ» можно прочесть стихотворение С.Маршака

Три мудреца в одном тазу

Пустились по морю в грозу.

Будь прочнее старый таз,

Длиннее был бы мой рассказ.

Тема «ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ» - самая красивая. Класс превращается в цветущий сад из фотографий цветов, бабочек, жуков. Тут же снежинки, листья, фотографии Московского университета, индийских пагод, парковой культуры.

Звучит музыка «Вальс цветов» Чайковского.

Посмотрите на эту красоту, представьте себе цветущее поле, и вы идёте по нему или гуляете вот по этому парку. Видите, летит жук. Как он красив, какие правильные у него формы. Одна половинка полностью повторяет узор другой. Всё это признаки симметрии. Симметрия играет большую роль в науке, технике, искусстве. Перед вами архитектурные композиции. Ваша задача - найти ось симметрии, то есть линию относительно которой всё повторяется.

Вы знаете, осевая симметрия вошла даже в легенды. Вот легенда о Ходже Насреддине.

Однажды он был гидом у одного чужеземца, который рассматривал архитектурные сооружения Бухары. Заинтересовавшись минаретом, чужеземец спросил:

- «Как вы строите такие высокие здания?

- Очень просто - ответил Ходжа - сначала роем глубокий колодец, а потом его выворачивает на изнанку.»

А всегда ли хороша симметрия?

Перед вами лжеобвертки из шоколада с изображением трёх богатырей и натуральные обвёртки. На одной витязь смотрит вправо, на другой влево. Интересно, как бы отнёсся к этому Васнецов?

И ещё один вид движения «ПОВОРОТ».

Послушайте вальс Свиридова «Метель». Слышите? Кружат снежинки. Вот одна упала на руку, вот вторая и ещё и ещё. Нет ни одной похожей. Выберем 2. Видите, их концы образуют окружность. И каждый выступ повёрнут на одну и туже градусную мере.

Построим окружность. Разделим её на 6 частей, соединим точки с центром. Нарисуем в одной части фрагмент снежинки и переместим его по или против

часовой стрелки. Обведём контуры. Получилась снежинка. Как же можно построить образ точки при повороте… В конце темы можно прочесть стихотворение Х.Рунеля «Созидание».Заставить двигаться точку - возникнет прямая. Будешь двигать прямую - получиться плоскость.

Если двигать плоскость - получишь пространство.

Двинешь с места пространство - получится Время.

Жизнь вперёд подтолкни, смерть пихни, Дух испробуй!

Дух в смятенье придет - и вспыхнет мятеж.

А начало всему - точка лишь да прямая.

Тема «ПОДОБИЕ» может начаться с демонстрации слайдов с видами Южной Америки, джунгли, горные плато, рисунки пустыни Наска.

Начало ХХ века. Пустыня Наска. Пилоты прокладывают авиалинии с высоты 2,5 км. Под определённым углом зрения пилоту стали видны геометрические фигуры - стрела, спирали, животные колоссальных размеров, птицы 100м, клюв, 40м хвост, размах крыльев - 90 м, клюв зачем то упирается в прямые линии, протянутые на 1700 метров. Что это? Зверинец гигантов? Плато инопланетян?

Учёные склонны считать, что это гигантский календарь. Зная секрет линий, индейские звездочёты могли определить любой день года, посев, орошений, уборку. Этим рисункам более 1500 лет. Но как эти рисунки были выполнены? Учёные думают, что техника исполнения проста. Сначала рисовали маленький рисунок (не более 5 метров ), затем вбивали крылышки и натягивали нити из всех выступающих точек. Рисунок увеличивали по количеству шагов. Получался рисунок, подобный маленькому. Так и сейчас увеличивают фигуры. Это построение носит название ПОДОБИЯ.

При изучении темы «МНОГОУГОЛЬНИКИ» могут быть использованы названия по архитектуре, дизайну. Демонстрируется репродукции паркетных полов Зимнего дворца, Лувра и других парковых ассамблей.

Геометрия - посредник между природой и архитектурой. Она решает извечные задачи: как раскрыть секрет гармонического содержания красоты и целесообразности природной формы? Как охарактеризовать её рационально?

Всем известна прямая в математике. Но где она встречается в жизни? Шар - самая компактная форма, но где она встречается в природе? В чём же тогда рациональность формы скелета морского ежа, пчелиных сот, раковин моллюсков?

Проведём эксперимент. Разместим на горизонтальной поверхности несколько одинаковых по размеру шариков из пластилина или пенопласта так, чтобы она соприкасались между собой. Накроем их прозрачной пластиной и прижмём её. Деформируясь, шарики приобретают форму пчелиных сот или правильных шестиугольников. Оказывается , что природа мыслит так же, как архитекторы, дизайнеры (или наоборот)

На снимках паркетных залов вы видите, как тщательно выложен узор, как рационально использована плоскость. А видите, что использованы лишь квадраты и шестиугольники.

Прежде чем создать такую красоту, архитекторы и дизайнеры изучают свойства таких фигур, названных обобщенно - многоугольниками. Начнём и мы изучение этих свойств. На дом ребята получают задания - закрасить «паркет», состоящий из квадратов и шестиугольников.

Изучение темы «Арифметическая прогрессия» можно начать с демонстрации фотографии театра Дионисия - амфитеатра (двойного театра). Греки строили его на естественных склонах, римляне - на ровном месте и поэтому многоярусные. Места в театре строились по принципу: в каждой следующем ряду мест больше или в предыдущем на одно и то же число. Сколько мест и человек в последнем ряду мог вместить театр Дионисия, если в первом ряду мест 20 ,а в каждом следующем на 10 больше. А рядов 40.

В 10 классе при изучении темы «Основные понятия стереометрии» неплохо было бы на первом уроке поговорить о понятии бесконечность.

«Мир электрона»

Быть может, эти электроны

Миры, где пять материков,

Искусства, знанья, войны, троны,

И тайны сорока веков!

Еще, быть может, каждый атом -

Вселенная, где сто планет:

Там все, что здесь,

В объеме сжатом,

Но, так же те, чего здесь нет.

Их меры малы, но всё та же

Их бесконечность, как и здесь,

Там скорбь и страсть

Как здесь, и даже

Там та же мировая спесь

Их мудрецы, свой мир бескрайний

Поставив центром бытия,

Спешат проникнуть в искры тайны

И умствуют, как ныне я;

А в тот же миг, когда из разрушенья,

Творятся токи новы сил,

Кричат, в мечтах самовнушенья,

Что Бог свой светоч загасил.

В.Брюсов.1922 г.

Бездонный ночной небосвод и неумолкающий шум прибоя обычно

мимо воли заставляют задуматься о бесконечности. Бесконечность пространства и бесконечность времени. Бесконечность, впрочем, не столько привлекает, сколько пугает. Право, мороз по коже, когда пытаешься представить её наглядно.

Само слово «бесконечность» говорит, казалось бы, о том, что это нечто, не имеющее ни начала, ни конца. Бесконечна плоскость, бесконечна прямая, бесконечно пространство. А может ли считаться бесконечным отрезок длиной в 1 см? Оказывается, с точки зрения математики , что это возможно, главное, чем измерять. Представим, что атомами, электронами, протонами.

А если время измерять: сегодня, завтра, вчера, сейчас, сию минуту, сию секунду. Самые важные события меркнут и становятся историей. А когда? Когда наступает история? И мы наблюдаем события «из вне», из бесконечности шагов. «Большое видится на расстоянии, лицом к лицу - лица не увидать». Вся мелочь уходит, остаётся главное событие, которое и называется историей. Но что бы оценить, нужно удалится от него бесконечно далеко на бесконечность мигов. У каждого эти миги свои. Мир един, различные только точки зрения на него.

Как почувствовать бесконечность в домашней обстановке? Раньше помогало гадание. Ставили на один стол зеркало, на второй другое, посредине девица, зажженные свечи. Вглядывается девица в одно зеркало, долго, минут 15 а видит другое. За это время человек перестаёт понимать, где он сам, а где его отражение. Понять бесконечность помогают гравюры Эйлера. Понятие бесконечности субъективно, оно возникает у больных людей. Вспомните бред князя Болконского. Козьма Прутков оставил по этому поводу притчу о французском философе Декарте: «Однажды, когда ночь покрыла небеса невидимой епанчою, Декарт сидел и смотрел на горизонт. Некий прохожий подступил к нему с вопросом: «Скажи, о мудрец, много звезд на небе сём?». «Мерзавец! - ответил Декарт, - никто необъятного объять не может!» Сии, с превеликим огнем, сказанные слова возымели на прохожего желаемое действие.

Мы с вами живем в трехмерном мире. Пусть его номер N. И пусть он лишь кирпичик для мира с порядковым номером N+1, а для нас кирпичики - меры с порядковым номером N-1 мира есть Солнце, звезды и те, кто в это время рассуждает о бесконечности?

В математике бесконечность изучает наука топология.

В эпоху ренессанса стали применять в архитектуре приём, зародившейся ещё в архитектуре Древнего Рима. Стена трактовалась как плоскость , на которой можно изображать желаемое (хоть и не связанные структурой задания) архитектурные композиции. Художники изображали в качестве фона изображаемую среду. Зодчие называли этот приём комнатным рельефом.

В житті - не просто. Як не просто все -

прямі кути, трикутники, квадрати,

Де кожен щось та у собі несе.

І кожен мусить щось - таки тримати.

Це не абстрактний вимір - площина -

У неї є свої одвічні межі,

За неї починалася війна,

На ній здіймались до небес пожежі...

М. Фоменко

А при обработке знаний по теме «Аксиомы стереометрии» можно предложить ребятам задачу с опорой на репродукции скульптуры Петра I в Петербурге.

Вы никогда не задумывались, почему устойчив памятник Петру I «Медный всадник»? Глыба для памятника была привезена из Карельского перешейка. Её нашел крестьянин Семён Вишняков в п. Лехта. До обработки её вес составлял 100 тысяч пудов. Скульптор Фальконе создал Петра и коня, а его ученица Мария Калло вылепила голову, змею же создал русский скульптор Гордеев. По замыслу Фальконе вся шестиметровая фигура должна держаться на трёх точках: две ноги и хвост, опирающийся на змею.

А при изучении темы « Параллельность в пространстве» урок неплохо было бы оживить стихом А. Вертинского:

Дві паралельні прямі.

Холод за вікнами. Бути зимі...

Вчитель - про дві паралельні прямі,

Мовить і руки посиніли...

На чорній дошці - дві лінії білі.

Які ніде, ніде не зійдуться.

Які ніколи не перетнуться.

"Невже це правда? Невже ніде?"

Думка ніяк з голови не йде.

"Невже це правда? Невже ніколи?"

Думаю я по дорозі зі школи...

Далеко учнівські мої кілометри,

А в пам'яті досі урок геометрії.

Ніби живі проростають в умі

Дві паралельні прямі.

Бачу: у просторі пішла пара ліній

Ні, то не пара: нічим не спільні,

Йдуть і мовчать вони, просто німі

Дві паралельні прямі.

Йдуть вони обіч, йдуть вони опліч, -

Вік не зове одна одну на поміч.

Ніби прокляття лягло між ними.

Бути так близько і бути чужими.

Серце стискається: "Ех ти, пряма, -

Кожна самотня і кожна німа!"

Бачу в найвищому просвітлінні:

Падають ваші три виміри. Лінії

Падають ваші сцени і сте6лі,

І відкриваються доли веселі.

Три виміри!

Ми з вами - квити

В кепські пророки, евкліди.

Киньмо зневіру й іронію.

Бачу найвищу гармонію.

Бачу: зустрілись, живі не німі

Дві паралельні прямі.

Бачу: проміняються в серці, умі

Дві паралельні прямі.

Или стихотворение Е.Винокура.

Как был уютен мир Эвклида!

Как был он ясен, прост и мал.!

Чертил учитель деловито

Фигуры,

палец поднимал…

Но истина в другом:

мильоны

Мильонов светолет!

Сложны

И перепутаны законы,

И все понятья смещены.

Всё в мире можно , всё обелим!

Я ж верю, пусть идут года:

На этом свете паралелям

Не пересечься никогда.

При изучении теми «Декартовые координаты в пространстве» следует напомнить учащимся основные формулы на плоскости и дать информацию, заранее подготовленным учащимся.

Геометрические особенности образований живой природы давно привлекали внимание исследователей. Ещё древние греки обратили внимание на совпадение форм некоторых кривых с формами растений. В средние века интерес к изучению кривых исчезает, но в XII в. возрождается. Это связано с открытием метода координат Рене Декарта. Математики просто получили новый математический аппарат для изучения кривых. Сам Декарт исследовал кривую, получившую название «лепесток жасмина ». Его уравнение: Х³ +У³=3аУХ

Сейчас её называют декартов лист. А в ХIII веке итальянский геометр г. Гранди попытался выразить очертания цветов. В математике семейство этих кривых называют «розы», хотя они их не напоминают. Их уравнение ρ = asin ky. А вот немецкий математик Хабенихт нашел формулу трилистника ρ=4х(1+cos3φ + sin ²3φ), сирени ρ=5+2cosφ + 3cos⁴φ.

Груши -=32 +8 sin=9,4 sin³.

При изучении темы «Сфера» ребятам будет интересно узнать, что: Сфера, полусфера, шар давно вошли в жизнь людей. Ещё в III в. до н . э . в Индии с принятием буддизма в качестве официальной религии, одним из культовых сооружений была так называемая ступа - каменное сооружение в виде сферического купола, но без внутреннего пространства, т. е. сплошное. Наверху устанавливалась небольшая надстройка для хранения реликвий буддийского культа. Позднее этот мотив можно было встретить в культовых сооружениях от Алтая до Карпат. Поскольку верх сферической поверхности подвергался разрушающему воздействию атмосферных осадков, на нём стали сооружать остроконечные завершения. Кстати, таков же был процесс образования шлемовидных глав русских церквей.

В конце 50 - х годов москвичи познакомились с необычным на вид сооружением - огромным, пролётом в 60 метров, ажурным куполом. Его для своей национальной выставки построили американцы. Но саму идею формирования таких конструкций выдвинул профессор Московского архитектурного института. М. С. Туполева. Позднее доцент Горьковского инженерно-строительного института Г.Н. Павлов разработал её. И первые такие сооружения были возведены в Арзебайджане. Они получили название - «Баку-I». Сейчас купола используют под павильоны, торговые залы, рестораны, склады.

Сечением шара является круг, сферы - окружность. Кругу приписывали мистические свойства: Хома Брут чертил круг, спасаясь от панночки, за руки в круг берутся участники игры «Брей ринг» для перераспределения энергии между всеми участниками игры, в кругу танцуют свои ритуальные танцы все народы Земли.

А вот при изображении окружность превращается в эллипс. Очень интересно так называемое оптическое свойство эллипса. Луч, выходящий из одного фокуса после преломления попадает в другой его фокус. Это свойство объясняет феномен некоторых пещер, имеющих эллипсообразные своды, где слова, сказанные в одной точке, необычно, отчетливо слышны на значительном расстоянии от первой. Эффект фокусирования звука сводчатым эллиптическим потолком был известен архитекторам ещё XVII веке .

А вот в реальной жизни шар и сфера практически не встречаются. Почему? Ведь это самые оптимальные формы? Оказывается, что природа берёт производные этих форм: глубоководные животные часто имеют шарообразные формы - это помогает им уравновесить давление воды. Производная от шара и сферы в природе называются биоформой. Возьмите воздушный шарик, наполните его водой и положите на твердую поверхность. Получится фигура, похожая на морского ежа. А если взять несколько шариков, заполнить их водой, а затем придавить сверху прозрачным стеклом, то мы увидим картину, напоминающую соты.

При изучении темы «Пирамида» ребятам предлагается музыкальная заставка к уроку «Гимн солнцу», на его фоне читаются стихи Д. Кедрина «Пирамида»:

Когда болезнь, как мускусная крыса,

Что заползает ночью в камелёк,

Изъела грудь и чрево Сезостриса,

Царь понял:

День кончины недалёк!

Он продал дочь,

Каменотёсам выдал запасы меди, леса, янтаря,

Чтоб те ему сложили пирамиду -

Жильё, во всём достойное царя.

Днём раскаляясь, ночью холодея

Лежал Мемфис на ложе из парчи.

И сотни тысяч пленных иудеев

Тесали плиты,

Клали кирпичи.

Они пришли покорные, без жалоб,

В шатрах верблюжьих жили

Как пришлось;

У огнеглазых иудеек на лоб

Спадали кольца смоляных волос…

Оторваны от прялки и орла,

Палимы солнцем, брошены во тьму, -

Рабы царя, -

Их сотни умирало,

Чтоб возвести могилу одному!

И вырос конус царственной гробницы

Сперва на четверть, а потом на треть

И глядя в даль, сквозь длинные ресницы,

Ждал Сезостир -

И медлил умереть.

Когда ушли от гроба 40 тыс.

Врубив орнамент на последний фриз

Велел писцам слова гордыни высечь

Резцом из меди чванный Сезостриз:

« Я - древний царь,

воздвигнув камни эти,

сказал покрыть словами их бока,

чтоб тьмы людей,

живущих на сем свете,

хвалили труд мой

долгие века!»

Вчерашний мир раздвинул скитальцы,

Упали царства, встали города.

Текли столетья, как песок сквозь пальцы,

Как сквозь ведро дырявое вода.

Проникли сфинксы каменными лбами,

Кружат орлы, в пустыне зной и тишь.

А время надпись выгрызало зубами,

Как ломтик сыра выгрызает мышь.

Слова, что были выбиты, как проба,

Давно молчат о царственных делах,

А прах царя, украденный из гроба,

В своей печи убогий сжег феллах.

И мир, пугая каменным величьем,

Среди сухих известняковых груд

Стоит побелена помётом птичьим,

Его гробница - безымянный труд.

А путник, ищущий воды и тени,

Лицо от солнца шлемом заслоняя

Перед ней в песке сыпучем по колени,

Осадит вдруг поджарого коня.

И скажет:

- Царь, забыты в сонме прочих

твои дела и помыслы твои,

но вечен труд

твоих безвестных зодчих,

трудолюбивых, словно муравьи.

Существует поговорка: «Все боится времени, а время боится пирамид». Что же это за фигура, которой так поклонялись древние и так восхищаемся мы?

У пирамиды, как ни у одной из геометрических фигур, множество тайн:

- случайно забрёдшие в пирамиду животные, не найдя выхода, не разлагаются, а превращаются в мумии;

- растворимый кофе, побывав в пирамиде приобретает вкус натурального;

- дешевые сигареты «облагораживаются настолько, что их не отличишь по вкусу от самых изысканных;

- продукты не портятся, а мумифицируются;

- вода не зацветает и не заражается микробами, а загрязненная очищается;

- сыр не плесневеет, молоко долго не киснет;

- цветы без воды могут сохраняться живыми 32 дня;

- старые ювелирные изделия сами собой очищаются;

- если мыть голову водой, постоявшей под пирамидой, то с волос уходит седины.

Сама пирамида благодатный материал для геометра. Высота пирамиды Хеопса 146,59 м., длина основания - 230,35, угол наклона стен - 51⁰52^|. А когда венгерские ученые захотели построить такую же пирамиду, то оказалось, что строится пирамида c высотой в два раза меньшей, причем причина так и не была раскрыта.

У пирамиды много тайн. Стены внутри расписаны фресками, а следов копоти от светильников нигде нет. Когда сфотографировали пирамиду из космоса в инфракрасных лучах, в надежде найти какой-либо новый ход, то на снимке увидели внутри контуров пирамиды что-то напоминающее спираль.

Ступенчатая пирамида называется зиккурат. Это характерный мотив в архитектуре Месопотамии. Выкладывался зиккурат из сырцовых кирпичей и облицовывался обожженным кирпичом, на битуме. Ступенчатая пирамида в Вавилоне - прославленная Вавилонская башня, из-за строительства которой народы мира говорят на разных языках. Возведена она была во II тыс. до н. э. Этот зиккурат имеет основание квадратное со сторонами около 90 м и такой же высотой. Общая высота её - высота 30-этажного небоскрёба. Она восьми ярусная.

Каждый ярус окрашен в другой цвет. На самом верху находилось святилище, которое считалось местом обитания бога - покровителя города.

Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создавать свои шедевры. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса - немой трактат по геометрии, а греческая архитектура - внешнее выражение геометрии Евклида.

Сейчас появились новые, современные материалы. И конструкции архитекторов стали другими. И сегодня строят пирамиды! Например, музей современного искусства в Каракасе (Венесуэла). Он построен по проекту бразильского архитектора Оскара Ниймера. Но! В виде огромной опрокинутой пирамиды из стекла и бетона.

А при изучении темы «Призма» ребятам будет интересно узнать, что путём долгого и кропотливого скрещения китайским учёным удалось вырастить дерево, ствол которого имеет форму параллелепипеда. На экспериментальном участке уже растут 120 этих удивительных растений. Их высота3-5 метров. Если перерубить ствол такого дерева, то получается ровная балка длиной грани около 10 см. Преимущества четырёхгранного дерева очевидны. Такие стволы легче транспортировать, из них удобнее делать доски, а при прокладке железнодорожных путей - они уже готовый материал для изготовления шпал.

О логарифмической функции можно говорить много. Думается, что этот материал поможет при подготовке к семинару по теме.

Логарифмы и литература:

В книге М.Е. Салтыкова-Щедрина встречаем: «Седьмой час вечера. Порфирий Владимирович успел выспаться после обеда и сидит у себя в кабинете, исписывая цифрами, выкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос: сколько было бы у него теперь денег, если б маменька Арина Петровна, подаренные ему при рождении дедушкой Петром Ивановичем «на зубок» 100 рублей, ассигнациями не присвоила себе, а положила бы вкладом в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей ассигнациями.

- Положим, что капитал и небольшой, - праздно мыслит Иудушка, а всё-таки хорошо. Когда знаешь, что про чёрный день есть. Понадобилось и взял. Ни у кого не попросил, никому не кланялся - сам взял своё кровное, дедушкой подаренное! Ах, маменька, маменька! И как это Вы, друг мой, так, очертя голову, действовали!»

В романе нет никакого указания на возраст героев в это время. Предположим, что Порфирию 50 лет. Давайте установим, сколько процентов годовых платил ломбард в то время. Итак, начальная сумма - 100 рублей. Ежегодно вклад увеличивался на q раз:

Всего членов прогрессии - 51, первый - 100, пятьдесят первый - 800

Если предположить, что вычисления Головлева верны, то ломбард брал в заклад деньги из расчёта - 4,2% годовых.

Логарифмы и психология.

Вы любите смотреть на звёзды? Тогда вы можете сказать, что звёзды бывают разной величины и интенсивности свечения. Но если величину можно выстроить в арифметический ряд, то свечение представляет геометрическую прогрессию со знаменателем 2, 5, т.е. величина звезды представляет логарифм её физической яркости. Звезда третьей величины ярче звезды первой величины.

2,5 раза, т.е. в 6,25 раза. Короче говоря, оценивая видимую яркость звезды, астроном оперирует таблицей логарифмов, составленной при основании 2,5. Человек слышит, (единицей громкости является бел и его десятая часть децибел), тихий шелест - 1 бел, громкая разговорная речь - 6,5 бела, рычание льва - 8,7 бела, звук удара молотом в цеху -11 бел. Ниагарский водопад - 19 бел. Таким образом, разговорная речь по силе звука превышает шелест листьев в 10^6.5-1 = 316000 раз. Ухо человека логарифмирует звуки. В психологии этот закон носит название сихофизический закон Фехнера» и гласит: величина ощущения пропорциональна логарифму величины раздражения. Этот закон используется архитекторами при планировании звукоизоляции стен. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется в соответствии с формулой., где р₀ - давление звука до поглощения, р- давление звука, прошедшего через стену, А - некоторая постоянная, которая в расчётах принимается равной 20 децибел. Если коэффициентом звукоизоляции D=20 дб, то это означает, что, т.е. стена снижает давление звука в 10 раз (такую звукоизоляцию имеет деревянная дверь).

Логарифмы и музыка

Физик Эйхевальд писал: «Товарищ мой по гимназии любил играть на рояле, но не любил математики. Он даже с пренебрежением говорил, что музыка и математика не имеют друг с другом ничего общего». Впервые зависимость между звуками нашёл Пифагор, но, как известно, Пифагорова гамма для современной музыки оказалась неприменима. Послушайте хроматическую гамму. Правда, вам и в голову не пришло, что вы играете на логарифмах? Положим, что «до» самой низкой октавы определено и колебаниями в секунду. Тогда, «до» самой низкой октавы определено и колебаниями в секунду. Тогда «до» первой октавы делает

2n колебаний, второй- 2²n, третьей 2³ n, четвёртой- 2⁴ n, пятой - 2⁵ n… эммой - 2^m n . обозначим все ноты хроматической гаммы рояля номерами:

Тогда каждый тон нулевой гаммы имеет больше число колебаний, чем предыдущий. Тогда число колебаний любого тона можно выразить формулой . Прологарифмируем по основанию 2.

Предположим, что логарифм 2 равен 1, тогда, клавиши - это логарифмы колебаний, составляющих звуков. Номер октавы - характеристика, а номер звука - логарифма. Английский математик Д. Сильвестр писал: «Музыка - математика чувств, а математика - музыка разума».

Но не только игра на рояле связана с логарифмами. Всем известны колокольчики - одни из древнейших предметов материальной культуры. Когда и как они появились на древней Руси, никому не известно. Но их изображения встречаются на миниатюрах 16 века. Валдайские колокольчики- спутники А.С. Пушкина в дороге. Первые колокола были качающиеся, но позже, к концу 17 века они достигли гигантского веса, и их пришлось делать неподвижными, оставив движущейся частью только язык. Колокола играли большую роль в общественной жизни и народной культуры. Существовал обычай, по которому в течении пасхальной недели доступ на колокольню был открыт каждому, и звонили люди в надежде избавиться от недугов и проклятий, а поскольку каждый выразил свои мысли и чувства по-своему, но это способствовало возникновению новых попевок. Богатство и выразительность звона зависит не только от звонарей, но и от таланта литейщиков. В историю вошли многие мастера колокольного дела: Андрей Чехов, Иван и Михаил Моторины, Емельян Данилов. Как добиться, чтобы колокола звонили по-разному? Как удавалось мастерам прошлого, не владея математикой, рассчитывать форму колокола так точно, что он издавал звук желаемой высоты и тембра?

Оказалось, что профиль колоколов с высокой точностью акпросимилируют с логарифмической спиралью, а в основе колокольной формы лежит равнобедренный треугольник сторонами, находящимися в пропорции золотого сечения. За основу единицы построения принимается модуль, связывающий в жёсткую систему пропорции, все размеры колокола к величине равной толщине его стенки в его ударной части. Эта система пропорций, основанная на свойствах логарифмической спирали равнобедренного треугольника, определяет тембровые акустические характеристики звучания колокола. Поэтому одинаковые пропорции означают одинаковую картину звучания, независимо от абсолютных размеров и позволяет определить вес колоколов, составляющих заданные музыкальные интервалы.

Логарифмы и живопись.

Посмотрите на картину Рафаэля «Избиение младенцев». Видите, все фигуры расположены по ходу логарифмической спирали. Не знаю, рисовал ли её прежде Рафаэль, но то, что гравер Раймонд её увидел, когда завершил эскиз художника - это точно. Он ещё больше усилил динамизм фигур и сюжета, добавив новые элементы композиции, подчёркивающие разворот спирали. «Золотая спираль» - это логарифмическая спираль в полярных координатах. Впервые её описал Пьер Вариньон, а Якоб Бернули был поражён её свойствами настолько, что предавал им мистический смысл и завещал, чтобы на его надгробье изобразили эту спираль и написали «Eatem mutate resurgo» - «Преобразованная, возрождаюсь вновь».

Логарифмы и язык:

Оказывается, что количество информации измеряется логарифмической функцией. В нашем языке 32 буквы. Количество информации, падающее на одну букву равно. Однако, это возможно при условии, что все буквы имеют одинаковую языковую нагрузку. Ученые посчитали, что буква «О» встречается с частотой 90 раз на 100 слов. «Щ» - 3 раза. Таким образом, вероятность того, что буква «О» попадёт в слова в 30 раз выше вероятности встречи буквы «Щ».

В произведении Л.Н. Толстого «Анна Каренина» Ливин и Кити вели переписку с помощью только первых букв в словах и понимали друг друга! Это потому, что по существующей закономерности небольшую информацию несут первые буквы слова, а в длинных словах - первые и последние. Не верите? Тогда читайте, только быстро:

« По реузальттам илссеовадний одонго анлигйсокго унвиертисета, не иеемт занчнеия, в кокам пряокде рсапожолена бкувы в солве. Галвоне, чотбы преавя и пслоендяя бквуы блыи на мсете . Осатьлыне бкувы мгоут селдовтаь в плоонм беспордяке, все-рвано ткест чтаитсея без побрелм. Пичрионй эгото ялвятеся то, что мы не чиатем кдаужю бкуву по отдльенотси, а все солво цликеом».

Основываясь на этом, придумали правила сокращения слов.

Логарифмы на эстраде:

Представьте, что к нам приехал цирк, и кричащие объявления радио и печати сообщают: « Внимание! Внимание! Только раз и только для Вас! Счётчик- виртуоз будет извлекать в уме корни всевозможных степеней из многозначных чисел! Готовьте свои вопросы!»

Вы приготовили дома путём терпеливых выкладок 31 степень какого- либо числа и говорите в надлежащий момент: «Попробуйте извлечь корень 31 степени из 35-значного числа. Запишите, я продиктую!» А виртуоз, прежде чем вы успели открыть рот, уже пишет результат: 13! Вы уничтожены, изумлены!!! Как? Оказывается, всё просто, если у вас есть память на числа. Нужно помнить наизусть двузначные десятичные логарифмы для 15-20 чисел. А, зная логарифмы 2, 3, 7 - уже знаете логарифмы первого десятка. В остальном вам помогут эти выкладки:

Число Логарифм Число Логарифм

2 0,3 11 1,004

3 0,048 12 1,008

4 0,60 13 1,11

5 0,7 14 1,15

6 0,78 15 1,18

7 0,85 16 1,20

8 0,9 17 1,23

9 0,95 18 1,26

10 1 19 1,28

Логарифмы и биология:

Раковины моллюсков могут расти лишь в одном направлении, чтобы не слишком вытягиваться в длину, им приходится скручиваться, причем, рост совершается так, что сохраняется подобие раковины её первоначальной формой. А такой рост может совершаться только по логарифмической спирали. Семечки в подсолнухе, рога архара закручены по логарифмической спирали.

При построении графиков у = sin x, y = cos x учащимся полезно будет узнать как построить графики своих биоритмов.

Специалисты насчитывают их примерно 100. Как известно, биоритмы влияют на самочувствие и работоспособность человека. Наиболее известными являются

физический- 23 дня,

эмоциональный- 28 дней,

интеллектуальный- 33 дня.

Каждый цикл периодичен. Он проходит положительную и отрицательную фазы. В положительной фазе достигаются большие результаты в соответствующей сфере, в отрицательной результаты ухудшаются.

Дни , когда график цикла пересекает ось Ох, называют нулев Дни, когда все графики пересекают ось Ох называют критическими. В эти дни нужно быть особенно внимательными и осторожными.

Как же построить график для себя?

Выберем две даты: день своего рождения и день построения графика.

Например: дата рождения 12.05 1986г.

Считаем: 12+(30,59*(12-5))+(365,25 *86)=31637,63 =к

Год месяц год

Дата построения графика:11.03.2004

11+(30,59*(12-3))+(365,25* (104-1)=37907,06=р

р-к=В- количество прожитых дней.

В: 23 =сколько дней назад начался физический цикл. В нашем случае-272,6-6 дней.

В:28= сколько дней назад начался эмоциональный цикл В нашем случае 223,9- 9 дней.

В:33=сколько дней назад начался интеллектуальный цикл. В нашем случае 1789,9-9 дней.

Строим график:

Может быть , эта теория и не обоснована научно, и на биоритмы человека влияют его привычки, темперамент ,но тем не менее она хорошо объясняет некоторые важные или неудачные моменты в жизни человека.

В конце хотелось бы задать несколько математических загадок, которыми в принципе можно начать уроки по соответствующим темам:

- Что общего между картиной И.И. Шишкина «Корабельная роща», конусом и шишкой?

Ответ: сосна - шишка, а шишка в переводе на греческий конус.

- Что общего у игральной карты «бубен» и математической фигуры ромб?

Ответ: раньше у шаманов и гадалок были бубны в виде ромбов, они играли роль коня в путешествии шаманов в мире духов.

Тема: «Изображение пространственных фигур».

Плоские изображения выполняются по определённым правилам. Вспомним их …

Но оказывается, что на плоскости возможно изобразить и не несуществующий предмет в пространстве. В современной живописи такое направление называют «импосибилизм»

Ярким представителем является Эшер.