Опорные конспекты по математике 6 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Покровская средняя общеобразовательная школа»

Рузского района Московской области

ОПОРНЫЕ КОНСПЕКТЫ

ПО МАТЕМАТИКЕ

6 КЛАСС

Учитель математики и физики

Александрова Татьяна Валентиновна

2015 год

ОК-1 Признаки делимости на 2, на 5, на 10

На 10: число оканчивается 0.

На 5: число оканчивается 0 или 5.

Четные цифры (делятся без остатка на 2) : 0, 2, 4, 6, 8

Нечетные цифры ( при делении на 2 дают остаток 1): 1, 3, 5, 7, 9

На 2: число оканчивается четной цифрой.

ОК-2 Взаимно обратные числа

Два числа, произведение которых равно единице, называют взаимно обратными.

и взаимно обратны, при , т.к. 1

Если одно из двух взаимно обратных чисел - правильная дробь, то другое - неправильная дробь.

и взаимно обратны

- правильная дробь правильная дробь

Число 1 взаимно обратно самому себе, а число 0 - не имеет обратного себе числа.

Задание: найдите число, обратное данному:

1. → ∙ = 1

2. →

3. = → = 1

ОК-3 Сокращение дробей

Сокращение дроби - деление числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, не равный 1.

3 и 5 - взаимно простые числа - несократимая дробь

Дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, называется несократимой.

Способы сокращения дробей:

1. Подбор общих делителей числителя и знаменателя, пока не получится несократимая дробь.

= (: 7) =

2. Разделить числитель и знаменатель на их НОД.

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7

70 = 2 ∙ 5 ∙ 7

НОД (42; 70) = 2 ∙ 7 = 14

3. Разложить числитель и знаменатель на простые множители и вычеркнуть одинаковые множители.

ОК - 4 Нахождение дроби от числа

Дробь используют, чтобы кратко обозначить часть некоторой целой величины.

Часть Целое

«Остается пройти пути» → Весь путь

Задача 1: Маша собирает коллекцию камней. Всего в Машиной коллекции уже камней, из них составляют аметисты. Сколько аметистов в Машиной коллекции?

Решение:

60 ∙ аметистов

Ответ: 36 аметистов.

Задача 2: Палисадник занимает всего земельного участка. Участок, засаженный колокольчиками, занимает палисадника. Какую часть всего земельного участка занимает участок засаженный колокольчиками?

Решение:

=

Ответ:.

Задача 3: Дачнику нужно высадить саженцев плодовых деревьев. В первый день он высадил от всех, саженцев. Сколько саженцев высадил дачник за первый день?

Решение:

20 ∙ 0,6 = 20 ∙ = = 12

Ответ: 12 саженцев.

Задача 4: Приусадебный участок занимает сотки. Цветами засажено 35% этого участка. Какова площадь засаженного цветами участка?

Решение: 4 ∙ = = = = 1

Ответ: 1 сотки.

Чтобы найти дробь (часть) от числа, нужно умножить число на данную дробь.

ОК-5 Дробные выражения

Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.

= 1 : 2 числитель

=

знаменатель

Чтобы найти значение дробного выражения, нужно:

1. найти по отдельности значения его числителя и знаменателя;

2. затем первый результат разделить на второй.

Пример 1. =

Пример 2. = = 2

Пример 3. Выражение не имеет значения!

Пример 4. Найти значение выражения при

=

ОК-6 Длина окружности

Длина окружности прямо пропорциональна длине ее диаметра.

Отношение длины окружности к длине ее диаметра является одним и тем же числом для любой окружности.

- длина окружности

- диаметр окружности

С =

длина окружности

C = R

S = - площадь круга

ОК-7 Применение распределительного закона умножения

Распределительное свойство умножения относительно сложения:

Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения.

(a + b) ∙ c = a ∙ c + b ∙ c

Распределительное свойство умножения относительно вычитания:

(a - b) ∙ c = a ∙ c - b ∙ cДля того чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно:

1) умножить целую часть на натуральное число;

2) умножить дробную часть на это натуральное число;

3) сложить полученные произведения.

Чтобы умножить смешанное число на смешанное число, можно:

1. перевести одно смешанное число в неправильную дробь;

2. умножить целую часть второго множителя на неправильную дробь;

3. умножить дробную часть второго множителя на неправильную дробь;

4. сложить полученные результаты.

Пример 1:

Пример 2: =

Пример 3:

Пример 4: х + х = х

Пример 5: у + у = у

ОК-8 Координаты на прямой

Координатная прямая - это прямая, на которой выбрано начало отсчёта; единичный отрезок.

Стрелкой обозначено положительное направление.

В А

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

отрицательные положительные

не положительное,

не отрицательное

Координата точки - число, показывающее положение точки на координатной прямой.

В(-3), А(2)

ОК-9 Модуль числа

Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а).

В О А

-2 0 2

Модуль числа 2 равен 2, т.к. точка А(2) удалена от начала отсчета на 2 единицы.

Модуль числа -2 равен 2, т.к. точка В(-2) удалена от начала отсчета на 2 единицы.

Пишут: │2│= 2, │-2│= 2, │0│= 0

Модуль числа не может быть отрицательным!

Модулем положительного числа и числа 0 является само число, модулем отрицательного числа - противоположное ему число.

Противоположные числа имеют одинаковые модули.

│-а│ = │а │

ОК-10 Пропорции

Пропорция - это равенство двух отношений.

Крайние

a : b = c : d ↔ =

средние

Основное свойство пропорции:

В любой верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции.

Признак пропорции:

Если произведение крайних членов равно произведению средних членов

a · d = b · c, то пропорция a : b = c : d верна.

=

Пример 1. Верна ли пропорция ?

30 ∙ 7 = 210

5 ∙ 42 = 210 верна

Если в верной пропорции поменять местами средние члены или крайние члены, то получившиеся новые пропорции тоже верны.

=

Используя основное свойство пропорции, можно найти неизвестный член пропорции, если все остальные члены известны.

Пример 2. Решите уравнение

1,5 ∙ у = 21,6 ∙ 0,25

Ответ: у = 3,6

ОК - 11 Шар

ОО

Шар - простейшее геометрическое тело.

Сфера - поверхность шара.

Радиус шара - отрезок, соединяющий любую

точку сферы с центром шара.

Диаметр шара - отрезок, соединяющий две

точки сферы и проходящий через центр шара.

O - центр шара

ОА = ОВ = R - радиус

CD = D - диаметр

D = 2R

-----------------------------------------------------------------------------------------------

ОК-12 Дробные выражения

Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.

= 1 : 2 числитель

=

знаменатель

Чтобы найти значение дробного выражения, нужно:

1. найти по отдельности значения его числителя и знаменателя;

2. затем первый результат разделить на второй.

Пример 1. =

Пример 2. = = 2

Пример 3. Выражение не имеет значения!

Пример 4. Найти значение выражения при

=

ОК-13 Перпендикулярные прямые

Прямой угол - это угол, Две прямые, образующие

градусная мера которого при пересечении прямые

равна 90^о . углы, называются

90^о

перпендикулярными.

Е

90⁰ А

В

F

AB _┴EF

А

М В

Если ∠ АМВ = 90⁰, то АМ ⏊ МВ.

И наоборот:

Если АМ ⏊ МВ, то ∠ АМВ = 90⁰

Через любую точку плоскости можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной.

Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных прямых называются перпендикулярными.

ОК-14 Параллельные прямые

ПРЯМЫЕ

пересекаются не пересекаются

а m k

M

c m k

Две непересекающиеся прямые на плоскости называются параллельными.

k t d

M k t

t d

k

Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны.

k t

a k ⏊ a

k t

t ⏊ a

Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Отрезки (или лучи), лежащие на параллельных прямых называются параллельными.

ОК-15 Сложение и вычитание чисел

1. Сложение отрицательных чисел

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно:

1. Перед результатом поставить знак « - » ,

2. Сложить модули чисел.

Пример: - 9 + (- 45) = - ( 9 + 45) = - 54

2. Сложение чисел с разными знаками

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно:

1. Поставить перед результатом знак того слагаемого, модуль которого больше,

2. Из большего модуля слагаемых вычесть меньший модуль.

Примеры:

1. 9 + (- 3) = 9 - 3 = 6

2. 9 + (-12) = - ( 12 - 9) = - 3

3. Вычитание чисел

Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

a - b = a + (-b)

Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и вычитания, можно представить в виде суммы.

Примеры:

1. -12 - 13 = -12 + (-13) = - (12 + 13) = - 25

2. 7 - 16 = 7 + (- 16) = - (16 - 7) = - 9

3. 6 - (- 5) = 6 + 5 = 11

Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого: а b ⟹ a - b

Разность двух чисел отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого: а < b ⟹ a - b <

Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю

а = b ⟹ a - b =

Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца.

А( -6), В(8) ⟹ АВ = 8 - (-6) = 8 + 6 = 14

ОК-16 Деление чисел

1. Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя.

Пример : ( - 14) : ( - 2) = 14 : 2 = 7

2. При делении чисел с разными знаками надо:

- поставить перед результатом знак « - »;

- разделить модуль делимого на модуль делителя.

Примеры: (- 4,8) : 4 = - (4,8 : 4) = - 1,2

0,33 : (- 1,1) = - (0,33 : 1,1) = - 0,3

( - ) : ( - ) = ( + )

( - ) : ( + ) = ( - )

( + ) : ( - ) = ( - )

3. На нуль делить нельзя!

4. При делении нуля на любое число получается нуль.

0 : а = 0

5. При делении любого числа на 1 получается то же число.

а : 1 = а

6. При делении любого числа на ( -1) получается противоположное число.

а : ( - 1) = - а

ОК-17 Координатная плоскость

О - начало координат

х - абсцисса

у - ордината

(х; у) - координаты

Координаты точки (х; у) на плоскости - это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса (х), а на втором - ордината (у) этой точки.

Оси координат разбивают плоскость на 4 части - 4 четверти.

I четверть: х > 0, у > 0

II четверть: х < 0, у > 0

III четверть: х < 0, у < 0

IV четверть: х > 0, у < 0

Координаты можно указать для любой точки координатной плоскости: для этого надо из точки провести перпендикуляры на координатные оси и определить, какому числу координатной оси соответствует основание перпендикуляра.

Как найти координаты точки:

1. Провести из точки перпендикуляр к оси ОХ.

2. Провести из точки перпендикуляр к оси ОУ.

3. Записать координаты точки (х; у).

Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: ее абсцисса и ордината.

Наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

Точки любой прямой, перпендикулярной оси абсцисс, имеют одну и ту же абсциссу.

Точки любой прямой, перпендикулярной оси ординат, имеют одну и ту же ординату.

а ⏊ ОХ ⟹ А(4; 3), В(4; - 4)

b⏊ ОУ ⟹ С(- 2; - 3), D(3; - 3)

Если точка лежит на оси ОХ, то ее ордината равна 0 (у = 0).

Если точка лежит на оси ОУ, то ее абсцисса равна 0 (х = 0).

у

А(0; 4)

М (4; 0)

Х

ОК-18 Умножение положительных и отрицательных чисел

1. Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули чисел и перед полученным результатом поставить знак « - ».

Примеры: - 5 ∙ 2 = - (5 ∙ 2) = - 10

0,2 ∙ ( - 1,5) = ( - 0,2 ∙ 1,5) = - 0,3

2. Произведение двух отрицательных чисел равно произведению их модулей.

Примеры: - 2 ∙ ( - 3) = 2 ∙ 3 = 6 ( - ) ∙ ( + ) = ( - )

- 4 ∙ ( - 0,3) = 4 ∙ 0,3 = 1,2 ( - ) ∙ ( - ) = ( + )

3. Свойства 0 и 1 при умножении сохраняются:

а ∙ 0 = 0 а ∙ 1 = а

4. При умножении на ( - 1) число меняется на противоположное.

а ∙ (- 1) = - а

ОК-19 Координаты на прямой

Координатная прямая - это прямая, на которой выбрано начало отсчёта; единичный отрезок.

Стрелкой обозначено положительное направление.

В А

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

отрицательные положительные

не положительное,

не отрицательное

Координата точки - число, показывающее положение точки на координатной прямой.

В(-3), А(2)