Обобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений» Алгебра и начала анализа. 11 класс

Обобщающий урок по теме «Решение логарифмических уравнений»

(учитель Клокова Т.Ю. МБОУ СКОШ №36 г. Озерск Челябинской области)

Цель: 1. Обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме.

2. Расширить знания учащихся.

3. Учить находить «красивое» решение уравнений.

4. Показать нестандартные подходы к решению комбинированных уравнений.

План:

1. Фронтальный опрос

2. Методы решения логарифмических уравнений.

3. «Учимся на чужих ошибках»

4. Решение комбинированных уравнений.

5. Обучающая самостоятельная работа.

6. Задание на дом (дать комментарии к решению)

7. Итог урока.

Фронтальный опрос

Дать определение уравнения

Равенство, содержащее переменную, называется уравнением.

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение - значить найти его корни или доказать, что корней нет.

Что такое корень уравнения?

Значение переменной, при которой уравнение обращается в верное равенство, называется корнем уравнения.

Что такое область определения уравнения?

Областью определения уравнения называется множество значений переменной уравнения f(x)=g(x), при которых одновременно имеют смысл f(x) и g(x).

Какие уравнения называются равносильными?

Уравнения, имеющие одинаковые корни или не имеющие корней называются равносильными.

Следствия равносильности

1. Если к обеим частям уравнения f(x)=g(x) прибавить одну и ту же функцию у(х) определенную при всех значениях переменной из области определения данного уравнения, то уравнение f(x)+ у(х) =g(x)+у(х) равносильно данному.

2. Если к оби части уравнения f(x)=g(x) умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение равносильное данному.

Равносильны ли уравнения?

1. (да)

2. (нет)

(нет)

(нет)

Что такое логарифм?

Логарифмом положительного числа b по основанию a (а>0, a) называется показатель степени Х, в которую нужно возвести а, чтобы получить b, т. е

Какое уравнение называется логарифмическим?

Уравнение, в котором переменная находится под знаком логарифмической функции.

Свойства логарифмов

-

При решении логарифмических уравнений применяются следующие методы:

1. Решение уравнений, основанное на применении определения логарифма.

2. Решение с помощью потенцирования.

3. Применение основного логарифмического тождества.

4. Введение новой переменной.

5. Использование логарифмирования.

6. Переход к логарифму с новым основанием.

( При решении логарифмических уравнений необходима проверка все найденных корней или нахождения области определения уравнения, т.е. соблюдение равносильных переходов)

1. Метод, основанный на определении логарифма .

По определению логарифма имеем:

, то есть (свели уравнение к показательному уравнению, которое решается методом введения нового неизвестного),

.

Следовательно .

: 2 корня, по обратной теореме Виета имеем: _{,следовательно}

- не удовлетворяет условию .

Имеем: .

Проверка: если , тогда

- верно.

Ответ: .

2. Метод, использующий монотонность логарифмической функции (метод потенцирования).

Для каждой монотонной функции из равенства следует, что .

Рассмотрим уравнение вида при решением этого уравнения будут все те решения уравнения , для которых (или ).

Поэтому уравнение можно решить по алгоритму:

1. Найти ОДЗ уравнения;

2. Решить на ОДЗ этого уравнения равносильное ему уравнение .

Конечно, не все уравнения будут иметь вид _, поэтому необходимы будут преобразования, используя свойства логарифмической функции.

Так как , то ; _, получаем .

Исходное уравнение, используя свойства логарифмической функции можно представить в виде:

данное уравнение при равносильно уравнению:

.

Возведем в квадрат, получим

следовательно, уравнение имеет два корня:

, так как , то посторонний корень.

.

Ответ: .

Замечание: переход от равенства к равенству называется потенцированием по основанию при . Совершая потенцирование мы совершаем переход, не являющийся равносильным, поэтому нужна проверка.

3. Применение основного логарифмического тождества

Найдем ОДЗ:

; ; , следовательно .

Применив в правой части основное логарифмическое тождество, получим:

, следовательно, уравнение примет вид:

.

Используя определение логарифма, получаем:

;

.

Пусть , имеем:

;

;

следовательно, 2 корня

; .

или .

Но не входит в ОДЗ, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: .

4. Применение логарифмирования.

Логарифмирование по основанию представляет собой переход от равенства к равенству , для этого .

Решим уравнение .

Уравнение содержит неизвестную величину, как в основании, так и в показателе степени, его можно решить, логарифмируя левую и правую часть по основанию 10, так как в условии уже имеется десятичный логарифм. Получаем:

, где .

.

Введем новую переменную и учитывая, что получаем:

или .

Вернемся к замене:

или

Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Все преобразования были тождественны, следовательно, оба корня являются решение уравнения.

Ответ: .

5. Введение нового неизвестного

ОДЗ .

Пусть , тогда

.

по обратной теореме Виета получаем:

; .

или .

Оба корня входят в ОДЗ.

Ответ: 10; 10000.

6. Переход к логарифму по новому основанию

Найдем ОДЗ:

; , следовательно, .

Перейдем в уравнении к логарифму по основанию 3, получим:

, следовательно,

.

Введем новое неизвестное , получаем:

, что тождественно

, следовательно, 2 корня.

; .

Получаем:

или

Оба корня больше -1 и не равны нулю, то есть входят в ОДЗ.

Ответ: ; 8.

Учимся на чужих ошибках.

1. Решить уравнение

Решение: логарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

Ответ: .

Приведенное решение не верно. Логарифмировать данное уравнение нельзя, так как выражение . Функция в левой части уравнения принимает только положительные решения, поэтому исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

2. Решить уравнение .

Используя свойства логарифмов, имеем:

Ответ: 0; 4.

Приведенное решение не верно, так как нет проверки или оценки ОДЗ. является посторонним корнем.

Ответ: 4.

3. Решить уравнение

, что тождественно ;

Ответ: 5.

Решение не верно, так как нет проверки и нарушена операция потенцирования. Верный ответ .

4. Решить уравнение

; ;

;

.

Ответ: .

Решение не верно, так как не учтено условие , исходя из которого , следовательно корень не входит в ОДЗ.

Ответ: .

Решение комбинированных уравнений (задания повышенной сложности)

Чем осложнено это уравнение? Какие нужны знания при решении этого уравнения?

Решение:

Найдем ОДЗ:

; ; .

;

;

.

По определению модуля имеем:

Рассмотрим два случая:

Первый случай: ;

Решим неравенство методом параболы. Получим .

отсюда получаем .

Второй случай: ; , следовательно, .

Ответ: ;

Найдем ОДЗ: , следовательно, корни лежат в I четверти: .

Перейдем к основанию 10:

, следовательно,

;

, делим на , так как из ОДЗ .

.

Выберем корни, лежащие в I четверти, получаем .

Ответ: .

Самостоятельная работа

Вариант 1

Решить уравнение .

Найдем ОДЗ: ; , следовательно .

возведем в квадрат, оно равносильно при .

, следовательно, 2 корня.

- не удовлетворяет ОДЗ

.

Ответ: 13.

Вариант 2

Решить уравнение .

;

или .

Проверка: при получаем: - верно.

При получаем , не удовлетворяет, так как основание логарифма должно быть положительным.

Ответ: 0.

*** МФТИ

ОДЗ:

Используем свойства логарифмов

*

подставим в * +0,22=0, сл.

D=1+2,24=3,24=

или

Решим уравнение:

Используя формулы получим:

, пусть , то

6

D=25-24=1

1),

,

Ответ:
,

Итог урока.

Домашнее задание (дать комментарий):

2. )

3.