Конспект урока «Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2»

Конспект урока

«Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии»

Выполнила

Сургучева Елена Алексеевна,

учитель математики

Киров 2016

Цели урока.

Образовательные цели: познакомиться с формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии; учиться применять данную формулу при решении задач.

Развивающие цели: развивать мыслительные операции: анализ, синтез, сравнение, обобщение; развивать математическую речь.

1.Актуалитзация знаний.

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Определение

a₁=a, a_n+1=a_n+d

b₁=b, b_n+1=b_n*q, q=0

Формула n-го члена

a_n=a₁+(n-1)*d

b_n=b₁* q^n-1

Свойства

a₁+a_n=a₂+a_n-1=…=a_n+a_m=a_k+a_l, если

n+m=k+l

a_n=

b₁*b_n= b₂*b_n-1=…=b_n*b_m=b_k*b_l,

если n+m=k+l

b_n=

Является ли данная числовая последовательность геометрической прогрессией?

1. 3; 0; 0;…

2. 0; 3; 9;…

3. 2; 4; 6; 8;…

4. 2; 4; 8; 16;…

- Найти 6 член данной геометрической прогрессии. Как его можно найти?

- Найти сумму первых трех членов, первых шести членов, первых десяти членов данной геометрической прогрессии.

- Что для этого надо знать? Каждый член геометрической прогрессии.

- Но это не рациональный путь решения!

- Сформулируем эту проблему в общем виде.

Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии.

Сообщение темы урока.

Цель урока заключается в том, чтобы вывести формулу для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии. Причем, мы будем работать так, чтобы, сравнивая, обобщая, делая выводы, вы сами смогли вывести нужную формулу.

2.Формирование новых знаний и способов действия.

- Сформулируем проблему в виде задачи.

Дано: (b_n) - геометрической прогрессия;

b₁, q, n- число членов

Найти: S_n - сумма n членов.

- Прежде, чем мы сможем решить данную проблему, давайте познакомимся с древней индийской легендой.

Изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько пшеничных зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую - в два раза больше, на третью - еще в два раза больше и так до 64 клетки. Сколько зерен должен был получить изобретатель шахмат?

- По условию задачи составьте числовую последовательность. Является ли эта числовая последовательность геометрической прогрессией? Почему?

- Чему равен знаменатель данной геометрической прогрессии? Сумму скольких членов данной геометрической прогрессии нужно найти?

S = 1+2+2²+2³+…+2⁶³

Фронтальное обсуждение возможных действий по решению данной задачи с целью поиска решения проблемы.

В результате, учитель вместе с учащимися выводит формулу для вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии. После чего, необходимо провести эвристическую беседу с целью оценки степени разрешения проблемы, выделения особенностей задачи, породившей проблемную ситуацию, поиска и осуществления ее решения.

S_n =, q = 1

При решении многих задач удобно пользоваться формулой, записанной в другом виде:

S_n = , q=1

- Вернемся к нашей задаче. Какой формулой удобно пользоваться?

- Посмотрим, как применяются данные формулы при решении задач.

1. Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии: 1; -0,5;…

2. Найти сумму n первых членов геометрической прогрессии: 1; 3; 3²;…

3. (b_n) - геометрической прогрессия, b₃ = 12, b₅ = 48. Найти S_6.

3. Рефлексия учебной деятельности.

В начале урока мы поставили перед собой цель - вывести формулу для вычисления суммы n первых членов геометрической прогрессии.

- Для чего нужно было выводить данные формулы?

- Что они позволяют делать?

Однако итог нашего урока состоит не только в открытии данных формул.

- Что же помогло нам открыть данные формулы?

- Какие приемы мыслительной деятельности мы учились применять? Это: сравнение, анализ, аналогия. Эти приемы помогают узнавать новое, решать проблемы и задачи.

Продолжите предложение

Сегодня я узнал……………

Было трудно …………….

Я научился ……………..

Меня заинтересовало ……….

Меня удивило ……….

Теперь я могу ………..

4. Домашнее задание.

- Решить задачу, которая приводится в одном древнегреческом папирусе.

«Имеется семь домов, в каждом доме по семь кошек, каждая кошка съедает по семь мышей, каждая мышь съедает семь колосьев, каждый из которых, если посеять зерно, дает семь мер зерна. Нужно подсчитать сумму числа домов, кошек, мышей, колосьев и мер зерна».

- Решить уравнение 1 + x + x² +…+x¹⁰⁹ = 0, x = 1