Урок по теме: «Теоремы о корнях квадратного уравнения»

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Борисоглебского городского округа

Элективный предмет по математике в 10 классе: «Решение уравнений, систем уравнений и неравенств с параметром».

Урок по теме:

«Теоремы о корнях квадратного уравнения»

МКОУ БГО Губаревская СОШ, учитель математики Гостева В.В.,1к.к.

2013г.

Цель: Формирование умений формулировать и обосновывать теоремы о корнях квадратного уравнения.

Учебная задача: научить учащихся самостоятельно формулировать теоремы о корнях квадратного уравнения, применять полученные теоремы для решения задач с параметром.

Развивающие задачи: развивать творческую сторону мышления; учить осуществлять исследовательскую деятельность.

Воспитательная задача: формировать навыки умственного труда - поиск рациональных путей решения.

Оборудование:

- персональные компьютеры;

-карточки с заданиями;

- типовые экзаменационные варианты ЕГЭ -2014г., ФИПИ, под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко.

Ход урока:

1.Проверка домашнего задания: Сделать обобщение о схеме решения уравнений, приводимых к линейным; записать схему.

Ответы учеников:

Схема:

1.Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.

2.Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.

3.Привести уравнение-следствие к виду k(a)x=b(a) и решить его.

4.Исключить значения, при которых уравнение теряет смысл.

5.Записать ответ.

2. Исследовательская работа в группах.

Большую роль среди уравнений с параметрами играют задачи, связанные с расположением корней квадратного уравнения. Для решения таких задач нужно сформулировать теоремы.

Класс делится на 3 группы по 2 человека. На доске сформулированы задачи в общем виде:

При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения А(а)+В(а)х+С(а)=0 больше заданного числа М?

При каких значениях параметра а оба корня квадратного уравнения А(а)+В(а)х+С(а)=0 меньше заданного числа М?

При каких значениях параметра а заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения А(а)+В(а)х+С(а)=0?

Задание каждой группе; составить теорему для своей задачи. (Презентация Power Point).

Каждая группа запускает свою презентацию, составляет свою теорему.

Учитель: Какая группа готова сформулировать свою теорему?

Представители каждой труппы выходят к доске, записывают свою систему неравенств и формулируют теорему.

Теорема. Оба корня квадратного уравнения А(а)+В(а)х+С(а)=0 больше заданного числа М, если (и только если) имеет место система

{Af(M)>0, D>0, - >M}

Теорема. Оба корня квадратного уравнения А(а)+В(а)х+С(а)=0 меньше заданного числа М, если (и только если) имеет место система

{Af(M)>0, D>0, -

Теорема. Заданное число М лежит между корнями квадратного уравнения А(а)+В(а)х+С(а)=0, если (и только если) имеет место система

{Af(M)< 0, D>0 }

.

3.Психологическая пауза.

Упражнения для коррекции осанки и упражнения гимнастики для глаз.

4.Решение задач с параметром с помощью компьютера.

Задание: Составьте собственные задачи с параметром, которые решаются с помощью составленных вами сегодня теорем.

После того как каждая из групп выполнит задание, проверяют правильность выполнения другой группы.

5. У доски решить задание С5 (Типовые экзаменационные варианты ЕГЭ -2014г.):

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение I - 4 I = ах -3 на промежутке (0, +∞) имеет более двух корней.

Решение.

Рассмотрим функции f(x) =ax-3 и g(x)= I - 4 I. Исследуем уравнение f(x) = g(x) на промежутке (0, +∞).

При а ≤ 0 все значения функции f(x) на промежутке (0, +∞) отрицательны, а все значения функции g(x) - неотрицательны, поэтому при а ≤ 0 уравнение f(x) = g(x) не имеет решений на промежутке (0, +∞).

При а > 0 функция f(x) возрастает. Функция g(x) убывает на промежутке (0; ], поэтому уравнение f(x) = g(x) имеет не более одного решения на промежутке (0; ], причем решение будет существовать тогда и только тогда, когда f() ≥ g(), откуда получаем а - 3 ≥ 0, то есть а ≥.

На промежутке (; +∞) уравнение f(x) = g(x) принимает вид ax-3=4 - -. Это уравнение сводится к уравнению а-7х+7=0. Будем считать, что а > 0, поскольку случай а ≤ 0 был рассмотрен ранее. Дискриминант квадратного уравнения D=49-28а, поэтому при а > это уравнение не имеет корней; при а= уравнение имеет единственный корень, равный 2; при 0 < < уравнение имеет два корня.

Если уравнение имеет два корня Х1 иХ2,, то есть 0 < < , то больший корень Х2 = > > 2 > , поэтому он принадлежит промежутку (+∞ ). Меньший корень Х1 принадлежит промежутку (+∞ ) тогда и только тогда, когда а(Х1 - --7 + 7 = > 0, то есть а >

Таким образом, уравнение I - 4 I = ах -3 имеет следующее количество корней на промежутке (0, +∞):

Нет корней при а ≤ 0;

Один корень при 0 < < и а >

Два корня при а = и а = ;

Три корня при < а <.

Ответ: < а < .

Задание на дом: Подготовить проект на тему: «Квадратные уравнения»; решить задание С5 (Типовые экзаменационные варианты ЕГЭ -2014г., вариант-2).