Конспект к уроку по алгебре на тему Классическое определение вероятности

ГОУ СПО " Бахчисарайский колледж строительства, архитектуры и дизайна"

КОНСПЕКТ

занятия №16 ЕН.01 Математики с использованием ИКТ

Тема: Классическое определение вероятности. Основные аксиомы теории вероятностей. Решение элементарных задач, связанных с вычислением вероятностей событий.

Преподаватель

высшей квалификационной категории

Боровская Е.А.

Группа Д-13

Тип урока: занятие - лекция

Оборудование: компьютер, проектор, записи на доске.

Методические цели:

1) образовательная: познакомить с историей возникновения теории вероятностей,изученить основные понятия теории вероятностей, классическое определение вероятности события, научить находить вероятность события;

2) воспитательная: воспитание самостоятельности, творческого подхода к изучению нового материала;

3) развивающая: развитие логического мышления, умение выбирать материал для изучения.

Методическое обоснование темы:

Данная тема изучается в конце первого семестра и является частью темы "Элементы теории вероятностей " . Реализации ИКТ на занятии позволяет реализовать дифференцированный, личностно-ориентированный подход в обучении. Позволяет сформировать интерес к математике, как науке позволяющей решать задачи прикладного характера, связанные с выбранной будущей профессией.

Ход занятия:

1. Организационный момент

(Сообщение темы и целей урока)

2. Проверка домашнего задания.

3. Актуализация опорных знаний(работа по карточкам)

Повторение понятий комбинаторики: размещения, престановки, сочетания.

решение уравнений и задач,содержащих факториалы.

4.Историческая справка

(На экране демонстрируются портреты учёных-математиков)

Теория вероятностей - сравнительно молодая ветвь математики. Ее развитие как самостоятельной науки началось с переписки Паскаля и Ферма в 1654 году, хотя значительно раньше этих ученых многие математики занимались задачами, относящимися к азартным играм. Так, например, Лука Пачиоли (1445 - 1514) в своей книге «Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni e Proortiona1ita» рассматривал одну задачу о вероятностях, но пришел к ошибочному решению. Однако уже Кардано (1501 - 1576) и Галилей (1564 - 1642) правильно решали специальные теоретико-вероятностные задачи.

Понятие вероятности восходит к древним временам; оно было известно уже античным философам (вспомним, что во втором письме приведена цитата из Платона). Мысль о том, что законы природы проявляются через множество случайных событий, впервые возникла у древнегреческих материалистов. Ее подробное изложение дано в поэме Лукреция Кара «О природе вещей», важнейшие отрывки из которой цитируются в беседе Паскаля и Митона (и в примечаниях), приводимой в четвертом письме. В развитии теории вероятностей весьма большую роль играли задачи, связанные с азартными играми, в первую очередь с игрой в кости. Уже в древности игра в кости была популярна и любима.

В 1658 году появилась книга Христиана Гюйгенса (1629 - 1695) «О расчетах в азартных играх» («De ratiociniis in ludo aleae»), в которой давалось подробное изложение вопросов, рассмотренных Ферма и Паскалем (автор явно опирался на переписку этих двух ученых), но, кроме того, им было выдвинуто и много аналогичных вопросов. С работой Гюйгенса непосредственно связана основная работа Якоба Бернулли (1654 - 1705) «Искусство догадок» («Ars conjectandi»), которая была опубликована лишь после его смерти в 1713 году. В первой части своего труда Бернулли воспроизводит и комментирует книгу Гюйгенса, приводит полные решения тех вопросов, которые Гюйгенс поставил, но не решил. Однако важнейшей частью книги является четвертая, в которой изложен закон больших чисел. Произведение Монморта (1678 - 1719) «Опыт анализа азартных игр» («Essai d'analyse sur les jeux de hazard»), написанное несколько позже, чем «Искусство догадок» Бернулли, появилось раньше (в 1708 году). Оно также опирается на книгу Гюйгенса и тем самым косвенно связано с перепиской Паскаля и Ферма. То же можно сказать и относительно важнейшей работы Абрахама де Муавра (1667 - 1754) «Об измерении случайности, или о вероятностях результатов в азартных играх» («De Мепзига mortis seu de Probabilitate Eventuum in Ludis а Casu Fortuito Pendentibus»), которая была опубликована в журнале Philosophical Transactions в 1711 году.

Наряду с задачами азартных игр уже в самом начале возникновения теории вероятностей появились задачи, связанные с составлением таблиц смертности и вопросами страхования. В Лондоне уже с 1592 года велись точные записи о смертности. На основе этих записей Джон Граунт (1620 - 1674) в 1662 году впервые составил таблицы вероятности смерти как функции возраста. Несколькими годами позднее Ван Худде и Ван де Витт в Голландии, проделав аналогичные расчеты, использовали их для вычисления пожизненной ренты. Подробнее эти вопросы в 1693 году были изложены Галлеем. Не доказано, но вполне естественно предположить, что уже Паскаль обратил внимание на связь теории вероятностей с закономерностями смертности и страхованием.

5.Теоретическая часть. Изучение нового материала

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит.Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Рассмотрим полную группу равновозможных несовместных случайных событий. Такие события будем называть исходами. Исход называется благоприятствующим появлению события А, если появление этого события влечет за собой появление события А.

Пример. В урне находится 8 пронумерованных шаров (на каждом шаре поставлено по одной цифре от 1 до 8). Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные - черные. Появление шара с цифрой 1 (или цифрой 2 или цифрой 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8) есть событие, благоприятствующее появлению черного шара.

Вероятностью события A называют отношение числа m благоприятствующих этому событию исходов к общему числу n всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству .

Событие - это исход наблюдения или эксперимента.

Абсолютная частота показывает, сколько раз в серии экспериментов наблюдалось данное событие
Относительная частота показывает, какая доля экспериментов завершилась наступлением данного события.

Опыт (результат демонстрируется на экране)

Попробуем провести опыт с подбрасыванием двух монет. Подкиньте монеты 50 раз. Свои результаты запишите в таблицу, указанную ниже.

Затем сравните полученные Вами результаты с результатами ученика, проведшего 120 экспериментов. Он записывал полученный результат после 10, 20, 40, 60 и 120 экспериментов. Таблица представлена ниже.

Все четыре события вначале испытывают большие колебания, с увеличением же количества проведенных экспериментов располагаются около 0,25.

Статистическое определение вероятности: За вероятность случайного события можно приближённо принять его относительную частоту, полученную в длинной серии экспериментов.

6. Практическая часть

Задача 1. Какова вероятность того, что из наугад вынутая одна карта окажется дамой? (в колоде 36 листов, в колоде 52 листа), пиковой дамой?

РЕШЕНИЕ: А- она дама т = (т = п = (п =

()

В - она дама пиковой масти т = 1 (

Задача 2 Найдите вероятность того, что в начале игры «в дурака» (шесть игроков) при раздаче шести карт

А) все шесть - одномастные

Б) все карты - козыри

РЕШЕНИЕ: А) А - шесть карт одной масти т - благоприятные исходы:

п - общее число исходов:

Б) В- все козыри т = п =

Задача 3 Вы оказались в заколдованном замке и находитесь в круглом зале с 10 дверьми, 5 из которых заперты. Вам даётся один шанс избежать колдовства: Вы должны наугад выбрать две двери, одна должна быть открыта, другая закрыта. Найдите вероятность того, что через одну дверь можно выйти, но через другую вернуться уже нельзя.

РЕШЕНИЕ: т = п =

Задача 4 На каждой из 5 карточек написана одна буква. Несколько карточек наугад выкладывают одна за другой. Какова вероятность тог, что при выкладывании

а) 3 карточек получится слово Р О Т

б) 4 карточек получится слово С О Р Т

в) 5 карточек получится слово С П О Р Т

РЕШЕНИЕ:а) А - слово РОТ п - общее число исходов: = 60 т- благоприятное число :1

б) В - слово СОРТ п- общее число исходов: т- благоприятное: 1

в) С- слово С П О Р Т п = т = 1

Задача 5 В коробке 15 неразличимых конфет, из которых 7 с шоколадной начинкой

и 8 с фруктовой. Берут наугад две конфеты. Какова вероятность того, что

а) обе конфеты с шоколадной начинкой

б) обе конфеты с фруктовой начинкой

в) одна с шоколадной, другая с фруктовой

г) хотя бы одна с шоколадной

РЕШЕНИЕ: общее число исходов: п =

а) А - обе шоколадные т =

б) В - обе с фруктовой начинкой т =

в) С- одна с шоколадной, другая с фруктовой т =

г) D- или обе или одна с шоколадной начинкой т =

Задача6 Наудачу бросают два кубика. Какова вероятность того, что

а) на обоих кубиках выпало 5 очков?

б) выпало одинаковое число очков?

в) сумма выпавших очков равна 5?

РЕШЕНИЕ:

а) А- на первом кубике 5 очков

т - благоприятных исходов - 1 п - общее количество исходов - 6 Р(А) =

В - на втором кубике 5 очков (аналогично) Р(В) =

С- на обоих по 5 очков Р(С)

б) А- выпало одинаковое число очков

т - благоприятные исходы: 1 и 1, 2 и 2, 3 и 3, 4 и 4, 5 и 5, 6 и 6: всего 6 ожиданий

п - общее количество исходов 6² = 36

в) А - сумма равна пяти. т - благоприятные исходы:1 и 4, 2 и 3, 3 и 2, 4 и 1: всего 4 ожиданий

п - общее количество исходов 36

7. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ:

(задания демонстрируются на экране)

1. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Неграмотный мальчик перемешал буквы, а потом наугад их собрал. Какова вероятность того, что он опять составил слово «книга»?
2. Четырем игрокам раздается поровну колода из 32 карт. Какова вероятность того, что каждый игрок получил карты только одной масти?
3. На первом этаже девятиэтажного дома в лифт зашло 4 человека. Вероятность выхода каждого из лифта на любом этаже одинакова. Найдите вероятности событий:
|1| Все вышли из лифта на одном и том же этаже.
|2| Все вышли из лифта на пятом этаже.
|3| Все вышли из лифта на разных этажах.
4. Для каждого из следующих событий найдите число всех равновозможных исходов, число благоприятных исходов и вероятность.
|1| В кульке с конфетами 12 белых и 18 оранжевых драже. Какова вероятность того, что вытащенная конфета будет белой?
|2| Из русского алфавита случайным образом была выбрана буква. Какая вероятность того, что она гласная?
|3| Грабят банк нанотехнологий. Дежурный должен был сообщить одному из агентов о проишествии и отправить его на задание. Какова вероятность того, что этим агентом окажется именно Джеймс Бонд, если там, где он работает появилось еще 4 таких же хороших агента как он?
|3| Из словосочетания ДАННОЕ СЛОВО случайным образом была взята буква. Какова вероятность того, что буква:
а) гласная
б) согласная
в) в алфавите располагается после буквы О (это может быть и П, и Р, С...)

8. Подведение итогов занятия. Рефлексия. Выставление оценок.

9. Домашнее задание

1. Учительница по алгебре сказала, что в конце урока поставит пятерки четверым ученикам, случайно выбранным из журнала. Какова вероятность того, что
а) именно Вам достанется эта пятерка? б) она Вам не достанется?
в) все пятерки получат девочки? г) все пятерки получат мальчики?
д) пятерки достанутся отличникам? е) пятерки достанутся двоечникам?
ж) учительница передумает (если учесть, что весь класс на уроке будет баловаться)

2. Учитель истории знает, что 7 мальчиков и 10 девочек из класса были накануне в кино, поэтому не выучили домашнее задание. К сожалению, он не знает их фамилий, но очень хочет поставить кому-нибудь двойку. Кого ему лучше вызвать к доске - мальчика или девочку? (в классе 20 мальчиков и 13 девочек)