Деловая игра Занятие по теме: «Приложение производной в экономике»

Деловая игра

Занятие по теме:

"Приложение производной в экономике"

Учебно-воспитательные задачи

Дидактическая цель

Показать применение исследования функции к решению прикладных задач и в ходе ее решения обобщить и систематизировать алгоритм исследования функций и построения графиков.

Воспитательная цель

В процессе подготовки и выполнения заданий продолжать формировать чувство ответственности за результаты своей работы, самокритичности в оценке результатов решения задач наряду с чувством уверенности в правильности выполнения работы.

Основные знания и умения

Знать правила исследования функций и построения графиков. Уметь исследовать функции на возрастание и убывание, экстремум, наибольшее и наименьшее значение на отрезке, строить графики.

Обеспечение занятия

Раздаточный материал: карточки задания для групповой работы. Вычислительные средства: микрокалькуляторы.

Вид занятия.

Урок применения знаний и умений

Форма урока: дидактическая игра

Тема игры: исследование производительности труда

Последовательность хода занятия

1. Сообщить цели и задачи урока.

2. Выдать группам индивидуальное задание, на решение которого отводится 15 минут.

3. Группы готовят ответ-защиту своих решений, а в это время руководители групп составляют общий отчет.

4. Обсуждение решений и общего отчета.

5. Подведение итогов и выставление оценок.

План занятия

1. Сообщение цели и задачи урока

Мы изучили тему "Производная", познакомились со способами исследования функции, рассмотрели физический, геометрический и экономический смысл производной. Цель сегодняшнего урока заключается в том, чтобы от производственной ситуации перейти к математической модели. Необходимо проанализировать, логически осмыслить, обобщить поставленную задачу и подготовить творческий отчет.

В процессе подготовки и выполнения заданий необходимо проявить чувство ответственности за результаты своей работы, самокритичность в оценке результатов решения задач наряду с чувством уверенности в правильности выполнения работы.

2. Сообщение условия игры

Вы являетесь сотрудниками НИИ. Институт получил заказ от одного из заводов города исследовать изменение производительности труда одной, отдельно взятой бригады в течение рабочего дня. Выполнить заказ поручили вашему отделу. Каждая группа отдела решает свою задачу. Итогом работы группы является отчет и его защита. Руководители групп вместе с начальником отдела готовят отчет - проект заказа для института.

По итогам конкурса на должность начальника отдела и руководителей групп назначены___________________________________________________________

Каждая группа получает индивидуальное задание и приступает к его выполнению. Руководители групп могут обращаться за помощью к начальнику отдела. На выполнение задания дается 15 минут. По истечении времени руководители групп и начальник отдела приступают к оформлению отчета.

В это время группы готовят защиту своих решений.

Через 10 минут мы приступаем к обсуждению результатов работы. При оценивании будут учитываться:

1) Время решения задачи.

2) Качество решения задачи.

3) Четкость и ясность защиты.

4) Сознательный и творческий подход к выводу.

5) Самостоятельность в работе.

Задача

Объем продукции u(t), произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u (t) = - 5/6 t³ + 15/2 t² + 100 t + 50 (ед.), 1 ≤ t ≤ 8, где t - рабочее время в часах.

1) Найти производительность труда, исследовать ее и построить график изменения производительности труда. Сделать вывод.

2) Найти скорость изменения производительности труда. Исследовать ее и построить график. Вычислить скорость изменения производительности труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

3) Найти темп изменения производительности труда. Вычислить темп изменения производительности труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

4) Найти наибольший и наименьший объем выпущенной продукции. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

5) Вычислить наибольшее и наименьшее значения производительности труда и время, в которое она бывает. Сделать вывод.

Дополнительный вопрос.

Когда целесообразнее всего сделать перерыв? Ответ обосновать.

На решение задачи каждой группой, дается 15 минут. Через 15 минут, или раньше, руководители групп предоставляют решения начальнику отдела и совместно подводят итог работы, делая общий вывод.

3. Подготовка защиты решений и составление общего отчета

Группы готовят защиту решений, руководители групп составляют общий отчет.

4. Обсуждение решений и общего отчета

Каждой группе дается 5 минут для выступления и 10 минут выделяется для обсуждения общего отчета.

5. Подведение итогов и выставление оценок

Подсчитать общее количество баллов по каждой группе. Сообщить результат и дать время для того, чтобы учащиеся обсудили и самостоятельно выставили оценки каждому участнику игры.

По каждому критерию максимальная оценка 5 баллов, максимальная оценка группе - 20 баллов, максимальная оценка руководителям групп - 20 баллов.

При выставлении оценок учесть, что:

1) заказчик выставляет оценку начальнику отдела, главному консультанту и назначает общий балл руководителям групп;

2) руководителям групп выставляют оценку начальник отдела и главный консультант, причем пятерку могут получить только те начальники отделов, чьи группы набрали не менее 20 баллов, а сумма оценок руководителей групп не должна превышать общего балла, который назначил руководителям групп заказчик.

3) остальные сотрудники отдела получают оценку, исходя из общего количества баллов группы, так чтобы оценка каждого не превосходила оценки руководителя.

4) заказчик имеет право проверить объективность любой выставленной оценки.

ТАБЛИЦА ПОДВЕДЕНИЯ ИТОГОВ ПО ГРУППАМ

Критерии оценки:

1

2

3

4

5

1

Время решения задачи

2

Качество решения задачи

3

Четкость и ясность защиты

4

Сознательный и творческий подход к выводу

5

Самостоятельность в работе

Ведомость оценок группы № _____

Общее количество баллов _______

Фамилия, имя

Оценка

Руководитель группы

Сотрудники

1.

2.

3.

4.

5.

ПРИГЛАШЕНИЕ

на урок-игру по математике

"Исследование

производительности труда"

в группе ____________________

Ставропольского колледжа связи.

Дата проведения: _____________

Время проведения: ____________

Место проведения: аудитория ___

__________________________________________________________________

ПРОГРАММА

Действующие лица:

главный консультант НИИ ________

руководители групп: 1. ____________

2. ____________ 3. ____________

4. ____________ 5. ____________

сотрудники НИИ - учащиеся группы, заказчик - представитель администрации завода (преподаватель)

Примечание:

Всем участникам иметь с собой ручки

тетрадь, линейку, микрокалькулятор.

Повторить:

1) геометрический, физический,

механический, экономический смысл

производной;

2) правило вычисления темпа изменения функции;

3) правила исследования функции на

экстремум, на наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ИГРЫ

Вы являетесь сотрудниками НИИ.

Институт получил заказ от одного из

заводов города исследовать изменение производительности труда одной, отдельно взятой бригады в течение рабочего дня. Выполнить заказ поручили вашему отделу. Каждая группа отдела решает свою задачу. Итогом работы является отчет и его защита.

Руководители групп вместе с начальником отдела готовят отчет -проект заказа для института. Объявляется конкурс на должность главного консультанта НИИ, начальника отдела и руководителей групп.

Желаю успехов!

Решение задачи

Условие задачи первой группы

Объем продукции u(t), произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u (t) = - 5/6 t³ + 15/2 t² + 100 t + 50 (ед.), 1 ≤ t ≤ 8, где t - рабочее время в часах.

1) Найти производительность труда, исследовать ее и построить график изменения производительности труда. Сделать вывод.

Решение

Пусть z (t) - производительность труда. Экономический смысл производной заключается в том, что первая производная объема произведенной продукции есть производительность труда в момент времени t₀.

Тогда, если u (t) = - 5/6 t³ + 15/2 t² + 100 t + 50, то

z (t) = u' (t) и z (t) = - 5/2 t² + 15 t + 100 (ед./ч)

Исследуем производительность труда, построим график изменения производительности труда.

Найдем промежутки монотонности функции z (t).

z'(t) = - 5 t + 15

- 5 t + 15 = 0

t = 3 - критическая точка, производная меняет свой знак с плюса на минус.

z (3) = 122.5 - максимум производительности труда.

Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость.

z" (t) = - 5 - производная отрицательна, следовательно, функция выпукла на всей области определения

3часа

Вывод: Максимальная производительность труда бывает через три часа после начала работы. Через час после начала работы производительность труда выше, чем в конце рабочего дня. Первые три часа работы производительность труда растет, а затем резко падает.

Условие задачи второй группы

Объем продукции u(t), произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u (t) = - 5/6 t³ + 15/2 t² + 100 t + 50 (ед.), 1 ≤ t ≤ 8, где t - рабочее время в часах.

2) Найти скорость изменения производительности труда. Исследовать ее и построить график. Вычислить скорость изменения производительности труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

Решение

Пусть z (t) - производительность труда. Экономический смысл производной заключается в том, что первая производная объема произведенной продукции есть производительность труда в момент времени t₀.

Тогда, если z (t) = u' (t), то z (t) = - 5/2 t² + 15 t + 100 (ед./ч)

Найдем скорость изменения производительности труда. Для этого найдем производную функции Z (t).

z'(t) = - 5 t + 15

Исследуем функцию на монотонность.

z" (t) = - 5 - производная отрицательна, следовательно, функция убывает на всей области определения. Скорость изменения производительности труда линейная функция, графиком является прямая.

Вычислим скорость изменения производительности труда через час после начала работы и за час до ее окончания.

z'(1) = - 5· 1 + 15 = 10 и Z'(7) = - 5· 7 + 15 = -20

Вывод: Скорость изменения производительности труда постоянно падает после начала работы. Через час после начала работы скорость изменения производительности труда положительна, а значит производительность труда растет, за час до окончания работы скорость изменения производительности труда отрицательна, значит производительность падает.

Условие задачи третьей группы

Объем продукции u(t), произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u (t) = - 5/6 t³ + 15/2 t² + 100 t + 50 (ед.), 1 ≤ t ≤ 8, где t - рабочее время в часах.

3) Найти темп изменения производительности труда. Вычислить темп изменения производительности труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

Решение

Производительность труда выражается производной объема произведенной продукции z (t) = u' (t) = - 5/2 t² + 15 t + 100 (ед./ч), а темп изменения производительности выражается логарифмической производной T_z (t) = [ln z(t)]'

z'(t) = - 5 t + 15

T_z(t) = [ln z(t)]'= z'(t) / z(t)= (-5 t +15)/(- 5/2 t² + 15 t +100)=(2t - 6)/( t² - 6 t - 40)

Вычислим темп изменения производительности труда через час после начала работы и за час до ее окончания.

T_z(1) = 0, 09 (ед. /ч),

T_z(7) = - 0, 24 (ед. /ч)

Вывод: Через час после начала работы темп изменения производительности труда положителен, а значит производительность труда растет, а за час до окончания работы темп изменения производительности труда отрицателен, значит производительность падает. Изменение знака T_z (t) с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется ее снижением в последние часы.

Условие задачи четвертой группы

Объем продукции u(t), произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u (t) = - 5/6 t³ + 15/2 t² + 100 t + 50 (ед.), 1 ≤ t ≤ 8, где t - рабочее время в часах.

4) Найти наибольший и наименьший объем выпущенной продукции. Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Сделать вывод.

Решение

Объем продукции u(t), произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u (t) = - 5/6 t³ + 15/2 t² + 100 t + 50 (ед.), 1 ≤ t ≤ 8, где t - рабочее время в часах. Исследуем данную функцию на наибольшее и наименьшее значение на отрезке от 1 до 8.

Найдем производную функции.

u' (t) = - 5/2 t² + 15 t + 100

Найдем критические точки функции

- 5/2 t² + 15 t + 100 = 0

t₁ = -4, t₂ = 10 - не входят в рассматриваемый отрезок [1; 8]: по смыслу задачи объем произведенной продукции растет с течением времени t.

Наименьшее значение функция принимает при t = 1, а наибольшее при t = 8.

Наибольший объем выпущенной продукции

u_наиб (8) = - 5/6 · 8³ + 15/2 · 8² + 100 · 8 + 50 = 903 (ед.)

Наименьший объем выпущенной продукции

u_наим (1) = - 5/6 · 1³ + 15/2 · 1² + 100 · 1 + 50 =156 (ед.)

Пусть z (t) - производительность труда. Экономический смысл производной заключается в том, что первая производная объема произведенной продукции есть производительность труда. Тогда, если u (t) = - 5/6 t³ + 15/2 t² + 100 t + 50, то z (t) = u' (t) и z (t) = - 5/2 t² + 15 t + 100 (ед./ч)

Вычислим производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания.

z (1) = - 5/2 + 15 + 100 = 112.5 (ед. /ч),

z (7) = - 5/2 · 49 + 15 · 7 + 100 = 82.5 (ед./ч).

Вывод: Объем произведенной продукции растет с течением времени t. Через час после начала работы производительность труда значительно выше, чем за час до окончания рабочего дня.

Условие задачи пятой группы

Объем продукции u(t), произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением u (t) = - 5/6 t³ + 15/2 t² + 100 t + 50 (ед.), 1 ≤ t ≤ 8, где t - рабочее время в часах.

5) Вычислить наибольшее и наименьшее значения производительности труда и время, в которое она бывает. Сделать вывод.

Решение

Пусть z (t) - производительность труда. Экономический смысл производной заключается в том, что первая производная объема произведенной продукции есть производительность труда. Тогда, если u (t)= -5/6 t³+15/2 t²+100 t+ 50, то z (t) = u' (t) и z (t) = - 5/2 t² + 15 t + 100 (ед./ч)

Исследуем производительность труда на наибольшее и наименьшее значение на отрезке.

По условию задачи t - рабочее время в часах, где 1 ≤ t ≤ 8

Найдем критические точки функции z (t).

z'(t) = - 5 t + 15

- 5 t + 15 = 0

t = 3 - критическая точка.

Вычислим производительность труда на концах заданного отрезка и в критической точке.

z (1) = 112,5 (ед./ч),

z (8) = - 5/2 · 64 + 15 · 8 + 100 = 60 (ед./ч).

z (3) = - 5/2 · 9 + 15 · 3 + 100 = 122,5 (ед./ч).

Вывод: Максимальная производительность труда наступает через три часа после начала работы, минимальная производительность труда наступает в конце рабочего дня. К концу рабочего дня производительность труда падает более чем в два раза. Перерыв необходимо делать в середине рабочего дня.

Дополнительный вопрос.

Когда целесообразнее всего сделать перерыв? Ответ обосновать.

Ответ

- перерыв лучше всего сделать через 4 часа после начала работы,

так как через 3 часа после начала работы производительность

труда была максимальной, а затем начала резко падать.

ЛИТЕРАТУРА

"Высшая математика для экономистов" под редакцией проф. Н.Ш. Кремера Москва, изд. "ЮНИТИ" 1997 год.