Основные методы решения уравнений

Основные методы решения уравнений

Что такое решение уравнения?

Тождественное преобразование. Основные

виды тождественных преобразований.

Посторонний корень. Потеря корня.

Решение уравнения - это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным. Такая замена называется тождественным преобразованием. Основные тождественные преобразования следующие:

1.

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) ² = 15x+10 можно заменить следующим равносильным: 9x² + 12x + 4 = 15x + 10 .

2.

Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « - »: 9x² + 12x + 4 - 15x - 10 = 0, после чего получим: 9x² - 3x - 6 = 0 .

3.

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю.

П р и м е р . Уравнение x - 1 = 0 имеет единственный корень x = 1.

Умножив обе его части на x - 3 , мы получим уравнение

( x - 1 )( x - 3 ) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3.

Последнее значение не является корнем заданного уравнения

x - 1 = 0. Это так называемый посторонний корень.

И наоборот, деление может привести к потере корня. Так

в нашем случае, если ( x - 1 )( x - 3 ) = 0 является исходным

уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении

обеих частей уравнения на x - 3 .

В последнем уравнении (п.2) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим:

3x² - x - 2 = 0 .

Это уравнение равносильно исходному:

( 3x+ 2 )² = 15x + 10 .

4.

Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь из обеих частей уравнения корень нечётной степени. Необходимо помнить, что:

а) возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней;

б) неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.

П р и м е р ы . Уравнение 7x = 35 имеет единственный корень x = 5 .

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим

уравнение:

49x² = 1225 .

имеющее два корня: x = 5 и x = - 5. Последнее значение

является посторонним корнем.

Неправильное извлечение квадратного корня из обеих

частей уравнения 49x² = 1225 даёт в результате 7x = 35,

и мы теряем корень x = - 5.

Правильное извлечение квадратного корня приводит к

уравнению: | 7x | = 35, а следовательно, к двум случаям:

1) 7x = 35, тогда x = 5 ; 2) - 7x = 35, тогда x = - 5 .

Следовательно, при правильном извлечении квадратного

корня мы не теряем корней уравнения.

Что значит правильно извлечь корень? Здесь мы встречаемся

с очень важным понятием арифметического корня

(см. параграф "Арифметический корень").