Открытый урок по теме Показательные уравнения

Министерство образования Московской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Московской области

«Московский областной профессиональный колледж»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

учебного занятия

по дисциплине «Математика»

на тему: «Решение показательных уравнений»

Разработчик:

преподаватель математики

Рыбалкина М. В.

Пересвет, 2014

ДИСЦИПЛИНА ОДП.1 МАТЕМАТИКА

В методической разработке представлен план урока по ОДП.1 «Математика».

Методические рекомендации составлены преподавателем ГБОУ СПО «МОПК»
Рыбалкина М.В.

Содержание

1.

Пояснительная записка………………………………………..

5

2.

План урока……………..……………………………………….

7

3.

Конспект урока………………. …………….................................

14

4.

Приложения………………………………………………………

23

Пояснительная записка

Учебная дисциплина ОДП.1 «Математика» является одной из основных дисциплин, предусмотренных учебным планом для обучающихся ГБОУ СПО «МОПК».

Методическая разработка урока теоретического обучения составлена на основании рабочей программы ОДП.1 «Математика».

Целью создания методической разработки является презентация опыта работы преподавателя по обеспечению условий для полноценной деятельности обучающихся на уроке в рамках изучения учебной дисциплины.

Задачи:

• систематизировать учебный материал занятия по учебной дисциплине;

• совершенствовать структуру теоретического занятия;

Разработка представляет собой методическое сопровождение урока теоретического обучения по теме «Решение показательных уравнений».

Структура методической разработки:

• план урока;

• конспект материала урока;

• приложения.

Методическая разработка предназначается в качестве материала для преподавателей общеобразовательных дисциплин при проведении урока в учебных группах, обучающихся профессиям экономического профиля.

ПЛАН УРОКА

Тема урока: Показательные уравнения

Цели урока:

Обучающая:

• Закрепить основные знания по теме «Показательные уравнения»

• Отработать навыки решения показательных уравнений различными способами.

• сформировать умения решать показательные уравнения графическим способом.

Развивающая:

• Способствовать развитию познавательной активности, логического мышления.

• Развивать навыки самостоятельной работы.

• Развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля.

Воспитательная:

• Способствовать воспитанию активности, ответственного отношения к работе, самостоятельности.

Задачи урока:

• Закрепить знания о типах показательных уравнений

• Получить и систематизировать знания о методах решения показательных уравнений

• Выявить пробелы, затруднения в процессе закрепления изученного материала, провести работу по их устранению.

Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний.

Методы: информационный, проблемный, тестовый, разноуровневый.

Формы организации деятельности учащихся: индивидуальная, групповая.

Межпредметные связи: экономика.

Продолжительность занятия: 90 минут.

Уровень обучающихся: 1 год обучения.

Количество обучающихся: 20-25 чел.

Место проведения занятия: кабинет математики

Материально-техническое и дидактическое, программное оснащение урока:

План-конспект урока, задания на закрепление изученного материала, рабочие тетради, оценочный лист, презентация.

Изучив тему, учащиеся должны:

Знать:

• определение показательного уравнения;

• методы решения показательных уравнений;

• классификацию типов показательных уравнений по методу решения.

Уметь:

• решать показательные уравнения различными способами;

• применять полученные знания для решения практических задач;

• анализировать полученную информацию;

• уметь проводить взаимоконтроль и самоконтроль учебной деятельности.

Конспект занятия

Организационный момент (2 мин)

Приветствие. Отмечаем отсутствующих.

1. Ознакомление учащихся с условиями оценивания их деятельности в ходе занятия (2 мин)

На ваших столах лежат оценочные листы. В ходе занятия, вы будете вносить количество баллов за каждое выполненное задание, самостоятельно оценивая свои знания (по одному баллу за выполненное задание). За работу у доски, за ответы с места даются дополнительные баллы. Я надеюсь, что ваша оценка будет объективной. (Приложение А)

2. Разминка(2 мин)

• Представить числа 3; 9; 27; ; 1 в виде степени с основанием 3;

• Представить числа 2; 8; 64; 128; 0,5; 0,25; 1 в виде степени с основанием 2;

2. Обоснование темы и целей урока (14 мин)

На доске записаны две последовательности чисел:

1; 3; 9;27; 81; 243…

Определить принцип построения числового ряда.

Давайте вместе сделаем вывод. Мы выяснили, что числа, записанные в каждом ряду, представляют собой степень некоторого положительного числа, не равного 1. Как вы считаете, можно ли записать это одним общим выражением? (можно а^х = b)

Мы получили уравнение относительно переменной х, которая содержится в показателе степени. Как называется такой вид уравнения? (показательные). Кто может сформулировать определение показательного уравнения? (дают определение)

А какие условия должны выполняться для решения показательных уравнений? (a)

Таким образом, мы вместе с вами подошли к теме нашего урока «Показательные уравнения». Запишите дату и тему урока в тетрадь.

Мы с вами знаем определение показательных уравнений, условия их существования, и, на предыдущих уроках, мы знакомились с различными способами решения показательных уравнений. Назовите эти способы (приведение к общему основанию, способ приведения к квадратному, способ вынесения общего множителя за скобки).

Сегодня нашей основной целью будет систематизировать и обобщить знания по теме «Показательные уравнения», отработать навыки решения уравнений различными способами. Показать практическую значимость показательных уравнений.

2. Организация деятельности учащихся по совершенствованию и закреплению знаний (25 мин)

Задание 1. Каждому ряду предлагается столбик показательных уравнений: (Приложение Б)

1. 3^х = 81;

2. = 64;

3. 5^{х - 1} = 1;

4. 2·2^х = 64;

5. 0,1^{2х -1} = 0,01;

6. 9·3^х = 1;

1. 4^х = 64;

2. 27·3^х = 1;

3. 3^{х - 1} = 1;

4. 2·2^х = 128;

5. 0,7^{2х -1} =0,49;

6. = 9.

1. 5^х = 125;

2. 81·3^х = 1;

3. 6^{х - 1} = 1;

4. 4·2^х = 64;

5. 0,8^{2х -1} =0,64;

6. = 36.

Ваша задача заключается в том, чтобы расположить уравнения в порядке возрастания их корней. Сможете ли вы сразу выполнить это задание? (нет) Почему? (мы не знаем их корней).

Следовательно, сначала необходимо решить эти уравнения. Полученные результаты проанализировать и расположить уравнения в порядке возрастания их корней. Будьте внимательны. Если хотя бы одно уравнение будет решено неверно, порядок расположения уравнений будет нарушен.

Кто справился с заданием? Пожалуйста, к доске. Все согласны? Давайте сделаем проверку. Не забывайте оценивать свои ответы и выставлять баллы в таблицу. Каким способом вы решили эти уравнения? (способом приведения к одному основанию). Какие еще способы решения показательных уравнений вы знаете? (способ приведения к квадратному, способ вынесения общего множителя за скобки).

Задание 2. На доске три уравнения (Приложение В)

Первое задание более сложного уровня(3балла), второе - средней сложности (2 балла), третье - несложное задание (1 балл).

1. 3^{х -1} - 3^х + 3^{х + 1} =7; 2. 5^х - 5^{х - 2} = 4; 3. 2· 7^х + 7^х = 21.

Каждый выбирает задание по желанию. Верное решение каждого уравнения оценивается соответствующим количеством баллов. (Выбирают уравнение, решают). Если вы решили одно задание, то вы можете решить задание другой сложности и заработать дополнительное количество баллов.

Давайте проверим, все ли справились с заданием? Желающие - к доске. (Обсуждаем, исправляем ошибки).

Каким способом вы решили эти уравнения? (способом вынесения общего множителя за скобки).

Сверьте эталон решения с вашим решением. Выставьте себе в оценочные листы соответствующее количество баллов. Кто допустил ошибки - исправляйте.

Поднимите руки, кто справился с первым заданием? Со вторым? С третьим? Кто выполнил дополнительное задание? Не забудьте поставить себе оценки.

Занесите свои оценки в оценочные листы.

Мы повторили известные вам способы решения показательных уравнений. Давайте еще раз повторим какие это способы.

Приведение к квадратному уравнению

Способы решения показательных уравнений

Приведение к одному основанию

вынесение общего множителя за скобки

2. Организация деятельности учащихся для получения новых знаний

(15 мин)

Задание:4 (Приложение Г). А сейчас у меня в руках карточки, а у вас они на столе, с показательными уравнениями. Давайте попробуем разбить множество представленных уравнений по способу их решения.

2^х =11 - х; 2^{х -1} = 1;

25^х + 5^х - 6 = 0; 6^{х + 1}+ 6^х = 7.

Расставляют уравнения по способу решения.

Какой способ мы сегодня не использовали? (приведение к квадратному уравнению). Давайте решим его. Желающий к доске.

Остается одно уравнение: 2^х =12 - х. Перед нами встала проблема. Это уравнение мы не можем решить ни одним из способов, которые знаем. Давайте вместе попытаемся найти способ решения этого уравнения.

Задание 5. Можно представить каждую часть уравнения в виде функций? (да). Хорошо. Левую часть можно представить в виде какой функции? (показательной), а правую? (в виде линейной).

2^х = 11 - х

у = 2^х у = 11 - х

показательная линейная

Давайте построим графики этих функций в одной системе координат. Кто желает построить график показательной функции? Пожалуйста (выходит, строит). Остальные строят в тетрадях. Желающие построить график линейной функции - пожалуйста, к доске!

у = 2^{х у} = 11 - х

х

1

2

3

0

х

3

8

у

2

4

8

1

у

8

3

у у = 2^х

8

у = 11 - х

3 х

Что можно сказать о взаимном расположении графиков (пересекаются в точке с координатами (3;8)

Возвращаемся к решению нашего уравнения. Мы рассмотрели обе части уравнения как некоторые функции, графики которых мы построили в одной системе координат. Что вы можете сказать о решении этого уравнения? (решением является абсцисса точки пересечения). Ответ: х = 3

Итак, мы с вами научились решать показательные уравнения еще одним способом - графическим. В каком случае показательное уравнение нужно решать графическим способом? (когда переменная содержится не только в показателе степени)

Составим алгоритм решения показательного уравнения графическим способом.

1. Представить обе части уравнения в виде функций относительно переменной х.

2. Построить графики обеих функций:

• если графики функций пересекаются, то абсциссы точек их пересечения - корни уравнения;

• если графики функций не пересекаются, то уравнение решения не имеет.

6. Организация деятельности учащихся по применению полученных знаний для решения практических задач. (20 мин)

Умея решать показательные уравнения различными способами, сможете ли вы теперь применить имеющиеся знания для решения задач с практической направленностью? Рассмотрим задачу, для решения которой необходимо уметь решать показательные уравнения.

Задание 6. Некоторая фирма взяла кредит в банке 80 000 у.е. под 15% годовых. Сумма возврата кредита с процентами 92000 у.е. На сколько лет взят кредит в банке?

Решение. Для расчетов экономисты применяют формулу вычисления сложных процентов.

S = s·(1+p)^х,

где S - сумма возврата,

s - сумма кредита,

,

х - количество лет, на которые взят кредит.

Используя условие задачи и формулу, попытайтесь самостоятельно ответить на вопрос задачи. Кто готов ответить? Какие ответы получились у других?.. давайте сверим ваше решение с решением на доске.

90 000 = 80 000 · (;

90 000 = 80 000 ·(;

(= ;

( = ; (; х = 1 ответ: 1 год.

Как видно из решения, условие задачи позволило нам выйти на решение показательного уравнения и найти верный ответ. Занесите свои оценки в оценочные листы.

А теперь попробуем с вами разгадать кроссворд и ответить на вопросы теста.

Проверяем кроссворд (смотрим на экран). Проверяем тест (смотрим на экран). Проставляем баллы в оценочный лист.

Кроссворд «И в шутку и всерьёз»

4

5

1

7

6

2

3

По горизонтали:

1.Название функции, любой из графиков которой проходит через точку (0;1).

(показательная)

2.Проверка учеников на выживание.

(контрольная)

3.Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения.

(корень)

По вертикали:

4.График квадратичной функции.

(парабола)

5.Исчезающая разновидность учеников.

(отличник)

6. 3³ три в кубе

(степень)

7. Координата точки.

(абсцисса)

4п

5о

1п

о

к

а

з

а

т

е

л

ь

н

7а

я

р

л

б

а

и

с

6с

б

ч

ц

2к

о

н

т

р

о

л

ь

н

а

я

и

е

л

и

с

п

а

к

с

е

а

3к

о

р

е

н

ь

ь

Вариант 1.

1.Сравните числа m и k, если верно неравенство

1)m=k 2)m>k 3)m<k 4)нельзя определить

2.Какой из графиков является графиком функции ?

1) 2) 3) 4)

3.Решите уравнение

1) х=1 2)х=-1 3)х=0 4)х=3

4.Решите уравнение

1)х=4 2)х=-4 3)х=2 4) х=-2

5.Найти сумму корней уравнения

1) -1 2) 1 3) 3 4) -3

6.Решите уравнение

Вариант 2.

1.Сравните числа m и k, если верно неравенство

1)m=k 2)m>k 3)m<k 4)нельзя определить

2.Какой из графиков является графиком функции ?

1) 2) 3) 4)

3.Найти промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (-5;-2) 2) 3)(4;6) 4)

4. Найти промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) 2) 3) 4)

5.Найти сумму корней уравнения

1) 2 2) 0 3) 1 4) -1

6.Решите уравнение

Вариант 3.

1.Сравните числа m и k, если верно неравенство

1)m=k 2)m>k 3)m<k 4)нельзя определить

2.Какой из графиков является графиком функции ?

1) 2) 3) 4)

3.Найти промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) (-6;-4) 2) 3)(0; 14) 4)

4. Найти промежуток, которому принадлежит корень уравнения

1) 2) 3) 4)

5.Найти сумму корней уравнения

1) -1 2) 0 3) 1 4) -3

6.Решите уравнение

1. Проверка ответов по слайду.

Вариант 1.

№ задания

1

2

3

4

5

6

№ правильного ответа

3

1

4

3

1

Х=1

Вариант 2.

№ задания

1

2

3

4

5

6

№ правильного ответа

3

3

Х=3

2

Х=0

2

Х=1 х=0

3

Х=4

Вариант 3.

№ задания

1

2

3

4

5

6

№ правильного ответа

3

4

Х=0,5

3

Х=1

2

Х=-1 х=0

1

Х=0 х=2

7. Подведение итогов урока (7 мин)

Давайте вернемся к началу нашего урока и вспомним, какую цель мы ставили перед собой? (систематизировать и обобщить знания по теме показательные уравнения, отработать навыки решения уравнений различными способами и применить знания при решении практической задачи). Как вы считаете, справились мы с поставленной целью?

Да, действительно, цель урока мы сегодня с вами достигли.

Сегодня на уроке особенно активно работали…… я даю вам за работу дополнительно 5 баллов. А теперь, подведите итоги своей работы на уроке, подсчитайте свои баллы и поставьте себе оценку.

Группа 1, кто в вашей группе заработал за урок наибольшее количество баллов? В группе 2, в группе 3? А кто сегодня заработал «0» бонусов? Давайте приведем набранные вами бонусы к, привычным вам оценкам.

Достигли ли вы сегодня положительного результата и как вы оцениваете свою деятельность на уроке.

Какой этап урока показался вам наиболее интересным?

8. Домашнее задание (3 мин)

А теперь запишите домашнее задание:

1. Решить уравнение графическим способом: 3^х = -х +4.

2. Задача: вкладчик положил 10 000 рублей на срочный вклад на 5 лет под 9,8 % годовых. Какую сумму получит вкладчик по истечении срока вклада?

3. Дополнительное задание: подберите (не из учебника) или придумайте сами 4 показательных уравнения, решаемые разными способами.

Приложение А

Таблица накопления баллов

Фамилия, имя учащегося_______________________________

Задание

Работа

у доски

Работа с места

дополнительные

баллы

1

2

3

4

5

6

Кол-во

баллов

итого

Приложение Б

1. 3^х = 81;

= 64

3. 5^{х - 1} = 1;

4. 2·2^х = 64;

5. 0,1^{2х -1} = 0,01;

6. 9·3^х = 1

1. 4^х = 64;

2. 27·3^х = 1;

3. 3^{х - 1} = 1;

4. 2·2^х = 128;

5. 0,7^{2х -1} =0,49;

= 9.

1. 5^х = 125;

2. 81·3^х = 1;

3. 6^{х - 1} = 1;

4. 4·2^х = 64;

5. 0,8^{2х -1} =0,64;

= 36.

Ответы

Х=4

Х=-3

Х=1

Х=5

Х=1,5

Х=-2

Х=3

Х=-3

Х=1

Х=6

Х=1,5

Х=-2

Х=2

Х=-4

Х=1

Х=4
Х=1,5

Х=-2

Порядок расположения уравнений

2 6 3 5 1 4 2 6 3 5 1 4 2 6 3 5 1 4

2^х =11 - х; 2^{х -1} = 1;

25^х + 5^х - 6 = 0; 6^{х + 1}+ 6^х = 7.

Приложение В

3^{х -1} - 3^х + 3^{х + 1} =7;

5^х - 5^{х - 2} = 4;

2· 7^х + 7^х = 21.

Приложение Г

25^х + 5^х - 6 = 0

2^х=11 - х

2^{х -1}= 1

6^{х + 1}+ 6^х = 7

1. Кроссворд «И в шутку и всерьёз»

4

5

1

7

6

2

3

По горизонтали:

1.Название функции, любой из графиков которой проходит через точку (0;1).

2.Проверка учеников на выживание.

3.Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения.

По вертикали:

4.График квадратичной функции.

5.Исчезающая разновидность учеников.

6. 3³ три в кубе

7. Координата точки.

п

о

п

о

к

а

з

а

т

е

л

ь

н

а

я

р

л

б

а

и

с

с

б

ч

ц

к

о

н

т

р

о

л

ь

н

а

я

и

е

л

и

с

п

а

к

с

е

а

к

о

р

е

н

ь

ь

4.Проверка ответов по слайду.

Вариант 1.

№ задания

1

2

3

4

5

6

№ правильного ответа

3

1

4

3

1

Х=1

Вариант 2.

№ задания

1

2

3

4

5

6

№ правильного ответа

3

3

Х=3

2

Х=0

2

Х=1 х=0

3

Х=4

Вариант 3.

№ задания

1

2

3

4

5

6

№ правильного ответа

3

4

Х=0,5

3

Х=1

2

Х=-1 х=0

1

Х=0 х=2

Слайды презентации к уроку.

№1

№2 Разминка

• Представить числа 3; 9; 27; ; 1 в виде степени с основанием 3;

• Представить числа 2; 8; 64; 128; 0,5; 0,25; 1 в виде степени с основанием 2;

Приложение Б

1. 3^х = 81;

= 64

3. 5^{х - 1} = 1;

4. 2·2^х = 64;

5. 0,1^{2х -1} = 0,01;

6. 9·3^х = 1

1. 4^х = 64;

2. 27·3^х = 1;

3. 3^{х - 1} = 1;

4. 2·2^х = 128;

5. 0,7^{2х -1} =0,49;

= 9.

1. 5^х = 125;

2. 81·3^х = 1;

3. 6^{х - 1} = 1;

4. 4·2^х = 64;

5. 0,8^{2х -1} =0,64;

= 36.

Приложение В

3^{х -1} - 3^х + 3^{х + 1} =7;

5^х - 5^{х - 2} = 4;

2· 7^х + 7^х = 21.

Приложение Г

25^х + 5^х - 6 = 0

2^х=11 - х

2^{х -1}= 1

6^{х + 1}+ 6^х = 7

1. Кроссворд «И в шутку и всерьёз»

4

5

1

7

6

2

3