Конспект урока по алгебре для 9 класса «Геометрическая прогрессия. Сумма n первых членов геометрической прогрессии»

Мартышова Людмила Иосифовна - учитель математики высшей категории

МОУ-СОШ №6 г. Маркса Саратовской области

Урок алгебры в 9 классе

«Геометрическая прогрессия. Сумма n первых членов геометрической прогрессии».

Цели урока:

1) образовательная: повторить материал о геометрической прогрессии, формулу n-го члена геометрической прогрессии, вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии;

2) воспитательная: воспитывать внимательность, интерес к изучаемому предмету, сообразительность;

3) развивающая: развивать логическое мышление учащихся, умение применять рациональные способы при решении задач.

Оборудование : презентация, копировальная бумага, компьютер, мультимедийный проектор, листы для математического диктанта, интерактивная доска.

Вид урока: урок - игра «Восхождение на пик Знаний».

Ход урока

I. Организационный момент

Сегодня вы отправитесь в путешествие. Учитывая то, что мы продолжим изучать материал прошлого урока, постарайтесь дать название страны для математического путешествия. (Ответы учащихся)

Вы правы, мы отправляемся в путешествие по стране «Геометрическая прогрессия». И вам предстоит выполнить восхождение на пик Знаний. Перед вами плакат - игровое поле с изображением горного пейзажа. Здесь вы видите маршрут восхождения и привалы. Привалы пронумерованы - их семь. На столе лежат конверты с заданиями для каждого привала, а также на слайдах презентации или на файлах интерактивной доски вы увидите эти задания.

II. Привал № 1. «Найди ошибки» (проверка домашнего задания)

На этом привале мы проверим, как вы выполнили домашнее задание. До урока учащиеся записали решение задач на доске, но при этом намеренно допустили ошибки. Ваша задача найти ошибки и устно их объяснить.

1. Для геометрической прогрессии вычислите , если , .

Решение.

,

, ,

. Ответ: .

Ошибка допущена при умножении чисел с разными знаками : потерян знак

«-».

Верный ответ: .

2. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если , .

Решение.

, , q-?

.

Ответ: 4

Ошибка допущена при нахождении q. , q=I2I.

Верный ответ: -2; 2.

3. Дана геометрическая прогрессия 18, 6, 2… Найдите номер члена прогрессии, равного

Решение.

, .

,

, ,

, ,

, ,

.

Ошибки допущены

1) при нахождении знаменателя геометрической прогрессии q;

2) при вычислении номера члена прогрессии n (). Также он не может быть отрицательным, поэтому ответ неверный.

Верный ответ:

_, , ,

, , ,

.

Молодцы, справились с заданием. Мы отправляемся дальше.

III. Привал № 2. «Повторяй!»

Математический диктант - записан на диск.

(Диктант выполняется под копирку с последующей самопроверкой по слайду).

В скобках приведены числа для второго варианта.

1. У геометрической прогрессии первый член 12 (18), второй 4 (3). Найдите знаменатель q.

2. У геометрической прогрессии первый член 8 (9), второй член 4 (3). Найдите третий член.

3. Найдите пятый (четвертый) член геометрической прогрессии, если ее первый член равен 1, а знаменатель -2.

4. Является ли последовательность степеней числа 2 (3) геометрической прогрессии?

5. Назвать первый член и знаменатель геометрической прогрессии, заданной формулой n-го члена , .

Решение (на слайде).

I вариант II вариант

1. . 1. .

2. , 2. ,

. .

3. . 3. .

4. , , , , … 4. , , , , …

, является. , является.

5. , 5.

, ,

, ,

. .

Один лист (копию) вы сдаете, а выполненные в тетради задания проверяете самостоятельно по слайду. Если ответ верный - ставите «+», если не верный -

«-». Выставите оценку по количеству знаков «+». Поднимите руку, кто получил «5», «4», «3», «2».

IV. Привал № 3. «Игровой»

Вас ждут задачи-игры, которые надо решить устно.

Задача 1. Я задумала некоторую геометрическую прогрессию. Задайте мне только 2 вопроса, чтобы с помощью ответов вы быстро смогли бы назвать первый член этой прогрессии, который неизвестен.

(3, 6, 12, 24…)

Вопросы учащихся:

1) Во сколько раз второй член больше первого? (в 2 раза)

2) Чему равен второй член прогрессии? (6)

Решение: 6:2=3

Задача 2. Я задумала некоторую геометрическую прогрессию. Задайте мне только 2 вопроса, и назовите чему равен пятый член прогрессии, который неизвестен.

(1, 2, 4, 8…)

Вопросы учащихся:

1) Чему равен первый член прогрессии? (1)

2) Чему равен второй член прогрессии? (2)

Решение

И мы продолжаем восхождение. Впереди привал № 4.

V. Привал № 4. «Вывод формулы»

Вам необходимо вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.

Вам помогут в этом 2 старинные задачи.

Задача № 1. (Слайд)

Однажды один мудрец предложил богатому купцу такую сделку: «Я буду ежедневно отдавать тебе по 100 000 руб. А ты мне в первый день за 100 000 руб. дашь 1 руб., во второй день за 100 000 руб. - 2 руб. И так каждый день я буду увеличивать предыдущее число денег в 2 раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем». Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 руб. На следующий день они пошли к нотариусу и узаконили сделку.

Проблемная ситуация: кто в этой сделке проиграл купец или мудрец?

Решение.

Составим последовательность чисел, которую составят рубли, отдаваемые купцом: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; 512; 1024…

.

Это геометрическая прогрессия, в которой , , количество дней .

- Целесообразно ли составить всю последовательность за 30 дней и найти ее сумму? (Конечно нет, это громоздкая работа.)

- Как вы думаете, можно ли вычислить по формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии? (Да. Надо найти ).

Тогда послушайте историю о награде изобретателя шахматной доски.

Задача № 2.(Слайд)

По преданию, индийский купец Сирам, восхищенный необычностью игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, пригласил к себе изобретателя, ученого Сету, и сказал ему: «Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твое желание». Сету попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, на вторую - 2 зерна, на третью - 4 зерна и т. д.». Много ли зерна получил ученый Сету?

Решение.

Составим последовательность чисел по количеству зерна: 1; 2; 4; 8; 16… Найдем отношение каждого следующего члена последовательности к предыдущему:

, .

Это геометрическая прогрессия. Количество клеток на шахматной доске равно 64 (), значит, надо найти . Следовательно, необходимо вывести формулу .

(Вывод формул , ; проводится в ходе беседы учителя с классом.)

Итак, формула выведена. И мы продолжаем восхождение. Но, увы, в конверте №5 телеграмма: «Ожидается сход лавины. Вам необходимо вернуться назад и решить задачи про мудреца и купца и про создателя игры в шахматы.» И мы переходим на соседний привал.

VI. Привал № 5 «Старинные задачи»

Кто желает у доски все же решить задачу про мудреца и купца ?

Решение задачи № 1 (про мудреца и купца).

1; 2; 4; 8; 16…

, , , - ?

.

Следовательно, купец отдал мудрецу 1 073 741 823 руб.

Ответ: 1 073 741 823 руб.

- Как же разрешилась проблемная сделка? Кто в ней проиграл купец или мудрец? (В данной сделке проиграл купец, т. к. он получил 3 000 000 руб., а отдал 1 073 741 823 руб.)

Решение задачи № 2 (про создателя шахмат).

1; 2; 4; 8; 16… , , ,

Ученый Сету получил много зерна.

Продолжаем восхождение. И перед нами привал №6.

VII. Привал № 6. «Смелее решайте - формулу применяйте!»

№3. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, у которой , (у доски).

Решение.

, .

Ответ: .

№ 4. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии: 54; 36… (у доски).

Решение.

_, , Ответ: .

№ 5. (Задание выполняется самостоятельно по вариантам с последующей устной проверкой.)

Найдите сумму девяти первых членов геометрической прогрессии, если

I вариант

а). , .

Решение.

, .

Ответ: .

II вариант

б). , .

Решение.

, .

Ответ: .

Молодцы! Справились с заданием и перед вами вершина! Вы достигли пика Знаний

по теме «Геометрическая прогрессия. Сумма n первых членов геометрической прогрессии».

VIII. Привал №7. «Пик Знаний».

Итог урока. Рефлексия.

1. Что нового, интересного вы узнали на уроке?

2. По какой формуле можно найти сумму n первых членов геометрической прогрессии?

(, , )

3. Нарисуйте на листочке смайлик, соответствующий вашему настроению.

IX. Домашнее задание: составить кроссворд по теме «Прогрессия».

8