Метод рационализации при решении неравенств

Самым легким способом решения неравенств является способ решения рациональных неравенств методом интервалов, но не все неравенства имеют структуру, которая позволяет решать их этим методом. Поэтому цель работы – предложить метод решения сложных неравенств (неравенства, содержащие логарифмические, показательные, иррациональные выражения и выражения с модулями) путем замены множителей. Идея этого метода заключается в том, что неравенства повышенной сложности сводятся к решению рациональных неравен...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:











Метод рационализации при решении неравенств





Рыбенкова М.П.,

МБОУ «Школа №140»

учитель математики.

г.Н.Новгород











Содержание

1. Введение 3

2. Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих логарифмические функции. 4

3. Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих иррациональные выражения. 17

4. .Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих модули. 21

5. Метод рационализации при решении неравенств,

содержащих показательные функции. 27

6. Заключение. 31

7.Список литературы. 32







Введение.

Самым легким способом решения неравенств является способ решения рациональных неравенств методом интервалов, но не все неравенства имеют структуру, которая позволяет решать их этим методом. Поэтому цель работы - предложить метод решения сложных неравенств (неравенства, содержащие логарифмические, показательные, иррациональные выражения и выражения с модулями) путем замены множителей. Идея этого метода заключается в том, что неравенства повышенной сложности сводятся к решению рациональных неравенств. Оказывается, достаточно широкий класс неравенств подобную попытку допускает. Решение неравенства - это объединение конечного числа непересекающихся промежутков. Их легко задать одним рациональным неравенством, что во многих ситуациях позволяет быстрее двигаться к ответу, а иногда получать более эффективные схемы решения типовых неравенств.













Метод рационализации при решении неравенств, содержащих логарифмические функции.

Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение от единицы. Другими словами выражение вида (logaf - logag) имеет тот же знак (в области существования логарифмов) что и выражение (f-g)(α-1)

Выделим некоторые выражения и соответствующие рационализирующие выражения, позволяющие исключительно эффективно решать многие логарифмические неравенства, которые можно отнести к разряду повышенной сложности.

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Примеры решения логарифмических неравенств методом рационализации.

Приведем сравнение решения неравенства традиционным методом и методом рационализации:

№1. Решить неравенство:

Метод рационализации при решении неравенств

(метод рационализации)

Метод рационализации при решении неравенств

Решение:
Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Ответ:
Метод рационализации при решении неравенств

( традиционный метод)

Метод рационализации при решении неравенств

Решение:

1) ОДЗ: Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствилиМетод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств; Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств



  1. Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

б)Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Ответ:Метод рационализации при решении неравенств

№2. Решить неравенство:Метод рационализации при решении неравенств

Решение: Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

2Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств2Метод рационализации при решении неравенств

№3.Решить неравенство:Метод рационализации при решении неравенств

Решение: Метод рационализации при решении неравенств, Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Ответ: (Метод рационализации при решении неравенств

№4. Решить неравенство Метод рационализации при решении неравенств

Решение:

Метод рационализации при решении неравенств,Метод рационализации при решении неравенств,

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Ответ: (-1,5;-1)Метод рационализации при решении неравенств(-1;0)Метод рационализации при решении неравенств(0;3)

№5. Решить неравенство Метод рационализации при решении неравенств

Решение:Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств,

Метод рационализации при решении неравенств,

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Ответ: (-0,5;Метод рационализации при решении неравенств

№6. Решить неравенство
Метод рационализации при решении неравенствРешение:

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Ответ: (-1;0)Метод рационализации при решении неравенств

№7. Решить неравенство :Метод рационализации при решении неравенств.

Решение: Метод рационализации при решении неравенств,Метод рационализации при решении неравенств,

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: Метод рационализации при решении неравенств

№8. Решить неравенство Метод рационализации при решении неравенств

Решение:

Метод рационализации при решении неравенств,

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Ответ: Метод рационализации при решении неравенств

№9. Решить неравенство Метод рационализации при решении неравенств

Решение:
Метод рационализации при решении неравенств

а)

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

0,5Метод рационализации при решении неравенств, 1,6Метод рационализации при решении неравенств

ИмеемМетод рационализации при решении неравенств

следовательно Метод рационализации при решении неравенств;Метод рационализации при решении неравенств;Метод рационализации при решении неравенств

б) если x-3=1, x=2- не является решением (при x=2 Метод рационализации при решении неравенств) .

Ответ:Метод рационализации при решении неравенств;Метод рационализации при решении неравенств;Метод рационализации при решении неравенств

№10. Решить неравенствоМетод рационализации при решении неравенств

Решение:

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств,

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Ответ: Метод рационализации при решении неравенств

№11. Решить неравенство Метод рационализации при решении неравенств

Решение:

Метод рационализации при решении неравенств
Метод рационализации при решении неравенств Метод рационализации при решении неравенств Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств1Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: 1Метод рационализации при решении неравенств

№12. Решить неравенство Метод рационализации при решении неравенств

Решение:

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств)Метод рационализации при решении неравенств Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств; 0Метод рационализации при решении неравенств

Ответ:Метод рационализации при решении неравенств ; 0Метод рационализации при решении неравенств

№13. (Применение метода рационализации при решении неравенств с параметрами)

Решить неравенство.

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Рассмотрим два случая.

1)Пусть Метод рационализации при решении неравенств. Тогда получим, что Метод рационализации при решении неравенств и Метод рационализации при решении неравенств следовательно,

Метод рационализации при решении неравенствдля любых x, что не удовлетворяет условию задачи.

2) Пусть теперь Метод рационализации при решении неравенств . В этом случае Метод рационализации при решении неравенств и, для того чтобы неравенство Метод рационализации при решении неравенств было верно для любых x , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Метод рационализации при решении неравенств.

Получим систему:
Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: (Метод рационализации при решении неравенств)





Метод рационализации при решении неравенств, содержащих иррациональные выражения.

При решении неравенств, содержащих иррациональные выражения, используем следующее правило Метод рационализации при решении неравенств-Метод рационализации при решении неравенств(на области определения)

№1.Решите неравенство:
Метод рационализации при решении неравенств

Решение.
Метод рационализации при решении неравенств
Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

-7Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: -7Метод рационализации при решении неравенств1

№2.Решите неравенство

Метод рационализации при решении неравенств

Решение:
Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств
Ответ:
Метод рационализации при решении неравенств


№3Решите неравенство
Метод рационализации при решении неравенств


Решение:
Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: 0Метод рационализации при решении неравенств

№4Решить неравенство:

Метод рационализации при решении неравенств
Решение:
Метод рационализации при решении неравенств


Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств


Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Ответ:
Метод рационализации при решении неравенств

№5 Решить неравенство:


Метод рационализации при решении неравенств

Решение:
Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Ответ:
Метод рационализации при решении неравенств


№6.Решить неравенство:


Метод рационализации при решении неравенств

Решение:


Метод рационализации при решении неравенств


Метод рационализации при решении неравенств


Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Ответ:
Метод рационализации при решении неравенств


Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств



Метод рационализации при решении неравенств , содержащих модули.

Опорная информация, позволяющая указать удобные замены, заключается в двух основных свойствах модуля:

│m│2 = m2 и │m│≥0 для всех m,

а также в монотонном возрастании на множестве неотрицательных чисел функции y=t2.

Приведем типы замен:

Метод рационализации при решении неравенств,

Метод рационализации при решении неравенств,

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

№1.Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств: Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств


(Метод рационализации при решении неравенств,

(10x+32)(2Метод рационализации при решении неравенств(10x+32)2x(x+5)Метод рационализации при решении неравенств ,

-5Метод рационализации при решении неравенств Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: -5Метод рационализации при решении неравенств

Для решения дробных неравенств, содержащих модули удобно использовать следующее правило:
Метод рационализации при решении неравенств
Метод рационализации при решении неравенств


Метод рационализации при решении неравенств

Решение:

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

-6Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: -6Метод рационализации при решении неравенств

№3.Решить неравенство:
Метод рационализации при решении неравенств

Решение:
Метод рационализации при решении неравенств


Метод рационализации при решении неравенств


Метод рационализации при решении неравенств
Метод рационализации при решении неравенств

-9Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: -9Метод рационализации при решении неравенств

№4.Решить неравенство:
Метод рационализации при решении неравенств

Решение:

Метод рационализации при решении неравенств


Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств
Метод рационализации при решении неравенств

xМетод рационализации при решении неравенств , 2Метод рационализации при решении неравенств 4Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: xМетод рационализации при решении неравенств , 2Метод рационализации при решении неравенств 4Метод рационализации при решении неравенств

№5.Решить неравенство:
Метод рационализации при решении неравенств

Решение:
Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств
Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

Ответ: xМетод рационализации при решении неравенств

№6. Решить неравенство:

Решение:
Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств


Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствxМетод рационализации при решении неравенств, 3Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: xМетод рационализации при решении неравенств, 3Метод рационализации при решении неравенств

№7. Решить неравенство:



Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенствМетод рационализации при решении неравенств

-13Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: -13Метод рационализации при решении неравенств


Метод рационализации при решении неравенствРешить неравенство:
Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Ответ:
Метод рационализации при решении неравенств









Метод рационализации при решении неравенств, содержащих показательные функции



Можно установить, что разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания степени от единицы. Другими словами, выражение вида Метод рационализации при решении неравенств имеет тот же знак, что и выражение

(f -g)(а - 1) при а> 0 (если а=1, то выражения равны нулю)Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

№1.Решить неравенство:

Метод рационализации при решении неравенств

Решение:

Метод рационализации при решении неравенств;

Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: Метод рационализации при решении неравенств

№2.Решить неравенство:

Метод рационализации при решении неравенств

Решение:

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: Метод рационализации при решении неравенств

№3.Решить неравенство:

Метод рационализации при решении неравенств

Решение:

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: Метод рационализации при решении неравенств

№4.Решить неравенство:

Метод рационализации при решении неравенств

Решение:

Метод рационализации при решении неравенств;

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: Метод рационализации при решении неравенств

№5.Решить неравенство:Метод рационализации при решении неравенств

Решение:Метод рационализации при решении неравенств. На множестве Метод рационализации при решении неравенств

исходное неравенство равносильно Метод рационализации при решении неравенств

x(2x+1)(3x-7)Метод рационализации при решении неравенств

Получим Метод рационализации при решении неравенств

Ответ: Метод рационализации при решении неравенств

№6.Решить неравенство Метод рационализации при решении неравенств

Решение: Область определения неравенства: Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Применим метод рационализации неравенства:

Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

(x+1)x(x-1)Метод рационализации при решении неравенств

Метод рационализации при решении неравенств

Ответ:
Метод рационализации при решении неравенств

№7.Решить неравенство

Метод рационализации при решении неравенств

Решение:

Первый множитель в числителе заменяем на Метод рационализации при решении неравенств, второй на Метод рационализации при решении неравенств , третий наМетод рационализации при решении неравенств, четвертый на

Метод рационализации при решении неравенств, пятый на Метод рационализации при решении неравенств.

Первый множитель в знаменателе заменяем наМетод рационализации при решении неравенств, а второй на Метод рационализации при решении неравенств.

Получаем в области допустимых значений рациональное неравенство, равносильное исходному:

Метод рационализации при решении неравенств

Область существования всех множителей в исходном неравенстве представляет собой два промежутка: Метод рационализации при решении неравенств. В этой области множители Метод рационализации при решении неравенств знакопостоянны, и поэтому их знаменяем соотвестственно на (-1) и 1.

Знакопостоянны и трехчлены Метод рационализации при решении неравенств, поэтому их заменяем также, соответственно на (-1) и 1.

Метод рационализации при решении неравенств

Решая последнее стандартное рациональное неравенство в указанной области существования всех множителей исходного неравенства, получаем ответ:

Метод рационализации при решении неравенств.





Заключение.

При написании работы были проанализированы сборники по подготовке к ЕГЭ по математике. Многие задания части Метод рационализации при решении неравенств содержат неравенства, содержащие неизвестное в основании логарифма, решение которых требует громоздких выкладок и больших затрат времени. Метод рационализации. позволяет сократить время при решении такого типа неравенств. Этот способ распространяется и на решение других неравенств ( показательных, иррациональных и неравенств, содержащих модули). Были сделаны следующие выводы:

1) Основная идея метода рационализации состоит в замене любого множителя А на знакосовпадающий с ним и имеющий одни и те же корни(в области определения) множитель B.

2) Преобразованные таким образом неравенства всегда равносильно исходному в области определения последнего.

3) Указанная замена возможна только тогда, когда заменяемый множитель находится в числители или знаменателе дроби, которая сравнивается с нулем.

4) По внешнему виду неравенства легко определяется возможность применения метода рационализации.

Эта работа может быть использована при подготовке к ЕГЭ. Здесь собрано достаточное количество формул и решенных неравенств, которые помогут любому выпускнику изучить этот метод.



Список литературы.

1) В помощь абитуриентам/Составители В. И. Голубев, А. А. Егоров, В. А. Тихомирова.- М.: Бюро Квантум,2009( приложение к журналу КВАНТ)

2)Егэ-2013. Математика: типовые экзаменационные варианты:30 вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. -М.: Издательство «Национальное образование»,2012.-192с.-(ЕГЭ-2013. ФИПИ - школе.)

3) Задачи вступительных экзаменов/ Составители А. А. Егоров, В. А. Тихомирова.- М.: Бюро Квантум,2008(приложение к журналу КВАНТ)

4) «Квант» 2006/№4, В.Голубев, «Метод замены множителей»

5)Математика. ЕГЭ: сборник заданий: методическое пособие для подготовки к экзамену / Ю. А. Глазков, Т. А. Корешкова, В. В. Мирошин, Н. В. Шевелева. - 3-е изд., испр.- М.: Издательство «Экзамен»,2010.-287с. ( Серия « ЕГЭ. Сборник заданий. »

6) Подготовка к ЕГЭ по математике в 2012 году. Методические указания/Ященко И. В., Шестаков. С. А., Трепалин А. Сю, Захаров П.И.-М.: МЦНМО,2012.

7)Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:2010: Математика/ авт.-сост. И. Р. Высоцкий, Д. Д. Гущин, П. И. Захаров и др.; под ред. А. Л. Семенова, И.В. Ященко. - М,:АСТ: Астрель,2010.- 93с.-( Федеральный институт педагогических измерений.)

8)«Сборник задач по математике для поступающих в Вузы». Уч. Пособие / под ред. М. И. Сканави.- М.: Высшая шк.,1988.

9)«Эффективные пути Решения неравенств». Уч. Пособие / под ред. В. И. Голубева , В. А. Тарасова.1992.

10) alexlarin.narod.ru - Корянов А. Г., Прокофьев А. П. Метод решения неравенств с одной переменной.

38


© 2010-2022