Элективтік курс «Теңсіздіктерді дәлелдеудің бір тәсілі туралы»

Альсейтов Амангелді Гумарович

БҚО Теректі аудандық «Үміт» лингвистикалық гимназиясының математика пәнінің мұғалімі

Мектеп математика курсында теңсіздіктер мәселелері өте маңызды болуы себепті оқушылар арасында өткізілетін әртүрлі деңгейдегі конкурстарда, олимпиадаларда теңсіздіктерді шешуге және дәлелдеуге қатысты есептер көптеп кездеседі. Теңсіздіктерді дәлелдеу математикалық сауаттылықпен қатар белгілі бір деңгейдегі математикалық мәдениеттілікті де талап ететіні белгілі. Теңсіздіктерді дәлелдеудің бірнеше тәсілдері бар. Солардың жиі кездесетіндерін және қолданылатындарын атап кетелік:

• теңсіздікті анықтаманы қолданып дәлелдеу;

• кері жору тәсілімен дәлелдеу;

• теріс емес сандардың арифметикалық, геометриялық, гармоникалық және квадраттық орталарының арасындағы байланыстарды қолданып дәлелдеу;

• математикалық индукция тәсілімен дәлелдеу;

• туынды көмегімен дәлелдеу.

Теңсіздіктерді дәлелдеуге берілген есептерді шешкенде көптеген жағдайда шартын қанағаттандыратын сандары үшін санын , мұндағы , түрінде алған қолайлы болады.

1-мысал. Егер және болса, онда болады.

Дәлелдеу. болғандықтан, , . Сол сияқты, болғандықтан, , . Сондықтан

, себебі .

2-мысал. Егер және болса, мұндағы, және - оң сандар, онда болады.

Дәлелдеу. болғандықтан, , ; болғандықтан, , . Сондықтан . себепті екендігі шығады.

3-мысал. болғанда функциясы аралығында кемитіндігін, аралығында өсетіндігін дәлелдеңіз.

Дәлелдеу. Кемімелі (өспелі) функцияның анықтамасына сәйкес аралығынан алынған шартын қанағаттандыратын кез келген және сандары үшін теңсіздігі орындалатынын көрсетсек жеткілікті. болсын, онда , . Сондықтан

екендігі түсінікті. Сол себепті айырмасының таңбасы өрнегінің таңбасымен бірдей болатынын көреміз. Екі жағдайды жеке - жеке қарастырайық.

а) . Бұл жағдайда, екендігін ескерсек, теңсіздігін аламыз, яғни ;

б) болса, онда шартынан өзге шарт жоқ, сондықтан , яғни . Дәлелдеу керегі де осы еді.

4-мысал. Егер , болса, онда болады /1/.

Дәлелдеу. , делік. Онда берілген теңсіздік

түріне келеді, мұндағы , .

Соңғы теңсіздікті дәлелдейік. Анықтық үшін болсын, онда , .

Әрі қарай

.

Сонымен, , , ,

яғни , , . Теңдік жағдайында ғана орындалады.

5-мысал. Егер , болса, онда болады.

Дәлелдеу. Анықтық үшін делік. Онда , және берілген теңсіздік түріне келеді. Соңғы теңсіздікті дәлелдейік.

.

Сонымен, , яғни ; теңдік жағдайында ғана орындалатынына көз жеткізу қиын емес.

Біз ұсынып отырған тәсіл, әрине, көпшілік оқырмандарға оқулықтар мен ғылыми және ғылыми-әдістемелік газет-журналдар арқылы белгілі. Біздің бұл жердегі басты мақсатымыз - ұсынылып отырған тәсілдің оқушыларды математикалық мәдениеттілікке тәрбиелеуде алатын орнын көрсету. Сонымен қатар бұл тәсілді мектеп оқушылары арасында жыл сайын өткізілетін халықаралық олимпиада есептерін шығаруға да қолдануға болатынын айта кеткен жөн. Олимпиадалық есептерді шешу барысында көбінесе теріс емес сандардың арифметикалық және геометриялық орталарының арасындағы қатынас (теңсіздік) және туынды қолданылады. Ал туынды 10-сыныпта өтілетінін ескерсек, біз ұсынып отырған тәсілдің артықшылығы бар екендігін көреміз. Бұл тәсіл кейбір жағдайларда ұзақ есептеулерді талап ететін болса да, оқушылардың түсінуіне өте жеңіл және қолдануға қолайлы. Сонымен қатар бұл тәсіл оқушыларды анализ бастамаларын меңгеруге дайындауда көмектеседі, себебі біз, аттарын атап айтпасақ та, тәуелсіз айнымалының өсімшесін және тәуелді айнымалының (функцияның) өсімшесін қарастырамыз. Төмендегі мысалдарда кейбір жағдайларда тек біз ұсынып отырған тәсілді қолданамыз, ал кейбір жағдайларда бұл тәсілді басқа тәсілдермен қатар қолданамыз.

Енді халықаралық олимпиадалардан бір-екі есеп келтірейік.

6-мысал. (25-ші Олимпиада, Прага, Чехословакия, 1984 жыл) /2/. - теріс емес нақты сандар және .

қос теңсіздігін дәлелдеңіз.

Дәлелдеу. Анықтық үшін болсын. , , мұндағы делік. шартынан немесе теңдігін аламыз. болғандықтан , яғни болады. Бұдан екендігі шығады. өрнегінде пен -тің орындарына сәйкесінше және өрнектерін қойсақ, онда біраз түрлендірулерден кейін теңдігін аламыз. Соңғы теңдіктің оң жағындағы соңғы қосылғыш теріс емес, себебі және болғандықтан . Есеп шарты бойынша болғандықтан,

.

Сонымен, .

Қос теңсіздіктің біріншісі (сол жағындағысы) дәлелденді. Ескере кететін нәрсе, аталған теңсіздікті дәлелдегенде теңбе-тең түрлендірулер мен қарапайым пайымдаулардан өзге ештеңе қолданған жоқпыз. Бұдан аталған теңсіздікті 8-9-шы сынып оқушылары да (тек қана 7 жылдық білімге сүйене отырып!) дәлелдей алады деген қорытынды жасаймыз.

Қос теңсіздіктің екіншісін дәлелдейік. Жоғарыда теңдігін алған едік. болғандықтан Коши теңсіздігі бойынша . екендігін ескерсек, бұдан теңсіздігін аламыз. Сондықтан . функциясының кесіндісінде өспелі болатынын туынды көмегімен анықтау қиын емес; сондықтан функциясы өзінің ең үлкен мәнін нүктесінде қабылдайды: . Сонымен .

Есеп толығымен шешілді.

7-мысал. (24-ші Олимпиада, Париж, Франция, 1983 жыл) /2/. - үшбұрыштың қабырғалары.

теңсіздігін дәлелдеңіз.

Қандай жағдайларда теңдік орындалатынын анықтаңыз.

Дәлелдеу. Анықтық үшін - үшбұрыштың ең кіші қабырғасы болсын. , , мұндағы , делік. Бұл өрнектерді теңсіздіктің сол жағына қойып, біраз түрлендірулерден кейін

өрнегін аламыз.

Екі жағдай болуы мүмкін: 1) , яғни , 2) , яғни .

Бірінші жағдайда есеп шарты бойынша болғандықтан , олай болса қосындысында төрт қосылғыштың ешқайсысы теріс емес. Сонымен бұл жағдайда . болуы үшін төрт қосылғыш та нольге тең болуы керек, яғни , және болуы керек. Бұдан , , яғни екендігі шығады. Сондықтан теңдік үшбұрыш тең қабырғалы болғанда ғана орындалады.

Екінші жағдайда . Үшбұрыштар теңсіздігі бойынша , яғни , олай болса және .

Соңғы екі теңсіздікті қолдана отырып және екенін ескере отырып келесі теңсіздіктер тізбегін аламыз:

Есеп толығымен шешілді.

Ескерту. /2/ кітапта соңғы екі есепті шешу үшін Коши теңсіздігі бірнеше рет және (соңғы есепті шешуде) векторлар үшін Коши-Буняковский теңсіздігі қолданылған.

Қолданылған әдебиеттер:

1. Альсейтов А.Г. Математика: Формулалар жинағы. Анықтамалық материалдар. - Орал.: Полиграфсервис, 2012.

2. Фомин А.А., Кузнецова Г.М. Школьные олимпиады. Между-народные математические олимпиады. -М.: Дрофа, 1998.