- Преподавателю
- Математика
- Конспект урока по математике на тему Тригонометрические уравнения
Конспект урока по математике на тему Тригонометрические уравнения
Раздел | Математика |
Класс | 10 класс |
Тип | Конспекты |
Автор | Мягкова М.Г. |
Дата | 12.11.2015 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Урок алгебры в 10 классе
Тема урока:
« Тригонометрические уравнения»
(урок одного уравнения)
Урок 4.
Цели:
образовательная - систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений;
развивающая - содействовать развитию математического мышления учащихся;
воспитательная - воспитывать познавательную активность, самостоятельность, побуждать учащихся к преодолению трудностей в процессе умственной деятельности.
Тип урока: урок одного уравнения.
Оборудование: компьютер, проектор.
План урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа. Работа в парах.
III. Метод использования свойства ограниченности функции.
IV. Различные способы решения одного уравнения.
V. Самостоятельная работа.
VI. Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.
Ход урока
Слайд 1.
I. Организационный момент (проверяется готовность к уроку, объявляется тема, цель урока, этапы урока).
Слайд 2.
Эпиграф к уроку: Три пути ведут к знанию:
путь размышления -
это путь самый благородный,
путь подражания -
это путь самый легкий
и путь опыта -
это путь самый горький.
Конфуций.
- Сегодня мы поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Мы знаем, что правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные нами методы всегда нужно держать в зоне своего внимания, чтобы решать конкретные задачи наиболее подходящим методом.
Слайд 3.
II. Устная работа (по презентации к уроку). Работа в парах.
На каждой парте лист с уравнениями. (Приложение 1)
Учащимся предлагается провести классификацию тригонометрических уравнений по методам решений. Рядом с каждым уравнением 1 - 7 указать номер метода, которым можно решить данное уравнение.
№
Уравнения
№ метода
Методы
1
sin - cos 6х = 2
6
1. Разложение на множители.
2. Введение новой переменной:
а) сведение к квадратному;
б) универсальная подстановка;
в) введение вспомогательного аргумента.
3. Сведение к однородному уравнению.
4. Графический.
5. Использование условия равенства одноименных тригонометрических функций.
6. Использование свойства ограниченности функции.
2
1 - sin 2х = cos х - sin х
1,
3, 2(б,в)
3
sin 3х - sin 5х = 0
1,
5
4
4 - cos2 х = 4 sin х
2(а)
5
cos (2x) = x - 8x + 17
6
6
5 sin х - 2cos х = 1
2(б,в), 3
7
cos х =| х | -
4
8
sin х + cos х = 1
Обсуждение проводится в быстром темпе и выясняется, что наибольшее количество методов можно применить при решении последнего уравнения. Отмечается, что первые пять методов являются традиционными для решения тригонометрических уравнений. Последний метод стал часто встречаться в ЕГЭ. Поэтому предлагается остановиться на этом методе особо.
Слайд 4.
III. Метод использования свойства ограниченности функции.
Учащиеся вспоминают суть этого метода.
Суть этого метода заключается в следующем:
если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций у = f(x), у = g(x) равно А и наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение f(x) = g(x) равносильно на промежутке Х системе уравнений
На доске ученик решает уравнение 5 из таблицы.
(Слайд 5.)
5) cos(2x) = x- 8x + 17.
Решение.
cos(2x) = (x - 4)+ 1
ОДЗ: .
-1 cos(2x) 1; (x - 4) + 1 1
Равенство достигается, если cos() = 1,
(x - 4) + 1 = 1,
х = 4
Ответ: 4.
На доске ученик решает уравнение 1 из таблицы.
1) sin - cos 6х = 2
Решение.
sin - cos 6х = 2.
ОДЗ: .
Поскольку | sin | ≤ 1 и | cos 6х | ≤ 1, имеем систему:
Общее решение показать на тригонометрической окружности.
Ответ:
IV. На доске учащиеся показывают различные способы решения уравнения sin х + cos х = 1.
ОДЗ: .
Способ 1.
sin х + cos х = 1.
Применим формулы половинного аргумента, получим:
2 sincos + cos 2 - sin 2 = sin 2 + cos 2 ,
2 sincos - 2sin 2 = 0 ,
2 sin·(cos - sin)=0,
sin=0, или cos - sin=0,
х = 2n, n х = + 2к, к
Ответ: 2n, n + 2к, к
Способ 2.
sin х + cos х = 1.
sin х + sin () = 1,
Применим формулы преобразования суммы в произведение.
,
х = + 2n, n
х = 2n, n х = + 2к, к
Ответ: 2n, n + 2к, к
Способ 3.
sin х + cos х = 1.
Введение вспомогательного угла.
А sin х + В cos х = cos (х - t), где sin t = , cos t = .
==,
, t = .
cos (х - ) = 1,
х = + 2n, n
х = 2n, n х = + 2к, к
Ответ: 2n, n + 2к, к
Способ 4.
sin х + cos х = 1.
Разделим обе части уравнения на .
sin х +cos х =,
cos sin х + sin cos х =,
sin ( х + )=,
х + = (-1)narcsin + n, n
х = (-1)n · - + n, n
х = - + 2n, n х = π - - + 2k, k
х = 2n, n х = + 2k, k
Ответ: 2n, n + 2к, к
Способ 5.
sin х + cos х = 1.
Применим универсальную подстановку:
; ; х + 2 n; n
Исходное уравнение примет вид:
+ =1,
2tg+ 1 - tg2 = 1 + tg2 ,
2tg - 2 tg2 =0,
tg(1 - tg)=0,
tg = 0 или 1 - tg =0,
х = 2n, n х = + 2k, k
Ответ: 2n, n + 2к, к
Способ 6.
sin х + cos х = 1.
Заменим cos х выражением
sin х = 1,
= 1 - sin х,
1 - sin2 х = (1 - sin х)2 ,
(1 - sin х) (1 + sin х) - (1 - sin х)2 = 0,
(1 - sin х) (1 + sin х - 1 + sin х) = 0,
(1 - sin х) 2sin х = 0,
1 - sin х = 0 или sin х = 0,
sin х = 1
х = + 2k, k х = n, n
Проверка показывает, что из серии х = n, n решением является х = 2n, n
Ответ: 2n, n + 2к, к
Способ 7. Графический.
Слайд 6.
Ответ: 2n, n + 2к, к
V. Самостоятельная работа. Учащимся предлагается решить уравнение 1 - sin 2х = cos х - sin х различными способами.
VI. Рефлексия.
Учитель отмечает работу на уроке отдельных учащихся, при необходимости выставляет отметки.
Учитель подводит итоги урока; сообщает, дает пояснения к домашнему заданию.
Домашнее задание: решить уравнения из таблицы
№ 3, № 6 (различными способами), № 4, № 7.
Дополнительно:
.