Элективный курс по математике 10 класс

УДК 371.3

ББК 74.262.21

М34

Рекомендовано Волгоградским государственным институтом повышения квалификации и переподготовки работников образования, кафедрой математического образования и информационных технологий

Рецензент проф., доктор пед. наук Т. К. Смыковская

Авторы-составители В. Н. Студенецкая, Л. Г. Козлова, Л. Ф. Кочетова, Т. А. Лопатина, Е. П. Семисинова

М34 Математика. 10-11 классы: элективный курс «В мире закономерных случайностей»/ авт.-сост. В. Н. Студенецкая и др. - Волгоград: Учитель, 2007. - 126 с. ISBN 978-5-7057-1209-0

Данное пособие содержит программу разработки занятий элективного курса «В мире закономерных случайностей» для учащихся 10-11 классов. Содержание курса направлено на удовлетворение познавательных интересов старшеклассников в различных областях деятельности человека. Представленный материал способствует формированию умения воспринимать и анализировать информацию, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие расчеты.

Особенностью курса является возможность использования компьютера дли решения задач по комбинаторике и статистике.

Предназначено учителям математики и информатики для профильного обучения старшеклассников, может быть полезно выпускникам для самостоятельных занятий.

ISBN 978-5-7057-1209-0

УДК 371.3

ББК 74.262.21

© Коллектив авторов-составителей

© Издательство «Учитель»

© Оформление. Издательство «Учитель»

ПРЕДИСЛОВИЕ

До настоящего времени в школьном курсе математики и других естественных наук господствовала только одна идея - о существовании однозначных связей между явлениями и событиями. Эти связи представлены в форме законов физики, химии, математики. Но окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ураганы, подъемы и спады экономического развития, войны, болезни, случайные встречи и т. д.

Поэтому возникает необходимость формирования у школьников современного мировоззрения, для которого одинаково важны представления и о жестких связях, и о случайном. Без знания понятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организация эффективного конкурентоспособного производства, внедрения новых лекарств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение обоснованной социальной политики.

При изучении статистики и теории вероятностей обогащаются представления о современной картине мира и методах его исследования, формируется понимание роли статистики как источника социально значимой информации и закладываются основы вероятностного мышления.

Предлагаемый курс «В мире закономерных случайностей» дает возможность учащимся, занимающимся в классах различного профиля, получить представления о статистических закономерностях в реальном мире и о различных способах их изучения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер.

Познавательный материал курса будет способствовать формированию функциональной грамотности - умению воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты.

Особенностью курса является возможность использовать компьютер в качестве универсального средства, позволяющего в считанные секунды провести миллионы случайных экспериментов и получить достаточно точные статистические оценки вероятности.

К курсу прилагаются программы, используя которые, учащиеся могут контролировать решение задачи из курса комбинаторики и статистики, проводить виртуальные эксперименты.

Курс рассчитан на 34 учебных часа. Итогом курса является выполнение учениками проектных работ и их защита.

Цели курса:

-развитие вероятностного мышления;

-воспитание понимания значимости математики для научно-технического прогресса.

Задачи:

-развивать представления о вероятностно-статистических закономерностях в окружающем мире; -развивать логическое мышление;

-совершенствовать интеллектуальные и речевые умения путем обогащения математического языка.

Основные требования к уровню подготовки учащихся:

В результате изучения курса учащиеся должны:

-понимать вероятностный характер различных процессов окружающего мира;

-уметь вычислять вероятность случайного события, пользуясь различными способами ее определения;

-анализировать реальные числовые данные, представленные в виде таблиц, диаграмм, графиков.

Но-

мер

Содержание материала

Кол-во часов

темы

1

Наглядное представление информации

2

2

Описательная статистика

3

3

Комбинаторика

1

4

Математическое описание случайных событий

12

5

Случайные величины

6

6

Случайные величины в статистике

3

7

Разработка проектов

5

8

Защита проектов

2

ПОЧАСОВОЕ ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Содержание программы

Тема 1. Наглядное представление информации (2 ч)

Использование табличного процессора для представления статистических данных и построения диаграмм. Виды диаграмм. Результаты обучения:

• уметь читать готовые диаграммы, извлекая из них нужную информацию;

• строить по имеющимся статистическим данным таблицы и диаграммы заданного типа;

• самостоятельно выбирать наиболее подходящий для представления указанных данных тип диаграммы.

• использовать табличный процессор для наглядного представления информации.

Тема 2. Описательная статистика (3 ч)

Среднее арифметическое, медиана, мода, размах числового

ряда.

Результаты обучения:

- знать характеристики числового ряда;

• вычислять моду, медиану, среднее арифметическое, размах числового ряда;

• уметь использовать характеристики для описания числовых рядов.

Тема 3. Комбинаторика (1ч)

Перестановки, сочетания, размещения. Результаты обучения:

• знать формулы комбинаторики;

• уметь использовать формулы комбинаторики для решения

задач.

Тема 4. Математическое описание случайных событий (12 ч)

Случайные опыты. Элементарные события. Статистическая вероятность. Классическое определение вероятности. Противоположные события. Диаграммы Эйлера. Несовместные события. Противоположные события. Правило сложения вероятностей. Умножение вероятностей. Геометрическая вероятность. Независимые повторные испытания. Формула Бернулли.

Результаты обучения:

• иметь представление об элементарном событии, равновозможных, благоприятствующих, противоположных, несовместных и независимых событиях;

• вычислять вероятность элементарного события в опыте с равновозможными событиями;

• уметь использовать диаграммы Эйлера для графической иллюстрации взаимосвязей между различными событиями;

• знать классическое, статистическое, геометрическое определения вероятности;

• знать и уметь использовать правила сложения и умножения вероятностей;

- знать формулу Бернулли, уметь применять ее при решении задач.

Тема 5. Случайные величины (6 ч)

Примеры случайной величины, распределение вероятностей случайной величины. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия.

Результаты обучения:

- уметь приводить примеры случайных величин;

• выделять на интуитивном уровне из множества различных величин дискретные;

• понимать, что такое распределение случайной величины, уметь составлять таблицы распределения случайных величин;

• знать определение математического ожидания конечной случайной величины;

• уметь вычислять математическое ожидание случайной величины;

• знать свойства математического ожидания и уметь использовать их при решении простых задач;

• знать, что важным свойством распределения случайной величины является рассеивание случайной величины;

• уметь вычислять дисперсию и стандартное отклонение случайной величины.

Тема 6. Случайные величины в статистике (3 ч)

Выборочный метод. Закон больших чисел. Результаты обучения:

• познакомить учащихся с понятием генеральной совокупности;

• рассмотреть методы ее представления;

• познакомить учащихся с законом больших чисел, рассмотреть примеры его применения.

Тема 7. Разработка проектов (5 ч)

Самостоятельная работа учащихся и консультация учителя. Результаты обучения:

- развивать умение исследовать, проектировать ситуацию.

Тема 8. Защита проектов (1ч) Результаты обучения:

- уметь представлять результаты своего труда.

б

ЛИТЕРАТУРА

Книги методической и методологической направленности

1. Бунимович, Е. А., Булычев, В. А. Вероятность и статистика
в курсе математики общеобразовательной школы. - М: Педагоги-
ческий университет «Первое сентября», 2005.

2. Бунимович, Е. А., Булычев, В. А. Учебное пособие для 5-9 классов общеобразовательных учреждений. - М ■ Дрофа 2002.

3. Ершова, А. П., Голобородько, В. В., Ершова, А. С. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии: разноуровневые дидактические материалы. - М., 1999.

4. Макарычев, Ю. К, Миндюк, Н. Г. Алгебра: элементы статистики и теории вероятностей: учебное пособие для 7-9 классов общеобразовательных учреждений / под ред. С. А. Те-ляковского. - М.: Просвещение, 2003.

5. Мордкович, А. Г., Семенов, П. В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 классов общеобразовательных учреждений. -М.: Мнемозина, 2003.

6. Семакин, И. Г., Хеннерж, Е. К. Информатика. Задачник-практикум: в 2 т. - Т. 2. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.

7. Студенецкая, В. Н. Решение задач по статистике, комбинаторике и теории вероятностей. 7-9 классы. - Волгоград: Учитель, 2005.

8. Тюрин, Ю. К, Макаров, А. А., Высоцкий, И. Р., Ященко, И. В. Теория вероятностей и статистика: методическое пособие для учителя. - М.: МЦНМО, 2005.

9. Ткачева, М. В., Федорова, Н. Е. Элементы статистики и вероятность: учебное пособие для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2004.

Учебники и учебные пособия для учащихся

1. Лютикас, В. С. Факультативный курс по математике. Теория вероятностей. - М.: Просвещение, 1990.

2. Мостеллер, Ф., Рурке, Р., Томас Дж. Вероятность. - М.: Мир, 1969.

3. Тюрин, Ю. К, Макаров, А. А., Высоцкий, И. Р., Ящен-ко, И. В. Теория вероятностей и статистика: учебное пособие. -ML: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2005.

Тема 1

НАГЛЯДНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ

Занятия 1-3

Цели: научить учащихся построению по имеющимся статистическим данным таблиц и диаграмм заданного типа; использовать табличный процессор для наглядного представления информации; читать готовые диаграммы, извлекая из них нужную информацию.

Методы обучения: беседа, выполнение практических работ на компьютере, демонстрация на компьютере, решение задач.

Форма контроля: проверка выполненных на компьютере упражнений, самостоятельно решенных задач.

Ход занятия

Объяснение нового материала.

На экран проецируется изображение окна табличного процессора. В ходе объяснения учитель выполняет описываемые в лекции действия на компьютере.

Лекция-демонстрация.

«Статистика знает всё», - утверждали Ильф и Петров в своем знаменитом романе «Двенадцать стульев» и продолжали: «Известно, сколько какой пищи съедает в год средний гражданин республики... Известно, сколько в стране охотников, балерин, станков, велосипедов, памятников, маяков и швейных машинок... Как много жизни, полной пыла, страстей и мысли, глядит на нас со статистических таблиц!..» Это ироническое описание дает довольно точное представление о статистике (от лат. status - состояние) - науке, изучающей, обрабатывающей и анализирующей количественные данные о самых

разнообразных массовых явлениях в жизни. Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения на товары, прогнозирует рост и падение производства и потребления. Медицинская статистика изучает эффективность различных лекарств и методов лечения, вероятность возникновения некоторого заболевания в зависимости от возраста, пола, наследственности, условий жизни, вредных привычек, прогнозирует распространение эпидемий. Демографическая статистика изучает рождаемость, численность населения, его состав (возрастной, национальный, профессиональный). А есть еще статистика финансовая, налоговая, биологическая, метеорологическая...

Статистика имеет многовековую историю. Уже в древнем мире вели статистический учет населения. Однако произвольные толкования статистических данных, отсутствие строгой научной базы статистических прогнозов позволили в конце ХГХ века английскому премьер-министру Б. Дизраэли не без основания заметить: «Есть три вида лжи: просто ложь, наглая ложь и статистика». В XX веке появилась математическая статистика - наука, основанная на законах теории вероятностей. Соединение накопленных к этому времени практических методов обработки данных с математическим аппаратом теории вероятностей превратило эти две отрасли человеческого знания в мощный инструмент для исследования законов природы и общества.

Статистические данные. Так называют данные (чаще всего -числовые), полученные в результате различных наблюдений, опросов, экспериментов.

Статистических данных всегда нужно много. Чтобы не «утонуть» в этом море цифр, их представляют в удобном для человека виде. Наиболее простой и употребительной формой такого представления является таблица.

Любой из нас, открывая книгу или газету, включая телевизор или попадая на вокзал, постоянно сталкивается с табличной формой представления информации: расписание уроков, расписание движения поездов, таблица умножения, таблицы спортивных чемпионатов, программа телепередач и т. д.

Появившиеся во второй половине прошлого века электронно-вычислительные машины многократно расширили возможности, связанные с обработкой статистических данных. Но настоящую революцию в автоматизации статистических исследований произвел персональный компьютер, появившийся с 80-х годов XX века на рабочем столе каждого статистика. Сегодня существуют десятки и даже сотни специализированных программ, предназначенных для обработки и анализа статистических данных. Упомянем здесь лишь наиболее популярные среди специалистов: SPSS, Statistica, STADIA, ЭВРИСТА и др. Использование таких пакетов полностью избавляет исследователя от рутинного счета и позволяет сосредоточиться на творческих вопросах: постановке задачи, выборе наиболее оптимальных методов ее решения, интерпретации результатов.

Однако использование любого из этих пакетов в школе, безусловно, вызовет массу трудностей. Придется потратить значительные усилия на освоение интерфейса, специальных терминов и т. д., чтобы использовать потом меньше 1 % всех возможностей пакета.

К счастью, есть еще одна разновидность программ, удачно сочетающих простоту использования с огромными вычислительными возможностями. Речь идет об электронных таблицах. Появившись почти одновременно с персональными компьютерами, эти замечательные программы завоевали огромную популярность среди экономистов, финансистов, социологов и других специалистов, которые, не будучи профессионалами в области статистических исследований, тем не менее вынуждены по долгу службы заниматься в той или иной форме анализом статистической информации.

На уроках информатики вы наверняка знакомились с электронной таблицей MS Excel, которая есть сейчас на любом персональном компьютере, работающем в Windows.

Принцип работы электронной таблицы очень прост. Как и "Зычная «бумажная» таблица, она состоит из строк и столбцов, на пересечении которых образуются ячейки. В ячейках можно \ранить данные - числа, строки, даты. Каждая ячейка имеет индивидуальный адрес, состоящий из буквы (столбец) и числа (строка).

Вот такая умная таблица! Если же какой-то адрес в формуле корректировать не нужно, то необходимо записать его в так называемом абсолютном представлении, поставив специальный знак «$» перед буквой и числом, например: $В$3. Это адрес той же ячейки ВЗ, но при копировании формулы с таким адресом он корректироваться не будет.

Теперь несложно сообразить, какими действиями можно заполнить столбец «На руки»: сначала вводим в ячейку D2 формулу = В2 -С2, а затем протягиваем ее на весь столбец.

А

"в

С

D

1

ФИО

Оклад

Налог

На руки

²

Иванов

3200

416

2784

Петров

5600

728

4872

4

Сидоров

4200

546

3654

5

Николаев

3800

494

3306

1 6

Итого

и < ► и \Зарплата/

Кроме обычных арифметических операции В формулах могут использоваться самые разные математические (и В том числе статистические) функции. Для вызова библиотеки функции достаточно при вводе формулы нажать на кнопку- «Вставка функции». Функция суммирования настолько часто используется В таблицах, что для нее сделана отдельная кнопка со знаком суммирования 1 Именно с ее помощью заполнена последняя, итоговая строка нашей таблицы:

аблица 1

1

А

В

С

D

²

Иванов

3200

416

2784

₃

Петров

5600

728

4872

⁴

Сидоров

4200

546

3654

5

Николаев

3800

494

3306

6

Итого

16800

2184

14616

► и \Зарплата/

Итак, мы убедились, что таблицы позволяют представить статистическую информацию в более удобной для восприятия форме. Еще более удобным для человека способом представления информации является графический.

Кроме замечательных вычислительных «способностей», современные электронные таблицы обладают не менее замечательными - графическими.

А для начала вспомним, что такое диаграммы, их разновидности и параметры.

Диаграмма - это чертеж, на котором численные данные представлены с помощью геометрических объектов (точек, линий, фигур различной формы и различных цветов) и вспомогательных элементов (осей координат, условных обозначений, заголовков и т. п.). В зависимости от типа используемых геометрических объектов диаграммы делятся на точечные, линейные, плоскостные и пространственные (объемные). Плоскостные и пространственные диаграммы могут составляться из объектов различной формы и бывают, например, столбиковыми, круговыми, фигурными и т. д. На рисунке представлена объемная столбиковая диаграмма.

□ Ручки В Карандаши □ Пеналы

2003 2004 2005

Сравнение и сопоставление геометрических объектов на диаграммах может происходить по различным измерениям: по площади фигуры или ее высоте, по местонахождению точек, по их густоте, по интенсивности цвета и т. д. Кроме того, данные могут быть представлены в прямоугольной или полярной системе координат.

При построении диаграмм двухмерная таблица преобразуется в двухмерное графическое представление. Чаще всего одним из элементов диаграммы являются оси (кроме случая круговых диаграмм). На вертикальной оси (Y) откладываются числовые значения (столбцы/строки), для которых строится график. На горизонтальной оси (X) - категории. Для увеличения наглядности диаграмм оси X и Y могут иметь наименование (заголовки осей).

Каждое значение числа из диапазона, по которому строится диаграмма, преобразуется в информационную точку (в столбиковой диаграмме это столбец, в круговой - сегмент круга).

Диаграмме можно также присвоить заголовок, который отражает ее содержание и назначение.

При построении диаграммы очень важно выбрать такой способ изображения статистических данных, который может представить их наиболее наглядно. Для этого необходимо подобрать наиболее подходящий тип диаграммы и ее параметры, обратить внимание на ее размер (он должен соответствовать назначению) и общую композицию рисунка.

Наиболее наглядными и поэтому часто используемыми являются следующие виды диаграмм: столбчатая, линейная, круговая (секторная).

Столбчатая диаграмма используется для наглядного сравнения данных либо для представления изменения данных за определенный промежуток времени.

Принцип построения такой диаграммы состоит в изображении статистических показателей в виде поставленных по вертикали прямоугольников - столбиков. Каждый столбик изображает величину отдельного уровня исследуемого статистического ряда. Таким образом, сравнение статистических показателей возможно потому, что все сравниваемые показатели выражены в одной единице измерения.

Правила построения столбчатых диаграмм допускают одновременное расположение на одной горизонтальной оси изображений нескольких показателей.

Разновидностями столбчатых диаграмм являются полосовые диаграммы. Их отличие состоит в том, что масштабная шкала расположена по горизонтали и она определяет величину полос по длине.

Столбчатые и полосовые диаграммы как прием графического изображения статистических данных, по существу, взаимозаменяемы, то есть рассматриваемые статистические показатели равно могут быть представлены как столбиками, так и полосами. В обоих случаях для изображения величины явления используется одно измерение каждого прямоугольника - высота столбика или длина полосы. Поэтому и сфера применения этих двух диаграмм в основном одинакова.

Достаточно распространенным способом графического изображения структуры статистических совокупностей является круговая диаграмма, так как идея целого очень наглядно выражается кругом, который представляет всю совокупность.

Возраст сотрудников 10%

35%

Относительная величина каждого значения изображается в виде сектора круга, площадь которого соответствует вкладу этого значения в сумму значений. Этот вид графиков удобно использовать, когда нужно показать долю каждой величины в общем объеме.

Для этого строятся круги, пропорциональные объему изучаемого признака, а затем секторами выделяются его отдельные части.

Для изображения и вынесения суждений о развитии явления во времени строятся диаграммы динамики, при этом используются столбчатые, круговые, полосовые, радиальные и другие диаграммы. Выбор вида диаграмм зависит в основном от особенностей исходных данных, цели исследования. Например, если имеется ряд динамики с несколькими уровнями во времени (1914, 1949, 1980, 1985, 1996, 2000, 2005 гг.), то часто для наглядности используют столбчатые или круговые диаграммы. Они зрительно впечатляют, хорошо запоминаются, но не подходят для изображения большого числа уровней, так как получаются слишком громоздкими.

0 J

2000 2001 2002 2003 2004 2005
-•-Экспресс -♦-Стрела Юность

Когда число уровней в ряду динамики велико, целесообразно применять линейные диаграммы, которые воспроизводят непрерывность процесса развития в виде непрерывной ломаной линии. Кроме того, линейные диаграммы удобно использовать, если целью исследования является изображение общей тенденции и характера развития явления; когда на одном графике необходимо изобразить несколько динамических рядов с целью их сравнения; если наиболее существенным является сопоставление темпов роста, а не уровней.

Для построения линейных графиков применяют систему прямоугольных координат. Обычно по оси абсцисс откладывается время (годы, месяцы и т. д.), а по оси ординат - размеры изображаемых явлений или процессов. На оси ординат наносят масштабы.

Нередко на одном линейном графике приводится несколько кривых, которые дают сравнительную характеристику динамики различных показателей или одного и того же показателя.

Однако на одном графике не следует помещать более трех-четырех кривых, так как большое их количество неизбежно осложняет чертеж и линейная диаграмма теряет наглядность.

Еще один интересный тип диаграмм позволяет наглядно показать наличие (или отсутствие) связи между двумя различными величинами. Пусть, например, имеются данные о площади и стоимости квартир, полученные из газетных объявлений:

Площадь, кв. м

0

6

8,8

4,2

4

4,6

5

9

7,4

6,6

Цена, тыс. долл. США

4

2

7

2

9

0

6

8

4

8

Чтобы убедиться, что между этими величинами есть самая непосредственная связь, можно нанести их на так называемую диаграмму рассеивания, или точечную диаграмму.

50

10 20 30 40 Площадь, кв. м

Из диаграммы видно, что с увеличением площади цена на квартиры увеличивается. В то же время жесткой зависимости между площадью и ценой нет, поскольку существуют и другие факторы, влияющие на формирование цены. На диаграмме хорошо видны точки, в которых площадь увеличилась, а цена уменьшилась.

Методы математической статистики позволяют найти количественную меру зависимости цены квартиры от площади и даже выписать примерное уравнение связи между ними:

у = 0,692х; + 3,8523.

Построение диаграмм и графиков в MS Excel.

40

ША

35

л С

30

с о

25

ч

6

20

л

F

15

га

X

Q

10

3

5

Для построения диаграммы или графика в Excel предназначена иконка с изображением нескольких цветных столбиков. Нажа

тие на нее запускает «мастер диаграмм», предлагающий определить тип диаграммы, отображаемые данные, надписи и т. п. Многие из параметров диаграммы компьютер устанавливает по умолчанию. Впоследствии эти параметры можно отредактировать по своему усмотрению.

Перед запуском «мастера диаграмм» рекомендуется выделить диапазон ячеек, содержащих отображаемые данные. Это поможет избежать ручного ввода этих диапазонов. Следует, однако, обратить внимание, что компьютер по-разному интерпретирует столбцы (строки) выделенных данных для диаграмм различного типа. Нужно всегда внимательно проверять правильность отображения данных.

Для построения диаграммы нужно последовательно пройти 4 шага:

1) Выбрать тип диаграммы.

да. Щелчок левой кнопкой мыши на цветном квадрате справа от соответствующего поля запускает мастер, дающий возможность определить диапазон данных с помощью мыши. Следует задать имя для каждого ряда (вместо «ряд 1», ... , используемых по умолчанию). Именно под этим именем ряды перечисляются в легенде (подписи рядов), обычно расположенной справа от диаграммы. Для некоторых типов диаграмм, отличных от графика или точечной диаграммы, на той же вкладке «ряд» задаются подписи категорий.

Ряд

Исходные данные

Диапазон данных

стер диаграмм (шаг 1 из 4): тип диаграммы f? ]

■pf I Гистограмма

Ц£ Линейчатая

График

! ф Круговая

; Точечная

¹ |Д С областями

: ф Кольиевая

ф% Лепестковая

Јjp Поверхность

•j Пуэыръкоеая

У1

! Стандартные ; Нестандартные Tim:

Вид:

_т

щ

_ш

РЯД

ть удалить

Подписи оси X:

Имя: |Зарплата

53 !

Значения: -ЗарпяатаЦР$2: jP$5 W:\

=Зарплата!5А52:5А55

Обычная гистограмма отображает значения различных категорий.

Отмена I < Назад I Далее > | I Готово

Просмотр результата

2) Определить исходные данные. Сначала указывается (обычно просто подтверждается), что данные расположены в столбцах либо в строках. Затем определяются (либо просто подтверждаются) сами диапазоны отображаемых данных. Они указываются в полях «Значения X», «Значения Y» для каждого ря-

3