Методическая разработка урока по математике Логарифмические уравнения

Пояснительная записка

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни - редкость. Но логарифмические уравнения были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

В структуре изучаемой дисциплины «Алгебра и начала математического анализа; геометрия» выделяется следующий раздел: «Корни, степени и логарифмы». Содержание раздела «Корни, степени и логарифмы» включает тему урока «Логарифмические уравнения» .

В результате изучения данной темы студент должен

Знать

- определение и свойства логарифмической функции;

- формулы логарифмирования и формулу перехода от одного основания логарифма к другому;

-понятие о логарифмического уравнения и равносильности уравнений;

- методы решения логарифмических уравнений.

Уметь

-определять и применять методы решения логарифмических уравнений в задачах;

- решать прикладные задачи с применением логарифмических функций

Тема урока : Логарифмические уравнения

Образовательная цель:

- ввести определение логарифмического уравнения;

-обобщить методы решения логарифмических уравнений;

-сформировать умения и навыки решения логарифмических уравнений.

Развивающая цель:

-развитие продуктивного мышления и навыков самоконтроля в процессе выполнения упражнений;

-развитие умений логически мыслить и аргументировано отстаивать свои убеждения.

Воспитательная цель:

-воспитывать информационную культуру и культуру общения, готовить обучающихся к

жизни в современном информационном обществе

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Вид урока: урок практикум

Методические приемы:

-ответы на вопросы;

-самостоятельная работа (тест);

-практический- решение математических и прикладных задач.

Межпредметные связи: физика, информатика, история

Оборудование и наглядные средства обучения: компьютерный класс с ОС Windows 8 и пакетом программ Microsoft Office 2010 (10 ПК), мультимедийный проектор, интерактивная доска SmartBoard, программа Notebook, колонки, демонстрационный и раздаточный материал, презентация в Notebook, в Power Point.

Методическая цель: способы активизации мыслительной деятельности студентов

Ход урока:

I.Организационный момент: Подготовка учащихся к уроку

ΙΙ. Актуализация опорных знаний.

1) Определение и свойства логарифмической функции;

2) Формулы логарифмирования и формулу перехода от одного основания логарифма к другому;

3) Понятие о равносильности уравнений.

Два уравнения с одной переменной f(x)=g(x) и p(x)=h(x) называют равносильными, если множества их корней совпадают.

4)Используя основные свойства логарифмической функции и правила логарифмирования, установите закономерность заполнения таблицы и найдите х.

1 группа

1

2

8

3

х=5 ^{log 2}=2 х=2

5

Х

log2

2

3

2

9

х^lg3=3 х=10

Х

lg3

3

3

64

4

3

2^{log 7}=7 х=2

7

2

log7

2группа

1

5

Х

log6

х=5^{log 6} х=36

3

81

4

2

lg5

Х

lg7

х=lg5+lg7=lg35 х=lg35

7

12

5

3

log27

log3

X

х= =3 х=3

6

3

2

3 группа

1

Х

2log5

х== х=5

2

32

5

2

7

2

5

х=log₃24-3log₃2 = log_{3 =}log ₃3 =1 х =1

log24

3log2

x

3

3

5

125

3 ^{log 5} =5 х=3

log_х 5

3

5

ΙΙΙ. Изучение нового материала.

Определение: Логарифмическими уравнениями называются уравнения, в которых неизвестная содержится только под знаком логарифма (в частности в основании логарифма)

Например: lg(x-3)=2, log_x5=3log₅(2x), log₅x log₂(x-3)=2log₅x.

Методы решения:

• Уравнения, решаемые с помощью определения логарифма;

• Уравнения, решаемые потенцированием;

• Уравнения, решаемые разложением на множители;

• Уравнения, решаемые введением вспомогательной переменной.

Учащиеся работают в группах. Каждая группа должна определить метод решения и решить предложенные уравнения.

Решить уравнения:

1группа

1

log₃(1-2x)=1

ОДЗ: 1-2х0 х0,5

1-2х=3¹х=-1

Ответ: х= -1

2

log₂(x-12)=2

ОДЗ: х12

х-12=2х=16

Ответ: х=16

3

log_x( )=-1,5

ОДЗ:

х^-1,5=5^-1,5х=5

Ответ: х= 5

4

log_x=-0,4

ОДЗ:

х^-0,4=6^-0,4х=6

Ответ: х= 6

Вывод: Уравнения, решаемые с помощью определения

логарифма.

2 группа

1

log₂x-log₂11=log₂19-log₂(30-x)

ОДЗ: 0

х(30-х)=11*19

х ² -30х+209=0

х₁=11, х₂=19

Ответ:

2

log₅x-log₅(2x-5)=log₅8-2log₅

ОДЗ:

х²-3х=4х-10

х²-7х+10=0

х₁=2

х₂=5

Ответ: х=5

3

lg(x+1)+lgx=lg6

ОДЗ:х

х(х+1)=6

х²+х-6=0

х₁=-3

х₂=2

Ответ: х=2

4

log₃(x-6)-log₃2=1+log₃(x-10)

ОДЗ: х10

2log₃(x-6)-log₃2=2+log₃(x-10)

х²-30х+216=0

х₁=12, х₂=18

Ответ:

х₁=12,

х₂=18

Вывод: Уравнения, решаемые потенцированием.

3 группа

1

log₃²(x+2)=5log₃(x+2)

ОДЗ: х+20, х

log₃(x+2)(log₃(x+2)-5)=0

1. log₃(x+2)=0 x+2=3⁰

x=-1

2. log₃(x+2)=5 x+2=3⁵

x=241

Ответ: х₁=-1

х₂=241

2

log₂x lg(x+1)-2log₂x=0

ОДЗ: х0

log₂x(lg(x+1)-2)=0

1. log₂x=0 x₁=2⁰=1

2. lg(x+1)=2 10²=x+1

x₂=99

Ответ:

х₁=1

х₂=99

3

2log₃x log₂-

ОДЗ:

2log₃x log₂-5log₃x=0

log₃x(log₂(x-5)-5)=0

1. log₃x=0x₁=3⁰=1

2. log₂(x-5)=5x=2⁵+5

т.е. х=37

Ответ: х=37

4

log₄²x=6log₄

ОДЗ: х0

log₄x(log₄x-3)=0

1. log₄x=0x₁=4⁰=1

2. log₄x-3=0 log₄x=3

x=4³=64

Ответ:

х₁=1,х₂=64

Вывод: Уравнения, решаемые путем разложения на множители.

4 группа

1

log₃²x-3log₃x+2=0

ОДЗ: х0

Пусть у= log₃x, тогда получим уравнение

у²-3у+2=0 у₁=1 у₂=2

1. log₃x=1 х₁=3

2. log₃x=2 х₂=3²=9

Ответ: х₁=3 х₂=9

2

log_x²-log_x3+=0

ОДЗ:

log_x²3-log_x3+=0

Пусть у= log_x3, тогда получим уравнение

у²-6у+5=0у₁=1;у₂=5

1. log_x3=1 т.е. х=3

2. log_x3=5 т.е.х⁵=3 х=

Ответ:

3

ОДЗ:

2(lgx+2)+3(lgx+1)=2(lg²x+3lgx+2)

2lg²x+lgx-3=0

1. lgx=-x₁=10^-3/2

2. lgx=1 x₂=10

Ответ:

4

log₃x+log_x3=2

ОДЗ:

log₃x+

log₃²x-2log₃x+1=0

log₃x=1 x=3

Ответ: х=3

Вывод: Уравнения, решаемые введением вспомогательной переменной

ΙV. Закрепление пройденного материала.

1. х^{lg x+lg x -12}=10^2lgx

Данные уравнения называются показательно - логарифмическими.

ОДЗ: х0

Способ решения: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10.

(lg²x+5lgx-12)lgx=2lgx

lgx(lg²x+5lgx-14)=0

а) lgx=0 x=10⁰=1

б) lg²x+5lgx-14=0 lgx=-7 , т.е. х₁=10^-7

lgx=2, x₂=10²=100

Ответ:

2. Решите уравнение: log₂(x-3)+x=9 (*)

Данные уравнения называются трансцендентные уравнения

Способ решения: Графический способ решения.

Преобразуем данное уравнение, к виду log₂(x-2)=9-x

На одном чертеже построим графики функций у=log₂(x-3) и у=9-х

Графики пересекаются в точке А(7;2).

Следовательно, х=7 - корень уравнения.

Ответ: х=7

Применение логарифма в географии

1. На какой высоте над уровнем моря находится школа «Арктика», если давление воздуха убывает с высотой по закону

если р₀ = 760 мм.р.с. (давление на уровне моря); р = 677 мм.р.с. (давление воздуха на 21 марта 2013 г в г.Нерюнгри на высоте h)

Применение логарифма в географии (экономике)

2. По данным Интернета, по численности домашних северных оленей, Якутия занимает второе место в РФ, уступая только Ямало-Ненецкому автономному округу: на конец 2012 г., поголовье домашних северных оленей за год выросло с 200861 до 205 428 голов. Через сколько лет поголовье оленей

достигнет количества победителей - Ямало-Ненецкого автономного округа (683300 голов).

S - итоговая сумма

А - начальная сумма

р - процент изменения

n - количество необходимых лет

Вывод: Полвека это огромный срок, чтобы достичь лидерства в такой отрасле хозяйства поэтому нужно увеличенье поголовья оленей на больнее количество процентов.

Применение логарифма в физике

3. Коэффициент звукоизоляции стен рассматривается по закону

где р₀ - давление звука до поглащения, р - давление звука, прошедшего через стену: А - некоторая постоянная, равная 20дБ. Вычислите давление звука до поглащения домах г. Нерюнгри, в том числе в школе Арктика, если коэффициент звукоизоляции железобетонной стены равен 50дБ.

Вывод: Стена снижает давление звука в 316 раз, т.е. стены домов хорошая звукозащита

Тестирование (подготовка к экзамену)

le-savchen.ucoz.ru/

• 1. Найдите значение выражения
  12
  4
  6
  8

• 2.Найдите значение выражения
  35
  30
  140
  28

• 3.Найдите значение выражения
  36
  12
  -16
  16

• 4. Найдите значение выражения
  2
  5
  -0,5
  -4

• 5. Найдите значение выражения
  1,5
  2
  3
  6

• 6. Найдите значение выражения
  2
  -2
  0,6
  36

• 7. Найдите значение выражения
  -2
  -8
  -3
  6

• 8. Найдите значение выражения
  5
  0,2
  -1
  -0,1

• 9. Найдите значение выражения
  5
  2
  0,5
  -2

• 10. Найдите значение выражения
  0,25
  5
  2
  4
  
  

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

3

2

2

4

1

1

3

2

4

1

VI. Итоги урока: Проверка теста, выставление оценок

V.Домашняя работа

Тест

по теме: «Логарифмическая функция»

Вариант - 1

Задания уровня А

1. Вычислите log₂ 16.

1. 16

2. 2

3. 1

4. 4

2. Вычислите log₃ 3.

1. 3

2. 0

3. 1

4. 2

3. Вычислите log₃ .

1. 2

2. - 2

3. 1

4. 3

4. Вычислите .

1. 5

2. 2

3. 16

4. 1

5. Вычислите .

1. 3

2. 2

3. 8

4. 9

6. Найдите х, если log_x 36 = 2.

1. 6

2. 2

3. 36

4. 64

7. Вычислите log₂ 2 log₃ 81.

1. 81

2. 2

3. 4

4. 3

8. Вычислите log₁₂ 2 + log₁₂ 72.

1. 2

2. 3

3. 1

4. 12

9. Вычислите log₅ 75 - log₅ 3.

1. 2

2. 1

3. 5

4. 3

10. Чему равно log_ab + log_ac?

1. log_a (b + c)

2. log_a (b - c)

3. log_a bc

4. log_a

11. Назовите область определения функции у = log₂ (x - 2).

1. (0; )

2. (1;+ )

3. (- ;1)

4. (- ; + )

12. Решите уравнение log₂ x = - 2.

1. 4

2. 

3. - 2

4. - 4

13. Решите уравнение log₃ (x + 2) = 1

1) 1

2) 3

3) - 1

4) 2

Тест

по теме: «Логарифмическая функция»

Вариант - 2

Задания уровня А

1. Вычислите log₃ 27.

1. 2

2. 1

3. 27

4. 3

2. Вычислите log₄ 1.

1. 1

2. 4

3. 0

3. Вычислите log_1/2 4.

1. 4

2. 2

3. 2

4. Вычислите .

1. 13

2. 6

3. 1

4. 2

5. Вычислите .

1. 2

2. 15

3. 3

4. 9

6. Найдите х, если log₂ 4=x.

1. 4

2. - 2

3. 2

4. 1

7. Вычислите log₃ log₂ 8.

1. 8

2. 3

3. 2

4. 1

8. Вычислите lg 5 -lg 2.

1. 1

2. 7

3. 3

4. 10

9. Вычислите log₃ 15 - log₃ 5.

1. 1

2. 10

3. 3

4. 0

10. Чему равно log_ab^k?

1. b^k;

2. k

3. log_a b

4. k log_a b

11. Назовите область определения функции y = log_0,5 (x + 5).

1. (- 6; + )

2. (5; + )

3. (- ; 5)

4. (- ; - 5)

12. Решите уравнение log₆ x = 2.

1. 3

2. 36

3. 64

4. 6

1. Решите уравнение log₅ (x - 3) = 2.

1) 28

2) 25

3) 2

4) 5

Ключи ЛОГАРИФМЫ

Вариант 1

Вариант 2

А1 4

А1 4

А2 3

А2 3

А3 2

А3 2

А4 3

А4 1

А5 3

А5 4

А6 1

А6 2

А7 2

А7 4

А8 1

А8 1

А9 1

А9 1

А10 3

А10 4

А11 2

А11 1

А12 2

А12 2

А13 1

А13 1

Интернет-ресурсы:

ziimag.narod.ru - персональный сайт автора Мордковича А. Г. "Практика развивающего обучения".

math.ru -Интернет - поддержка учителей математики.

it-n.ru-Сеть творческих учителей. Материалы и ресурсы, касающиеся использования ИКТ в учебном процессе:

- библиотека готовых учебных проектов с применением ИКТ, а также различные проектные идеи, на основе которых можно разработать свой собственный проект;

- библиотека методик проведения уроков использованием разнообразных электронных

ресурсов;

- руководства и полезные советы по использованию программного обеспечения в учебном процессе;

- подборка ссылок на интересные аналитические и тематические статьи для педагогов.

exponenta.ru -Образовательный математический сайт. Содержит материалы по работе с математическими пакетами Mathcad, MATLAB, Mathematica, Maple и др. Методические разработки, примеры решения задач, выполненные с использованием математических пакетов. Форум и консультации для студентов и школьников.

http:school-collection.edu -Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов. Цифровые образовательные ресурсы (ЦОР) к учебникам.

intellectcentre.ru - сайт издательства «Интеллект-Центр», -тренировочные материалы, демонстрационные версии, банк тренировочных заданий с ответами, методические рекомендации и образцы решений.