Геометрические задачи на вычисление

Геометрические задачи на вычисление.

1. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке с пря­мым углом из­вест­ны ка­те­ты:

, . Най­ди­те ме­ди­а­ну этого тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Ме­ди­а­на, про­ве­ден­ная к ги­по­те­ну­зе, равна её по­лов­ние:

Ответ: 5.

2. Най­ди­те угол АСО, если его сто­ро­на СА ка­са­ет­ся окруж­но­сти, О - центр окруж­но­сти, а дуга AD окруж­но­сти, за­ключённая внут­ри этого угла, равна 100°.

Ре­ше­ние.

Про­ведём ра­ди­ус OA. Тре­уголь­ник AOC - пря­мо­уголь­ный, ∠A = 90°. ∠COA = 180° − ∠AOD = 180° − 100° = 80°; ∠ACO = 90° − 80° = 10°.

Ответ: 10.

3. Из точки А про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти с цен­тром в точке О. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если угол между ка­са­тель­ны­ми равен 60°, а рас­сто­я­ние от точки А до точки О равно 8.

Ре­ше­ние.

Опу­стим ра­ди­у­сы на каж­дую ка­са­тель­ную. Со­еди­ним точки A и O. По­лу­чив­ши­е­ся тре­уголь­ни­ки - пря­мо­уголь­ные, так как ра­ди­ус, про­ве­ден­ный в точку ка­са­ния, пер­пен­ди­ку­ля­рен ка­са­тель­ной. По ги­по­те­ну­зе и ка­те­ту эти тре­уголь­ни­ки равны, таким об­ра­зом, мы по­лу­чи­ли, что угол, ле­жа­щий на­про­тив ка­те­та равен Катет, ле­жа­щий на­про­тив угла в равен по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, тогда ра­ди­ус равен 4.

Ответ: 4.

4. В тра­пе­ции АВСD бо­ко­вые сто­ро­ны AB и CD равны, CH - вы­со­та, про­ведённая к боль­ше­му ос­но­ва­нию AD. Най­ди­те длину от­рез­ка HD, если сред­няя линия KM тра­пе­ции равна 16, а мень­шее ос­но­ва­ние BC равно 4.

Ре­ше­ние.

Так как AB = CD, то тра­пе­ция яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ной. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр BL из точки B на боль­шее ос­но­ва­ние AD. Пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки ABL и CHD равны по ги­по­те­ну­зе и при­ле­жа­ще­му остро­му углу, по­это­муAL = HD. Сред­няя линия равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний:

Так как от­рез­ки AL=HD, то , зна­чит,

Ответ: HD = 12.

5. В тре­уголь­ни­ке АВС углы А и С равны 20° и 60° со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те угол между вы­со­той ВН и бис­сек­три­сой BD.

Ре­ше­ние.

Най­дем

Так как BD - бис­сек­три­са, то

Тре­уголь­ник HBC- пря­мо­уголь­ный. Так как то

Таким об­ра­зом, ис­ко­мый угол DBH равен

Ответ:

6. Пря­мая AD, пер­пен­ди­ку­ляр­ная ме­ди­а­не ВМ тре­уголь­ни­ка АВС, делит её по­по­лам. Най­ди­те сто­ро­ну АС, если сто­ро­на АВ равна 4.

Ре­ше­ние.

Так как вы­со­та AD, про­ве­ден­ная к ме­ди­а­не BM делит ее по­по­лам, то тре­уголь­ник ABM яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным, по­это­му AB=AM=4. Так как BM- ме­ди­а­на, то AM=MC, таким об­ра­зом, AC=2AM=8.

Ответ: AC=8.

7. На сто­ро­нах угла , рав­но­го 20°, и на его бис­сек­три­се от­ло­же­ны рав­ные от­рез­ки , и . Опре­де­ли­те ве­ли­чи­ну угла .

Ре­ше­ние.

Так как от­рез­ки равны, то тре­уголь­ни­ки ACD и ABD - рав­но­бед­рен­ные. Углы при ос­но­ва­нии этих тре­уголь­ни­ков равны:

Най­дем ис­ко­мый угол:

Ответ:

8. Най­ди­те ве­ли­чи­ну угла , если - бис­сек­три­са угла , - бис­сек­три­са угла .

Ре­ше­ние.

Имеем: = 2 · 25° = 50°; = 180° − 50° = 130°; = 130° : 2 = 65°.

Ответ: 65°.

9. Ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 8 и 18, а её пе­ри­метр равен 52. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию с ос­но­ва­ни­я­ми и , пе­ри­метр ко­то­рой равен 52. Имеем

.

Пусть - вы­со­та тра­пе­ции. Тогда . Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим . Зна­чит, пло­щадь тра­пе­ции равна .

Ответ: 156.

10. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен 56, а диа­го­наль равна 27. Най­ди­те пло­щадь это пря­мо­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна . Тогда дру­гая сто­ро­на равна , а пло­щадь . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Зна­чит, ис­ко­мая пло­щадь равна 27,5.

Ответ: 27,5.