Разработка урока по геометриии на тему Площадь треугольника (8 класс)

Класс: 9

Название курса: геометрия

Название темы: Площадь треугольника.

Автор: Айзатуллова Аниса Арифулловна

Подготовка к уроку. Урок - семинар готовят учитель и группа учащихся, состав которой определяется зависимости от индивидуальных качеств учащихся ( общительность, активность, творческое мышление, знание компьютера, любознательность), а так же желания участвовать в проекте.

Каждому участнику дается творческое задание, а они должны изучать, моделировать и на уроке выступить. Во время подготовки по необходимости могут получать консультации у учителя.

Цель урока: В результате творческих работ учащихся « открыть» различные формулы для вычисления площади треугольника. Рассмотреть их к

решению задач. Расширить знания учащихся по историческим данным темы.

Совершенствование познавательных действий по работе

с дополнительными источниками информации, умение выделять главное.

Развитие алгоритмического мышления и математической речи

Воспитание самостоятельности, умение преодолевать трудности при решения задач..

Оборудование: Персональный компьютер, колонки, электронная доска (или проектор с экраном), диски работами учащихся, учебник, тетрадь.

Ожидаемый результат: Реализация плана урока будет способствовать

достижению высокого познавательного интереса и творческой активности

учащихся, стремление их к самостоятельности, формированию навыков

рефлексии, самоконтроля и самооценки.

Проект урока - семинара по теме « Площадь треугольника»

Ход урока

I.Организационный момент. Приветствие.

Тема нашего урока « Площадь треугольника» Мы с вами изучали

площади прямоугольника, квадрата, параллелограмма, трапеции,

треугольника. Решали множество учебных задач. Понятие площади

имеет широкое практическое применение в повседневной жизни.

Сегодня на уроке мы рассмотрим следующие вопросы:

• Вычисление площади треугольника по двум сторонам и углу между ними;

• Вычисление площади правильного треугольников.

• Герон Александрийский. Формула Герона.

• Вычисление площади треугольника по сторонам и радиусу

вписанной ( или описанной) окружности.

II. Актуализация опорных знаний.

1. Что можно найти по данной формуле?

а) S = a²; б) Р = a + b+ c; в) P = 4a; г) S = a b; д) C= 2r; е) S = r²;

ж) S = ; з) P = 2( a + b); и) S = ah; к) S = .

2. Сформулируйте теоремы:

а) с² = a² + b²; б) a² = b² + c² - 2 bc cos A; в) .

III.Изучение нового материала (Выступление учащихся с своими

творческими работами).

1-й ученик. Площадь треугольника равна половине произведения

двух сторон на синус угла между ними.

S =.

Доказательство:

Рис1. 1) Известно, что S = а h_а.

2) В треугольнике АДС угол Д равен 90°,

Sin C=, отсюда h_а.= b Sin C.

Тогда S = а h_а.= а b Sin C.

Запомни:

S = - площадь треугольника

- стороны треугольника, - угол между этими сторонами.

Пример. Стороны треугольника 8см и 5см, а угол между ними 30°.

Найдите площадь треугольника.

Решение: S == * 8*5 sin30°= 20 * =10 ( см²).

Вопрос для обсуждения: При каком значении угла С площадь треугольника будет наибольшая? ( Площадь треугольника наибольшая,

если угол С= 90°, т.к. наибольшее значение sin=1 при =90°, а для остальных углов от 0° до 180° меньше 1.)

2-й ученик. Задача. Найдите площадь правильного треугольника АВС,

со стороной равной а.

Рис2.

Решение: Используем формулу S =.

Так как у правильного треугольника углы 60°,

стороны а, тогда S =а²sin60°=а²=.

Запомни:

площадь правильного треугольника.

3-й ученик.

Задача. Площадь параллелограмма равна половине

произведения диагоналей на синус угла между

ними.

Дано: АВСД параллелограмм

АС= d₁ рис3

ВД= d₂

АСВД= О

АОВ=

________________

S = ?

Доказательство: Диагонали параллелограмма делят его на 4 равно великих треугольника ( т.к. sin A= sin (180°- A)): АОВ, ВОС, СОД, АОД.

S= 4S_тр=4 ( sin)= .

Запомни:

- площадь параллелограмма

d₁ и d₂ - диагонали параллелограмма

- угол между диагоналями.

Частные случаи:

1. Если d₁=d₂ ( например прямоугольник), то получим .

2. Если угол между диагоналями 90°(например, ромб, квадрат),

то

Вопрос для обсуждения: Могут ли два параллелограмма с равными

диагоналями иметь разные площади? ( Могут т.к. площадь зависит не только от диагоналей, но и от угла между ними, если углы разные, то и

площади разные).

4-й ученик. Рассказывает о Героне Александрийском (см электронном носителе)

5-й ученик. Вывод формулы Герона ,

где p- полупериметр и а,b,c- стороны треугольника.

Рис4.

Решение:1) Известно, что S =.

2)По теореме косинусов с² = а²+ b² -2ab cosC, отсюда .

3) Из основного тригонометрического тождества sin²C+cos²C=1,

имеем sin²C= 1 - cos²C= ( 1- cosC )( 1 +cosC)=( 1 -)(1+)

=

=.

Замечая, что a+b+c=2p, a+c-b=2p-2b=2(p-b), b+c-a=2p-2a=2(p-a), a+b-c=2p-2c=2(p-c), получаем sinC= .

Таким образом

S ==.

Запомни:

Формула Герона для вычисления площади

треугольника ,

где a,b,c- стороны и .

6-й ученик. Задача. Площадь треугольника, описанного около окружности

равна произведению полупериметра и радиуса вписанной

окружности.

Рис5.

Решение: S = S₁ + S₂ +S₃= .

Задача. Докажите, что , где a,b,c стороны треугольника и

R радиус, описанной около треугольника окружности.

Доказательство:

Рис 1) Известно, что ,

отсюда

2) Умножая числитель и знаменатель

дроби на bc, получим

R==

3) S=.

Запомни:

S= pr, отсюда r =.

S=, отсюда R=.

a,b,c- стороны треугольника

r- радиус вписанной окружности

R- радиус описанной окружности

В ходе выступлений учащиеся класса выписывают в тетрадь

все выделенные формулы.

Задача для всего класса : Стороны треугольника 13см, 14см и 15см.

Найдите площадь треугольника и радиусы вписанной и описанной

окружностей.

Задание для самостоятельного решения с последующей проверкой.

IV. Подведение итога урока.

1. Какое выступление понравилось учащимся, чем?

2. Есть ли у них желание совершенствовать такие творческие уроки?

Пожелания, предложения.

3. Дома: Повторить все формулы, из цикла «ЗАПОМНИ», решить №26,33.

4. Творческое задание: поискать или придумать задачу практического содержание на применение одной из формул

( желательно записать на электронный носитель)