Инструкционные карты по математике «Применение производной», «Наибольшее и наименьшее значения функции», «Направление выпуклости графика функции», «Точки перегиба»

Инструкционная карта

Тема: Критические точки функции, максимумы и минимумы.

Цель: Научиться исследовать функцию на максимум и минимум.

Определение .Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Признак максимума функции. .Если функция f непрерывна в точке х_{0 ,}

а f ^'(х) > 0 на интервале (а, х₀) и f ^'(х) < 0 на интервале (х₀, в) _, то точка х₀ является точкой максимума функции f .

Признак минимума функции. .Если функция f непрерывна в точке х_{0 ,}

а f ^'(х) < 0 на интервале (а, х₀) и f ^'(х) > 0 на интервале (х₀, в) _, то точка х₀ является точкой минимума функции f .

Алгоритм исследования функции на максимум и минимум

1.Найти область определения функции.

2.Найти производную f ^'(х)

3.Найти точки, в которых производная равна нулю т.е. f ^'(х)=0

4.Найти точки, в которых производная не существует.

5.Исследовать знак производной в промежутках, на которые делят точки, найденные в 3 пункте. Если в точке х₀ производная меняет знак с плюса на минус, то х₀ есть точка максимума. Если в точке х₀ производная меняет знак с минуса на плюс , то х₀ есть точка минимума.

Пример: Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие- точками минимума

f (х) =5+12х -х ³

Решение: Находим по алгоритму:

1. f ^'(х) = 12 - 3 х ²

2. 12 - 3 х ² = 0

3 х ² = 12

х ² = 4

х₁ = -2, х₂ = 2

3.В точке -2 производная меняет знак с минуса на плюс, в точке 2 производная меняет знак с плюса на минус Значит точка -2 является точкой минимума, точка 2 является точкой максимума.

Упражнения

Найдите критические точки функции. Определите, какие из них являются точками максимума, а какие- точками минимума

1. у = 9 + 8х ²- х ⁴

2. у = 2х ³+3 х ²- 4

3. у = 1/2х ⁴- х ²

4. у= х ³- 6х ² + 9х +1

5. у= 4х ³+ х ²- 4х - 2

Инструкционная карта

Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции.

Цель: Научиться находить наибольшее и наименьшее значения функции.

Теорема Вейершрасса. Непрерывная на отрезке [а;в] функция f принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значения.

Алгоритм исследования функции на наибольшее и наименьшее значения функции у = f (х) на отрезке [а;в]

1.Найти производную f ^'(х)

2.Найти точки, в которых производная равна нулю т.е. f ^'(х)=0 или f ^'(х не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка [а;в]

3.Вычислить значения функции у = f (х) в точках полученных в п.2 и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее. Наибольшее и наименьшее значения функции обозначаются так: mах у(х) и min у(х)

[а;в] [а;в]

Пример: Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

у (х) =х ³-1,5 х ²- 6х +1 на промежутке [-2;0]

Решение: Находим по алгоритму:

1. f ^'(х) = 3 х ²-3 х - 6

2. 3 х ²-3 х - 6 = 0

х₁ = -1, х₂ = 2

3. Выберем наибольшее и наименьшее значения из чисел у(-2) = -1,

у(-1) = 4,5, у(0) = 1.Критическая точка х = 2 не принадлежит промежутку

[-2;0]. Наименьшее значение достигается в точке х = -2 и равно -1, а наибольшее в точке х = -1 и равно 4,5. Коротко это записывается так:

mах у(х) = у (-1) = 4.5

[-2;0]

min у(х) = у(-2) = -1

[-2;0]

Упражнения

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

1. у = х ⁴- 8 х ²- 9 на промежутке [-1;1]

2. у = 3х ⁵- 5х ³ на промежутке [ 1;3]

3. у = 5+12х -х ³ на промежутке [-2;3]

4. у= х ³-+ 3х ² - 9х на промежутке [ 3;4]

5. у= х ⁴- 2х ² + 4 на промежутке [ 2;3]

Инструкционная карта

Тема: Уравнение касательной к графику функции

Цель: Научиться составлять уравнение касательной к графику функции

Определение1.Касательная к графику дифференцируемой в точке х_{0 ,} функции f - это прямая, проходящая через точку ( х₀ ;f (х₀) ) и имеющая угловой коэффициентf ^'(х₀)

Определение2. Уравнение касательной имеет вид:

у = f (х₀) + f ^'(х₀) (х- х₀)

Алгоритм нахождения уравнения касательной.

1.Найти производную f ^'(х)

2.Найти производную в точке х₀ т.е. f ^'(х₀)

3.Вычислить значения функции f (х) в точке х₀

4.Подставляем значения f (х₀) и f ^'(х₀) в уравнение касательной получаем искомое уравнение

Пример: Напишите уравнение касательной к графику функции

f (х) = х ³- 2х ² + 1 в точке с абсциссой 2

Решение: Находим по алгоритму

1. f ^'(х) = 3х ²- 4х

2. f ^'(2) = 3 2 ²- 4 2 = 4

3. f (2) = 2 ³ - 2 2 ²+ 1 = 1

4. у = 1 + 4 (х - 2) = 1+4х - 8 = 4х - 7 т.е. у = 4х - 7

Упражнения Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке с абсциссой х₀

1. f (х) = 2х - х ² , х₀ = 0, х₀ = 2

2. f (х) = х ² + 1 , х₀ = 0, х₀ = 1

3 f (х) = х ³- 1 , х₀ = -1, х₀ = 2

4. f (х) = 3/х , х₀ = -1, х₀ = 1

5. f (х) = 5/х , х₀ = 1, х₀ = 2

Инструкционная карта

Тема: Возрастание и убывание функции.

Цель: Научиться исследовать функцию на возрастание и убывание.

Определение1.

Достаточный признак возрастания функции. .Если f ^'(х) > 0 в каждой точке интервала I _, то функция f возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции. .Если f ^'(х) < 0 в каждой точке интервала I _, то функция f убывает на I.

Алгоритм исследования функции на возрастание и убывание функции.

1.Найти область определения функции Д (f).

2.Найти производную f ^'(х)

3.Найти промежутки, в которых производная больше нуля т.е. f ^'(х) > 0 и

f ^'(х) < 0

3.Исследовать знак производной в полученных промежутках т.е.

если. f ^'(х) > 0 ,то функция возрастает и если f ^'(х) < 0, то функция убывает

Пример: Найдите промежутки возрастания и убывания функции

f (х) = -х ²+ 2х - 3

Решение: Находим по алгоритму:

1 Д (f) = R

2. f ^'(х) = - 2 х + 2

3. f ^'(х) > 0 если - 2х + 2 > 0, - 2х > -2 , х < 1

f ^'(х) < 0 если - 2 х + 2 < 0, - 2 х < -2 , х > 1

Функция возрастает на.(- ∞; 1] ; убывает на [ 1; .+∞) )

Упражнения

Найдите промежутки возрастания и убывания функций

1. f (х) = х ⁴- 3 х ²

2. f (х) = х ⁴ /4 - 2 х ²

3. f (х) = х ³ / 3 + 2 х ²- 5 х + 4

4. f (х) = 3 - 0,5 х

5. f (х) = х ²- 4х + 6

6. f (х) = 4- х ⁴

Инструкционная карта

Тема: Направление выпуклости графика функции.

Цель: Научиться исследовать на направление выпуклости

Определение 1 Кривая у= .f (х) называется выпуклой вниз в промежутке (а,в), если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка.

Определение 2 Кривая у= .f (х) называется выпуклой вниз в промежутке (а,в), если она лежит ниже касательной в любой точке этого промежутка.

Определение 3. Промежутки, в которых график функции обращен выпуклостью вверх или вниз, называются промежутками выпуклости графика функции.

.Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции

у= .f (х), характеризуется знаком ее второй производной ; если в некотором промежутке f ^'' (х) > 0, то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же f ^'' (х) < 0, то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Алгоритм нахождения промежутков выпуклости кривой

1. Найти первую производную f ^'(х)

2. Найти вторую производную f ^'' (х)

3. Найти промежутки, в которых производная f ^'' (х)> 0 и

f ^'' (х)< 0

4. Исследовать знак производной в полученных промежутках т.е.

если в некотором промежутке f ^'' (х) > 0, то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же f ^'' (х) < 0, то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Пример: Найдите промежутки выпуклости кривой у = х ³

Решение: Находим по алгоритму:

1. f ^'(х) = 3х ²

2. f ^'' (х) = 6х

3. f ^'' (х)> 0 в промежутке (0 ; ∞) и f ^'' (х)< 0 в промежутке (- ∞; 0)

4.В промежутке (- ∞; 0) кривая выпукла вверх, а в промежутке (0 ; ∞) кривая выпукла вниз.

Упражнения

Найдите промежутки выпуклости кривой

1. у = х ²

2. у = 2х ³

3. у = - х ² - 1

4. у= х ² + 3х - 1

5. у= х ³+ 6х ²+ 2х - 6

Инструкционная карта

Тема: Исследование функции на экстремум с помощью второй производной.

Цель: Научиться исследовать функцию на экстремум.

Определение .Если у^' есть производная от функции у = f (х) ,то производная от у^' по х (если она существует), называется второй производной (или производной второго порядка).

Обозначение у ^{' '}

Алгоритм исследования функции на экстремум с помощью второй производной.

1.Найти производную f ^'(х)

2.Найти стационарные точки данной функции, т.е. точки, в которых f ^'(х)=0

3.Найти точки, вторую производную f ^'' (х)

4. Исследовать знак второй производной в каждой из стационарных точек.

Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительная ,то-минимум.Если же вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Пример: Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной.

f (х) = х ²- 2х - 3

Решение: Находим по алгоритму:

1. f ^'(х) = 2х - 2

2. 2х - 2= 0

2х = 2

х = 1

3. f ^'' (х) = 2

4. f ^'' (х) = 2 > 0 .значит в точке х =1 функция имеет минимум и f _min = f (1) = -4

Упражнения

Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной.

1. у = 9 + 8х ²- х ⁴

2. у = 2х ³+3 х ²- 4

3. у = 1/2х ⁴- х ²

4. у= х ³- 6х ² + 9х +1

5. у= 4х ³+ х ²- 4х - 2

Инструкционная карта

Тема: Точки перегиба

Цель: Научиться находить точки перегиба графика функции

Определение .Точка графика функции у = f (х) , разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

Точками перегиба могут служить только критические точки 2 рода т.е. точки , принадлежащие области определения функции у = f (х) , в которых вторая производная f ^'' (х) обращается в нуль или терпит разрыв.

Если при переходе через критическую точку вторая производная f ^'' (х) меняет знак , то график функции имеет точку перегиба (х ₀ ;f (х ₀))

Алгоритм нахождения точек перегиба графика функции у = f (х)

1. Найти вторую производную f ^'' (х)

2. Найти критические точки 2 рода т.е. точки , принадлежащие области определения функции у = f (х) , в которых вторая производная f ^'' (х) обращается в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной f ^'' (х) в промежутках ,на которые найденные критические точки делят область определения функции f (х).

Если при этом критическая точка х ₀ разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений ,то х ₀ является абсциссой точки перегиба графика функции.

4.Вычислить значения функции в точках перегиба.

Пример: Найти точки перегиба кривой

f (х) = 6х ²- х ³

Решение: Находим по алгоритму:

1. f ^' (х) = 12х -3 х ²

f ^'' (х) = 12 -6 х

2. 12 - 6х = 0

12 = 6 х

х = 2

3.Так как f ^'' (х)> 0 в промежутке (- ∞; 2) и f ^'' (х)< 0 в промежутке

(2 ; +∞),то при х = 2 кривая имеет точку перегиба.

4. f (2) = 16 Итак (2 ; 16) - точка перегиба.

Упражнения

Найти точки перегиба следующих кривых

1. у = х ⁴- 10х ³+36х ²- 100

2. у = х ⁴- 6х ³+18х ²- 48х + 31

3. у = 1/3х ³- 3х ²+ 8х - 4

4. у= х ³- х

5. у= 4х ³+ х ²- 4х - 2

Инструкционная карта

Тема: Исследование функции на экстремум с помощью второй производной и построение графиков функций.

Цель: Научиться исследовать функцию и строить графики функций

Алгоритм построения графиков функций.

1.Найти область определения функции.

2.Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической.

3. Найти точки пересечения графика с осями координат.

4. Найти асимптоты графика функции..

5. Найти точки монотонности функции и ее экстремумы.

6. Найдите промежутки выпуклости графика функции и точки перегиба.

7. Постройте график, используя полученные результаты исследования.

Пример: Построить график функции у = х ³ - 6 х ²+ 9 х - 34

Решение: 1.Функция определена на всей числовой оси ,т.е. Д (у) = R.

2. Данная функция не является ни четной,ни нечетной; кроме того она не является периодической.

3. Найдем точку пересечения графика с осью Оу полагая х = 0.,получим

у = -3. Точки пересечения графика с осью Ох в данном случае найти затруднительно.

4. Очевидно, что график функции не имеет асимптот.

5.Найдем производную у^' = 3 х ²- 12х + 9

Решая уравнение 3 х ²- 12х + 9 = 0, получим корни х₁ =1, х₂ =3

Т.к. у ^' > 0 , то в промежутках (- ∞; 1) и (3 ;+ ∞) функция возрастает

и у ^' < 0 ,то в промежутке (1; 3) функция убывает.

Точки экстремума у _min = у (3) = - 3, у _mах = у (1) = 1.

6.Найдем вторую производную у^'' = 6 х - 12

6 х - 12 = 0

6х = 12

х = 2

Точка х = 2 делит область определения функции на два промежутка

(- ∞; 2) и (2 ;+ ∞) .В первом из них у^'' < 0, а во втором у^'' > 0 т.е. в промежутке (- ∞; 2) кривая выпукла вверх, а в промежутке (2 ;+ ∞) кривая выпукла вниз.Таким образом получаем точку перегиба (2,-1)

7.Используя полученные данные , строим искомый график

Упражнения

Исследуйте следующие функции и постройте их графики

1. у = х ² + 5х + 4

2. у = -3 х ²+ 12 х

3. у = - х ³ + х

4. у= 2х ² - 8х

5. у= 3х ³- х

4.