Урок обобщения и систематизации знаний в 9 классе.

Тема: Решение алгебраических уравнений высших степеней.

Развитие и образование ни одному человеку

не могут быть даны или сообщены.

Всякий, кто желает к ним приобщиться,

должен достигнуть этого

собственной деятельностью,

собственными силами,

собственным напряжением.

А.Дистервег.

Цели:

1. Обобщить, углубить знания учащихся по этой теме.

2. Развивать умение наблюдать, сравнивать способы решения уравнений, решать уравнения с параметрами.

3. Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность. Побуждать учеников к взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Оборудование: Экран, мультимедийная установка, таблицы.

У учащихся на столе оценочный лист, работа каждого ученика на уроке связана с этим листом.

Оценочный лист учащегося

Фамилия, имя

Этапы

Задание

Оценка

I

Проверка домашнего задания

II

Диктант

III

Выбор уравнений

IV

Решение уравнений. Индивидуальная работа

Не оценивается

V

Решение уравнений с параметром

Не оценивается

VI

Самостоятельная работа

VII

Подведение итогов урока

VIII

Домашнее задание

Итоговое количество баллов:

(n)

Оценка

Критерии оценок:

«5» - 18  n  20 баллов;

«4» - 14  n  16 баллов;

«3» - 11  n  13 баллов;

«2» - менее 11 баллов.

Ход урока

Учитель. Тема урока: «Решение алгебраических уравнений».

На этом уроке каждый ученик должен уметь верно и рационально решать алгебраические уравнения, потому что эти уравнения - фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры.

Эта тема является ступенькой в изучении боле сложного материала математики в средней школе. В конце урока будет проведена самостоятельная работа.

I. Проверка домашнего задания

(На компьютере заранее подготовлено домашнее задание. Ученики отвечают по готовым записям, обмениваются тетрадями и проводят взаимопроверки).

Предварительное домашнее задание

1. Решить уравнение х³ - х + 4 = 0 - графическим способом;

2. Решить уравнение х³ +2х² -5х - 6 = 0;

3. Решить уравнение ;

Решение первого уравнения.

Перепишем уравнение в виде: х³ = х - 4.

Построим графики функций у = х³ и у = х - 4.

у

-8 у=х³

у = х - 4

-2 -1,9 0 4

-4

А

Графики функций пересеклись в точке А. Абсцисса этой точки и есть корень уравнения х³ = х - 4.

По рисунку видно, что корень находится в промежутке (-2; 0) и приблизительно равен -1, 9. х  -1,9.

Ответ: х  -1,9.

Решение второго уравнения:

х³ +2х² -5х - 6 = 0,

обозначим Р₃(х) = х³ +2х² -5х - 6. Делители 6:  1,  2,  3,  6.

Р₃(2) = 8 +8 - 10 - 6 = 0, Р₃(-2) ≠ 0, Р₃(-3) = 0,

значит х₁ = 2, х₂ = -3 - корни уравнения,

тогда х³ +2х² -5х - 6 = (х - 2)(х + 3)М₁(х),

найдем М₁(х)

х³ +2х² -5х - 6 х² + х - 6

х³ + х² - 6х х + 1

х² + х - 6

х² + х - 6

0

Получим: х³ +2х² -5х - 6 = (х - 2)(х + 3)(х + 1),

(х - 2)(х + 3)(х + 1) = 0, получим корни х₁ = 2, х₂ = -3, х₃ = -1.

Ответ: х₁ = 2, х₂ = -3, х₃ = -1.

Решение третьего уравнения :

Умножим это уравнение на (х - 2)(х + 3) ≠ 0, получим

4х²(х + 3) - 4х(х - 2) = 9х + 2,

4х³ + 12х² - 4х² +8х - 9х - 2 = 0,

4х³ + 8х² -х - 2 = 0,

4х² (х + 2) + (х + 2) = 0,

(х + 2) + (4х² + 1) = 0. Откуда х = -2, а уравнение 4х² + 1 = 0 не имеет действительных корней.

Проверка.

При х = -2, знаменатели дробей, входящие в исходные уравнения, не равны нулю, значит х = -2 - корень уравнения.

Ответ: х = -2.

В результате обсуждения и проверки домашней работы выясняем сущность способов решения уравнений.

1. графического способа;

2. решение уравнений с целыми коэффициентами;

3. решение дробно-рационального уравнения;

Результаты выполнения домашнего задания заносятся в оценочный лист.

Оценка «5» - нет ошибок, «4» - 2 - 3 ошибки, «3» - более трех ошибок.

II. Диктант

(учитель диктует, но задания написаны на плакате, который висит на доске).

1. - Назовите целые делители чисел 17, 12.

2. - Решите уравнение 3х + 2 = 3х + 3.

3. - Угадайте хотя бы один корень уравнения х³ - 10х + 9 = 0.

4. - Решите уравнение.

5. - Делится ли нацело квадратный трехчлен х² - 5х + 6 на х - 2?

6. - Для какого из многочленов 2х³ - 3х² + х - 5 и 2х³ - 3х² + 3х корнем является число 0?

Диктант проверяется с помощью компьютера.

Критерии оценок: «5» - нет ошибок, «4» - одна ошибка, «3» - две ошибки.

III. На доске записаны уравнения в два столбика:

а) х³ + 7х² - 2 = 0;

б) х⁵ + 4х⁴ - 5х³ + 2х² - 2 = 0;

в) х⁴ - 3х² + 2 = 0;

г) 3х³ + 6х² - 3х - 6 = 0;

а) 4х⁵ - 6х⁴ + 7х³ - 3х² + а = 0;

б) х⁴ - 6х³ + 5х² + 7х + а = 0;

в) 2х² - 3х² + 4х + а = 0;

г) х³ - 7х² + 7х + а = 0;

1. 1) Выбрать из первого столбика уравнения, имеющие корень х = 1.

2. При каком а каждое из уравнений второго столбика будет иметь корень х = 1.

Проверка задания осуществляется с помощью компьютера.

Критерии оценок: «5» - нет ошибок, «4» - одна ошибка, «3» - две ошибки.

IV. Индивидуальная работа

У доски три ученика решают уравнения, записанные на карточках.

1. 2х³ - 3х² + 4х - 3 = 0;

2. х⁴ - 6х³ + 5х² + 7х - 7 = 0;

3. х³ - х² - 8х + 6 = 0;

Остальные учащиеся решают уравнение

2х⁴ - 5х³ - х² + 5х + 2 = 0

Один из учащихся комментирует ход решения с места.

Это возвратное уравнение. х = 0 не является корнем уравнения. Делим уравнение на х².

;

;

.

Вводим замену , , , тогда

2(t² + 2) - 5t -1 = 0; 2t² + 4 - 5t - 1 = 0;

2t² - 5t + 3 = 0; D = 25 - 24 = 1.

t₁ = 3/2; t₂ = 1.

; .

Решая первое уравнение, получим: , х₁ = 2, х₂ = -1/2.

Решая второе уравнение, получим: .

Ответ: х₁ = 2, х₂ = -1/2, , .

Работу учащихся оценивает учитель:

«5» - нет ошибок, «4» - одна ошибка, «3» - две ошибки.

Решение третьего уравнения х³ - х² - 8х + 6 = 0.

Делители 6: 1, 2, 3, 6.

Обозначим Р₃(х) = х³ - х² - 8х + 6,

Р₃(2) ≠ 0, Р₃(-2) ≠ 0, Р₃(3) = 27 - 9 - 24 + 6 = 0, х₁ = 3 - корень.

Р₃(х) = (х - 3)М₂(х). Найдем М₂(х).

х³ - х² - 8х + 6 х-3

х³ - 3х² х² + 2х - 2

2х²-8х +6

2х²-6х

-2х + 6

-2х + 6

0

х³ - х² - 8х + 6 = (х - 3)( х² + 2х - 2);

(х - 3)( х² + 2х - 2) = 0;

х₁ = 3, , .

Ответ: х₁ = 3, ,.

V. Решение уравнений, содержащих параметр.

На доске три уравнения.

1. ах³ - 2х² - 5х + 6 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен - 2.

2. х³ + ах² - 5х + 6 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен 3.

3. х³ - х² + ах + 12 = 0, решить уравнение, если известно, что один из корней равен - 3.

Ученик решает первое уравнение на доске.

ах³ - 2х² - 5х + 6 = 0

Ученик. Так как -2 является корнем уравнения, то

а(-2)³ - 2(-2)² - 5(-2) + 6 = 0

-8а - 8 + 10 + 6 = 0, а = 1, тогда х³ - 2х² - 5х + 6 = 0.

Сумма коэффициентов равна нулю, значит х = 1 является корнем уравнения, т.е. два корня найдены. Находим третий корень.

х³ - 2х² - 5х + 6 х² + х - 2

х³ + х² - 2х х-3

-3х²-3х +6

-3х²-3х +6

0

- 2х² - 5х + 6 = (х + 2)(х - 1)(х - 1), х = 3 - третий корень.

Ответ: х₁ = -2, х₂ = 1, х₃ = 3.

Второе уравнение решает другой ученик на доске с комментариями, а третий ученик в это время решает третье уравнение на обратной стороне доски.

Решение третьего уравнения проверяем все вместе.

х³ - х² + ах + 12 = 0

Так как х = -3, то -27 - 9 - 3а + 12 = 0, -3а = 24, а = -8.

Тогда х³ - х² - 8х + 12 = 0; Р₃(х) = х³ - х² - 8х + 12 = (х + 3)М₂(х),

х³ - х² - 8х + 12 х +3

х³ +3х² х² - 4х + 4

- 4х²-8х +12

4х²-12х

4х+12

4х +12

0

х³ - х² - 8х + 12 = (х + 3)(х² - 4х + 4); (х + 3)(х² - 4х + 4) = 0;

Корнями уравнения являются х₁ = - 3, х₂ = 2, х₃ = 2.

Ответ: х₁ = - 3, х_2,3 = 2

VI. Самостоятельная работа по вариантам

I вариант II вариант

1) Решите уравнение

х³ - 4х² - 9х + 36 = 0 х³ - 5х² - 8х + 40 = 0

2) Решите уравнение

3) Найдите а и решите уравнение, если известен один из его корней

2х³ - (а+4)х² + 2(а - 1)х + а = 0 6х³ + 2(а-9)х² - 3(2а - 1)х + а = 0

х₁ = 1/2 х₁ = 1/3

Ответы:

1) х₁ = - 3, х₂ = 3, х₃ = 4 1) х₁ = 5, , х₃ =

2) х = 1 2) х₁ = 1/2, х₂ = - 1/3

3) а = 1, х₁ =1/2, 3) а = -1, х₁ = 1/3,

Самостоятельная работа выполняется на листочках . Листок ученики подписывают и сдают учителю, предварительно выписав свои ответы в тетради. Проверка, оценивание и подведение итогов осуществляется при помощи компьютера.

Критерии оценок:

«5» - выполнено верно,

«4» - за два правильных задания,

«3» - за одно задание.

VII. Подведение итогов урока

Учитель отмечает, в какой мере достигнуты цели урока, оценивает работу каждого ученика, дает пояснение по домашнему заданию.

VIII. Домашнее задание

Если ученик получил оценку «4» или «5», то задание такое:

Решить уравнения

1. 4х⁴ - 11х² + 9х - 2 = 0

2. 

Если ученик получил оценку «3», то решить уравнения:

1. х³ - 3х - 2 = 0

2. х³ - 4х² + 5х - 2 = 0

6