- Преподавателю
- Математика
- Элективный курс на тему Решение неравенств с модулем
Элективный курс на тему Решение неравенств с модулем
Раздел | Математика |
Класс | 10 класс |
Тип | Рабочие программы |
Автор | Сидоркина Р.Л. |
Дата | 09.10.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
РАССМОТРЕНО
Педагогическим советом МОУ
«Зашижемская СОШ»
Протокол № 1
от « 14 » августа 2015г.
СОГЛАСОВАНО
Заместитель директора по УВР
_______ /Сидоркина Р.Л./
« 14 » августа 2015 г.
УТВЕРЖДАЮ
Директор школы:
________ А.П.Конаков
Приказ №63
от « 01» сентября 2015 г.
Рабочая программа
по элективному курсу
Неравенства с модулем
Программу составила:
учитель математики высшей
категории МОУ «Зашижемская СОШ»
Сидоркина Р.Л.
Август, 2015 г.
Неравенства с модулем
Решение неравенства, содержащего абсолютную величину, основано на переходе к равносильной системе неравенств, в которых абсолютная величина не содержится.
1.Неравенство ,
при а>0, равносильно двойному неравенству
при а0, неравенство решений не имеет;
2. Неравенство ,
при а>0, равносильно совокупности двух неравенств
и ,
при а=0, неравенство верно при всех допустимых значениях х, при которых f(x)0;
при а<0, неравенство верно при всех допустимых значениях х.
При решении простейших неравенств иногда удобно пользоваться геометрической интерпретацией абсолютной величины.
Пример 1. Решить неравенство .
Решение. Используя, геометрический смысл абсолютной величины числа, можно перевести это неравенство на язык геометрии: решить данное неравенство - это найти все точки на числовой оси, расстояние от которых до начала координат меньше пяти. Из рисунка
ясно, что -5 <х <5.
Ответ: (-5;5)
Пример 2. Решить неравенство .
Решение. Неравенство равносильно системе двух неравенств:
.
Геометрическая интерпретация решения системы:
Можно было бы записать двойное неравенство:
, которому равносильно исходное неравенство.
Тогда .
Ответ: (2;3).
3. Неравенства вида .
Пусть в некоторой точке выполнено неравенство , тогда и . Тогда выполнены неравенства и на числовой оси имеет место:
И, наоборот, пусть в некоторой точке выполнены неравенства .
Тогда, во-первых, , а во-вторых, .
Следовательно, имеет место условие равносильности
Пример 3. Решить неравенство
.
Решение. Неравенство можно записать в виде
,
а оно равносильно системе неравенств:
Каждое из квадратных неравенств можно решить, например, методом интервалов. Решая первое из них, получим:
, то есть или .
Решая второе квадратное неравенство, будем иметь:
, то есть или .
Решая систему и совмещая результаты, получим
то есть х.
Ответ: .
4. Неравенства вида .
Пусть дано неравенство . Тогда, если , то неравенство выполнено, т.к. модуль принимает неотрицательные значения и всегда больше любого отрицательного числа; если , то выполнена совокупность неравенств
и на числовой оси имеет место ситуация:
И, наоборот, пусть в некоторой точке имеет место совокупность неравенств
Тогда, если , то неравенство выполнено; если , то имеет место ситуация изображенная на рисунке и выполнено неравенство .
Следовательно, имеем равносильные соотношения
Пример 4. Решите неравенство .
Решение:
Преобразуем неравенство:
Ответ: .
5. Неравенства вида .
Рассмотрим разность . Она может быть любого знака, но сумма всегда неотрицательна, и умножение разности на эту сумму не изменит знака разности, т.е.:
Правило1: Знак разности модулей совпадает со знаком произведения .
Правило2: Если , то знак разности совпадает со знаком произведения .
Имеем еще одно условие равносильности:
Пример 5. Решите неравенство .
Решение:
Воспользуемся (6):
Последнее неравенство решено методом интервалов.
Ответ: .
Список используемой литературы.
-
«Большая математическая энциклопедия» для школьников и студентов;
-
Математика. ЕГЭ - 2011, 2012. Типовые экзаменационные варианты. /Под редакцией А.Л. Семенова, И.В. Ященко./
-
М.Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике