Конспект урока в классе на тему «Решение показательных уравнений»

Разработка открытого урока

Предмет алгебра и начала анализа

Класс 11 «А» , группа профильная

Тема урока: «Решение показательных уравнений».

Цели урока::

1. Образовательная: формирование умений решать показательные уравнения основными методами: методом уравнивания показателей степеней, методом введения новой переменной.

2. Развивающая: уметь применять методы решения показательных уравнений на практике, развивать вычислительные навыки, логическое мышление.
3. Воспитательная: развитие познавательного интереса к предмету «математика»

Тип урока: обобщение и систематизация знаний.

Формы организации познавательной деятельности учащихся: индивидуальная, коллективная.

Оборудование: учебник, доска, ученическая тетрадь, интерактивная доска

Ход урока

1 . Организационный момент

2. Сообщение темы, постановка целей урока, мотивация

На носу ЕГЭ. Наша задача как можно лучше подготовиться к нему. Итак ,

3 . Устная работа .а) Таблицы для устного счёта №2 и №3

б) Решите уравнение:( спроецированы на доску с помощью интерактивной доски)

2^х = 32; 3^х = 27; 5^х = 625; 10^х = 10 000; 4^х = 256.( ответы 5; 3; 4; 4; 4.)

3^х-1= 27; 5^х-2 = 25; 6^х-3=36; 3^х = ; 12^х = 1.( ответы 4; 4; 5; -2; 0).

5^-х = 25; 2^-х= 8; 4^х = 2; 27^х = 3; = 4; = 5.

( ответы -2; -3; 0,5; ; -2; -0,5)(Возможны ситуации неправильного решения, проверить уровень внимательности, вплоть до решении следующего уравнения. Обращать внимание учащихся на правильность математической речи.)

4. Решение уравнений: Тип 1 : Простейшие показательные уравнения - уравниваем показатели степеней.

1) 4^х = 8 2) 3)

2^2х = 2³

2х = 3 2х = 6 + х - х² х² - 3х = - 2

Х = 3 : 2 х² + х - 6 = 0 х² - 3х + 2 = 0

Х = 1,5 х₁ = 2; х₂ = -3 х₁ = 2; х₂ = 1

Ответ: 1,5 Ответ: 2; -3. Ответ: 2; 1.

( выбор ответа- наибольший корень, или наименьший корень - дополнительное задание)

Тип 2 :Показательные уравнения , сводящиеся к линейному.

1) 3^{х + 2} - 3 ^{х + 1} + 3^х = 21. Выносим за скобки общий множитель 3^х, получаем

3^х ( 3 ² - 3 ¹ + 3⁰ )= 21, 3^х · 7 = 21, 3^х = 3, х = 1. Ответ: 1.

2) 4^{х + 1} - 3 ^х = 3^{х + 2} - 4 ^х .Соберём слагаемые с основанием 3 в одной части уравнения , а с основанием 4 - в другой, получим: 4^{х + 1} + 4 ^х = 3^{х + 2} + 3 ^х. Далее выносим за скобки общий множитель в каждой части уравнения:

4^х ( 4 ¹ + 4 ⁰) = 3^х ( 3 ² + 3 ⁰ ), 4^х · 5 = 3^х · 10, разделим на 5 ·3^х не равное нулю, получим =2, отсюда х = . Ответ:

Тип 3 : метод введения новой переменной. Уравнения , сводящиеся к квадратному.

1) 2^х+1 + 4^х = 80

2^х · 2 + (2²)^х - 80 = 0 (*)

Пусть 2^х = t, t > 0, тогда уравнение (*) примет вид: 2t + t² - 80 = 0 , корни

t₁ = 8 ; t₂ = -10. Второй корень отрицательный, он не удовлетворяет условию t > 0 . Вернёмся к замене , получим 2^х = 8, х = 3. Ответ: 3.

2) 7^2х - 6 · 7^х + 5 = 0 . Решаем аналогичным способом. Получили корень

х ₁ = 0 и х₂ = log₇5.Ответ: 0; log₇5

3) 4^х + 6^х = 2 · 9 ^х ; 2^2х + ( 2 · 3 )^х = 2· 3^2х ; разделим обе части уравнения на либо 2^2х , либо 3^2х, без разницы, так как каждый из них не равен нулю. Получим: 1 + = 2·и после введения замены = t, t > 0 получим квадратное уравнение 1 + t = 2 · t² . Корни t₁ = 1 ; t₂ = - 0,5. Второй корень отрицательный, он не удовлетворяет условию t > 0, значит он является посторонним. Итак, = 1, х = 0. Ответ : 0.

5. Проверка уровня знаний учащихся по теме «показательные уравнения»

Дифференцированная самостоятельная работа

Вариант№1 - Базовый

Вариант №2 - Повышенный

=0,5^х · 4 ^{х - 4}

3^{х +3} - 3^х =78;

6^х + 6^{х + 1} = 2^х + 2^{х + 1} + 2 ^{х + 2}

25^х + 10 · 5 ^{х - 1} - 3 = 0;

3^{2х + 1} - 28 · 3^х + 9 = 0

9 · 2 ^{х - 3} = 4 · 3^{х - 3}

5 · 4 ^х + 3 · 10^х = 2 · 25^х

Проверка самостоятельной работы с помощью интерактивной доски, учащиеся сами проверяют друг у друга в парах( равноценных по уровню) самостоятельные работы, выставляя оценку карандашом. Затем сдают их учителю для выставления окончательной оценки.

Выставление оценок.

Подведение итогов урока:

- какие типы уравнений вы знаете?

- Как решаются показательные уравнения, сводящиеся к квадратным?

- Как решаются уравнения, сводящиеся к линейным?

- какое ограничение накладывается на переменную замены в показательном уравнении?

- может ли 2^х = 1 и чему равен х ?

- может ли 2^х = 2 и чему равен х ?

- может ли 2^х = -2 и чему равен х ?

- может ли 2^х = и чему равен х ?

Домашнее задание: конспект, № 27.13, 28.34