План-конспект урока на тему: Теорема Виета

Тема урока: «ТЕОРЕМА ВИЕТА»
Тип урока: урок изучения нового материала.
Цели урока:

• Сформулировать прямую и обратную теорему Виета, научить применять полученные знания в решении задач развивать вычислительные навыки учащихся;

• Формировать умение наблюдать, подмечать закономерности, обобщать, проводить рассуждения по аналогии, развивать математический и общий кругозор;

• Воспитание интереса к математике.

Оборудование: интерактивная доска, карточки с заданиями.

Ход урока:

I. Организационно-мотивационный этап.(слайд1)
«Виет - творец математической формулы»
Цейтен Г.Г.
«Алгебра занимается сокращением, упрощением и, в особенности, обобщением решений различных вопросов относительно чисел»
Бертран Ж.

II. Этап актуализации знаний.
Устная работа проводится в виде дидактической игры «Светофор».
Ответы обозначены тремя цветами. Учащиеся поднимают тот цвет карточки, под которым находится правильный ответ. По каждому слайду идет оперативный контроль со стороны учителя: учащиеся поднимают карточки, а учитель демонстрирует верный ответ на слайде
1. Неполное квадратное уравнение имеет вид (слайд 2):
ax²+c=0
ax²+bx=0
ax²=0
2.При каком условии квадратное уравнение имеет два корня? (слайд 3)
D>0
D<0
D=0
3.В каких из данных уравнений D=25? (слайд 4)
x²-3x-4=0
x²-8x+7=0
x²+x-6=0
4. Какие уравнения не имеют корней? (слайд5)
2x²-3x-2=0
x²-6x+10=0
2x²+x+2=0
5. В каком из данных уравнений D=0? (слайд 6)
3x²-8x-3=0
5y²-6y+1=0
a²-12a+36=0
III. Этап усвоения новых знаний.
а) Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.
- Найдите сумму и произведение корней квадратного уравнения, определите закономерность. I вариант решает 1-2 уравнение, II вариант - 3-4 уравнения.
Учащиеся решают уравнения в тетради, результат вычислений записывают в таблицу (слайд 7):

Приведенные квадратные уравнения

корни

Сумма корней (x₁+ x₂)

Произведение корней (х₁×х₂)

x₁

x₂

1)x²+2x-35=0
2)x²+11x+10=0
3)x²+9x+20=0
4)x²-7x+6=0
5)x²+px+q=0

-7
-10
4
1
x₁

5
-1
5
6
x₂

-2
-11
-9
7
-р

-35
10
20
6
q

-Вывод: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
- Мы видим закономерность на примерах. Докажем, что она приемлема для любых значений p и q (слайд 8).
Дано: x²+px+q=0, x₁ и x₂ -корни квадратного уравнения.

x₁+x₂= -p
Доказать: x₁×x₂=q

Доказательство. Уравнение х²+px+q=0 имеет два корня х₁ и х₂ при Д>0, и Д=р²-4q.

x₁₌, x₂=.

x₁+x₂= + = = - = -p

x₁×x₂ = × = = = = = = q.

- Эту замечательную закономерность вывел французский математик Франсуа Виет (слайд 9).

Историческая справка:
Франсуа Виет (1540-1603) родился недалеко от знаменитой крепости Ла-Рошель. Сын прокурора Виет получил юридическое образование и начал адвокатскую практику в родном городе. Но вскоре он стал секретарем и домашним учителем в доме знатного дворянина гугенота де Партеней. Тогда Виет и увлекался изучением астрономии и тригонометрии. В 1571 году Виет переехал в Париж, где возобновил адвокатскую практику, а позже стал советником парламента Британии. Знакомство с будущим королем Франции Генрихом IV, помогло Виету занять видную придворную должность - тайного советника. Одним из самых замечательных должностей Виета на королевской службе была разгадка шифра, в котором насчитывалось более 500 знаков, менявшихся время от времени. Этим шифром пользовались недруги французского короля для переписки с испанским двором. Хотя французы часто перехватывали письма, расшифровать их никто не смог. И только Виет нашел ключ. Позже испанцы обвиняли Генриха IV в том, что у него на службе состоит сам дьявол. Виет жил в эпоху кровопролитных религиозных воин. Известно, что по настоянию ярых католиков его отстранили от должности. И только через четыре года он вновь был приглашен ко двору. Эти годы оказались необычайно плодотворными для Виета. Математика стала для него единственной страстью, он работал самозабвенно: Виет мог просиживать за письменным столом по трое суток подряд, только иногда забываясь сном на несколько минут. Именно тогда он начал большой труд «Искусство анализа, или новая алгебра». Несмотря на огромное желание и упорные занятия, книгу Виет все же не завершил. Но главное было написано, и это определило развитие всей математики.

Самостоятельная работа (слайд 10)
Составить приведенное квадратное уравнение, где x₁, x₂-корни.
I вариант заполняет первый столбец
II вариант - второй столбец…
V вариант - первую строчку
***** - дополнительные

х₂

х₁

-5

4

-3

6

-2

5 вариант

7

6 вариант

9

-1

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4вариант

Работа по индивидуальным карточкам.
Учащиеся обмениваются карточками, проверяют ответы по ключу, оценивают работу и сдают учителю.
ключ(слайд 11)

х₂

х₁

-5

4

-3

6

-2

x²+7x-10=0

x²-2x-8=0

x²+5x+6=0

x²-4x-12=0

5 вариант

7

x²-2x-35=0

x²-11x+28=0

x²-4x-21=0

x²-13x+42=0

6 вариант

9

x²+4x+45=0

x²-13x+36=0

x²-6x-27=0

x²-15x+54=0

-1

x²+6x+5=0

x²-3x-4=0

x²+4x+3=0

x²-5x-6=0

1 вариант

2 вариант

3 вариант

4вариант

б) Теорема Виета для полного квадратного уравнения.
- Теорема Виета используется и в решении полных квадратных уравнений ах²+bх+с=0, тогда

x₁+x₂= - , x₁×x₂= .

- Запомнить эту теорему поможет стихотворение (слайд 12):
По праву достойно в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни - и дробь уж готова?
В числителе с, в знаменателе а.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть минусом дробь, что за беда!
В числителе b, в знаменателе а.

х₁+х₂= - , x₁×x₂=

Решите уравнения и проверьте ответ по данной теореме:
1) 3х²-4х-4=0 2)2х²+7х+6=0
3)2х²+9х+8=0
Первый ряд решает первое уравнение, второй ряд - второе, третий ряд - третье уравнение.
в) Обратная теорема.
- Теорема, обратная теореме Виета, позволяет находить корни квадратного уравнения методом подбора.
- Если два числа u и v таковы, что u+v=-p, u∙v=q, то u и vявляются корнями уравнения х²+px+q=0
Например:
x²+11x-12=0, D=121+48>0 по теореме Виета
x₁+x₂ =-11 x₁ = -12
x₁×x₂ =-12 x = 1

Проверка (устно):
-12+1=-11=-р, -12∙1=-12=q
Следовательно, -12 и 1 - корни уравнения по теореме, обратной теореме Виета.
г) Закрепление: решить задание с учебника №292 (Шыныбеков А.Н., Алгебра-8, Атамура,2008г).

IV. Рефлексивно-оценочный этап.
а) Сформулируйте прямую и обратную теорему Виета
б) Сформулируйте алгоритм решения квадратного уравнения методом подбора (алгоритм:
1)определить знак дискриминанта;
2)выяснить знак корней;
3)подбором найти модули;
4)проверить корни;
в) Задание: «Рисуем по координатам».
Найдите подбором корни уравнения и отметьте их на координатной плоскости (обратить внимание учащихся, на то, что х₁ - меньшее значение корня, х₂ - большее).
Продемонстрировать слайд 13. Учащиеся выбирают свой уровень, учитель раздает по выбору учащихся индивидуальные карточки с заданиями; для I уровня подготовить карточки с дополнительными столбцами.

«Иргизская русская средняя школа»

Открытый урок

Тема: «Теорема Виета »

Учитель математики: Есмаганбетова С.Ж.

2014 год февраль