Палиндром жай сандар ғылыми жобасы (6-7 сынып)

Кіріспе

Тақырыптың өзектілігі:

Көне заманнан мұраға қалған асыл қазынаның бірі - сандар. Сан ғасырлар бойы сенімі мен ұстанымы болып келген сандар сырының киелі ұғымдарына шолу жасап, күнделікті тұрмыстағы атқаратын рөліне аса көңіл бөлу өркениетті мемлекеттің әрбір азаматының парызы.

Математика - адамзат тарихында ең ерте қалыптасқан ғылымдардың бірі. Адамзат даналығының ойлап тапқан жаңалығы ол - жазу.

Ал цифрлар болса, осы жазулардың негізінде пайда болған таңбалардың бірі болып табылады.

Сөздерді жазу үшін қолданылатын әріптер қандай болса, сандарды жазу үшін цифрлар - керекті таңбалар болып табылады. Цифр деген сөздің төркіні арабтың «Әс-сифр» деген сөзінен алынған.

Кейбір деректер бойынша хинди тілінде «сунья» - бос орын дегенді білдіреді деген болжам бар.

Бізді жан-жақтан сандар қоршайды, олар бізге барлық жерде қажет. Біз сандар арқылы санап қана қоймаймыз, олармен санасамыз.

Палиндром - сандар осы цифрлардың белгілі бір ретпен жазылған түрі. Осы реттілік арқылы біз эстетикалық реттілікті байқай аламыз. Айналамызды қоршаған симметрия әлемінде палиндром-сандар, соның ішінде мен зерттеп отырған палиндром-жай сандар да өз үйлесімін табады.

Зерттеудің мақсаты:

Зерттеудің алдына қояр негізгі мақсаты - палиндром-сандардың ішінде палиндром-жай сандарға жүйелі шолу жүргізіп, мектеп оқушыларына таныстыру. Осыған дейін таныс палиндром-жай сандарды зерттей келе, жаңа палиндром-жай сандарды анықтау.

Жобаның міндеттері:

• Палиндром-сандарды жүйелеу, жинақтау;

• Палиндром сандардың қасиеттерін көрсету.

Зерттеу нысаны:

Өткен ғасырдан бері зерттеліп келе жатқан палиндром сандар

Зерттеу болжамдары:

Егер оқушылар көне заманнан келе жатқан асыл қазынаның бірі - сандар екеніне көз жеткізсе, олардың математикаға қызығушылығы артып, эсттикалық тұрғыдан тәрбиелі болар еді.

Зерттеудің әдістемесі:

1. Жинақтау

2. Саралау

3. Баяндау

4. Талдау

5. Қорытындылау

Зерттеуге енген жаңалық:

Кез келген натурал сандардан палиндром сандар алуға болады.

Сандық палиндром - бұл оңнан солға және солдан оңға қарай бірдей оқылатын натурал сандар. Басқаша айтатын болсақ, жазылу симметриясымен

(цифрлардың орналасуы) ерекшеленеді, сондай-ақ цифрлар саны тақ та, жұп та болуы мүмкін. Палиндромдар көбінесе белгілі бір есімдермен аталған, мысалы: кескінді сандар - 676, 1001 (сәйкесінше квадрат және бесбұрыш); Смит сандары - 45454, 983389. Аталған қасиет кез келген репдиджит те болады, мысалы 2222222, атап айтқанда репьюнит.

Палиндромды басқа сандармен операция арқылы шығаруға болады. Мысалы, атақты ғылым насихаттаушы Мартин Гарднердың «Есть идея» кітабында «палиндром гипотезасы» туралы айтылған. Кез келген натурал санды оны қаратылған санға қосамыз, яғни сол сандарға, бірақ керісінше жазылған. Осы амалды шыққан суммамен қайталаймыз және осылайша палиндром шыққанша қайталай береміз. Кей кезде бір-ақ амал да жеткілікті

(мысалы, 312 + 213 = 525 ), бірақ, көбінесе екі амал орындау қажет болады. Мысалы, 96 санынан 4884 палиндромын төрт амалдан соң ғана аламыз.

96+69=165,

165+561=726,

726+627=1353,

1353+3531=4884.

Ал гипотезаның мәні мынада: кез келген натурал санды алып, қайсыбір амалдар арқылы палиндром шығаруға болады.

+ 22+1133

212²-121²44944-1464130303

2×121×102012×11²×101²22×1122111111×22222468642,

9 бірлік

123454321.

Тек қана қосу арқылы емес, басқа да амалдарды іске асыруға болады. Мысалы, дәрежеге шығару және түбір астынан шығару арқылы да палиндром сандарды алуға болады. Сіздерге палиндром шығарудың бірнеше мысалын ұсынамын:

Сандар ойыны

Біз осыған дейін тек күрделі сандарды қарастырдық. Енді жай сандарды алып көрейік. Олардың көбісі қызықты болып келеді және палиндромдар өте көп. Тек қана алғашқы жүз миллион натурал сандар арасында ғана 781 жай палиндромды санауға болады, оның ішінде жиырмасы алғашқы мыңдықта, олардың төртеуі бір таңбалы - 2, 3,5, 7 және бір ғана екі таңбалы сан - 11.

Осындай сандарға қатысты көптеген қызықты деректер мен ғажайып заңдылықтар бар.

Біріншіден, жұп саннан тұратын жалғыз палиндром - 11. Басқаша айтқанда, екіден жоғары жұп саннан тұратын күрделі сан палиндромдарын 11- ге бөлу арқылы жасауға болатын дәлелдеу қиын емес.

Екіншіден, кез келген жай палиндромның алғашқы және соңғы цифрлары тек 1, 3, 7 немесе 9 болып келеді. Бұл 2 және 5 - ке бөлінгіштік қасиетіне байланысты болады. Аталған цифрлардан тұратын барлық екі таңбалы жай сандарды (19 дан басқа) және түріндегі «кері қаратылған» сандар жұбына бөлуге болатыны қызықты. Бұл жерде a мен b әр түрлі цифрлар. Олардың әрқайсысы қай цифр бірінші болып тұрғанына қарамастан, солдан оңға, оңнан солға қарай бірдей оқылады.

13 және 31, 17 және 71,

37 және 73, 79 және 97.

Жай сандар кестесін қарастыра отырып, үш таңбалы сандар арасында жазылуы өзара ұқсас сандар жұбы кездесетінін көруге болады.

Оған қоса, жай үш таңбалы палиндромдар арасында ортадағы цифрлардың айырмасы 1-ге тең болатын сандар жұбы кездеседі.

181 және 191, 373 және 383

787 және 797, 919 және 929

Осыған ұқсас жағдайды үлкен жай сандарда да байқауға болады.

Мысалы:

94849 және 94949,

1177711 және 1178711

Палиндром - жай сандар әртүрлі симметриялық формулалар арқылы берілуі мүмкін, олар жазылу ерекшеліктерін айқындап тұрады. Бұл бес таңбалы сандарда жақсы көрінеді:

Ал көптаңбалы түріндегі жай сандар тек репьюниттерде кездеседі. Бұлар - бесеу. Олардың әрқайсысындағы цифрларының саны жай сандардан тұрады: 2, 19, 23, 317, 1031. Ортадағы цифрдан басқалары бірліктерден тұратынең ұзақ палиндром-жай сан : , онда 1749 цифр бар.

Жалпы палиндром - жай сандар арасында ғажайып сандар көп кездеседі. Соның бір ғана мысалы - мына алып сан:

Ал ол 118111 цифрдан тұратындығымен ерекшеленеді, оны үш палиндромдық топқа бөлуге болады, және әр топта цифрлар саны жай санмен берілген (5903 немесе 5).

Белгілі бір цифрлары бар жай сандар тобында да таңқаларлық палиндромдық заңдылықтар кездеседі. Атап айтсақ, әр санда кездесетін 1 және 3 цифрлары ғана.

Екі таңбалы жай сандар 13-31 және 31-13 жұптарын құрайды, алты үш таңбалы жай сандардың 5-еуінде екі палиндром бар: 131 және 313, екі сан «төңкерілген» жұп құрайды 311-113 және 113- 311. Барлық жағдайларда алынған жұптарды сандық шаршы түрінде көрсетуге болады:

Ерекше жұптар

1-сурет:

Өзінің қасиеттеріне қарай олар сиқырлы және латындық шаршыларды еске түсіреді. Мысалы, ортаңғы шаршыдағы сандардың әр жолы мен әр бағанындағы тұрған сандардың қосындысы 444 -ке тең, диагоналы - 262 және 626. Барлық торлардағы сандарды қосқанда 888 шығады. Және бір ерекшелігі - барлық сандар палиндром болып табылады. Бір кестедегі жай сандарды ешқандай бос орын қалдырмай жазып шыққанның өзінде жаңа палиндромдар шығады: 3113, 131313131 және т.б.

Егер 311- 113 және 113- 311 жұптарына 131 немесе 313 сандарын қосып жазсақ, 4 палиндромдық үштік шығады. Біреуін баған түрінде жазып көрейік:

311

131

113

Көріп тұрғанымыздай, қажет сандар да, комбинациялар да қай бағытта оқығанымызға қарамастан, палиндром екенін көрсетіп тұр. Сонымен қатар, сандар симметриялы орналасқан, ал олардың әр жолдағы, әр бағандағы және диагональдарының біріндегі цифрларының қосындысы жай сан 5-ке тең.

Қарастырылып отырған сандар жеке тұрғанда да қызығушылық тудырады. Мысалы, 131 палиндромы - жай циклдық сан: кез келген ретпен бірінші санды соңына ауыстырған кезде 311 және 113 жай сандары шығады.

«Төңкерілген» сандар жұбы 13-31 және 113-311сандарының квадратттары да осында «төңкерілген» жұптарды құрайды : 169-961, 12769- 96721. Бұл сандардың қосындысы да ерекше амалмен жасалған:

(1 + 3)² = 1 + 6 + 9,

(1 + 1 + 3)² = 1 + 2 + 7 + 6 + 9

Натурал сандар арасында осындай қасиетке ие басқа да «төңкерілген» палиндром сандар бар екенін атап өту керек: 103-301, 1102-2011, 11113-31111 және т.б. Бұндай заңдылықты қалай түсіндіруге болады? Бұл сұраққа жауап беру үшін көрсетілген сандардың жазылу ерекшеліктерін, қандай сан және олардың саны қанша екенін түсіну қажет.

Сандық конструктор

Палиндром жай сандарды белгілі бір ретпен орналастыра отырып, симметриялы фигуралар құрауға болады.

Мысалы, 1 және 3 цифрларынан ғана тұратын палиндром жай сандардың әдемі комбинация (біріншіден басқа; 2-сурет) шығады. Бұл сандық үшбұрыштың ерекшелігі - сурет симмертириясын бұзбастан, бір фрагмент үш рет қайталанады.

Жалпы жол мен баған саны - жай сан (17) екенін оңай аңғаруға болады. Сонымен қатар, жай сандар мен цифрлар қосыдысы: қызылмен көрсетілген (17); әр жол, біріншіден басқа ( 5, 11, 17, 19, 23); үшінші, бесінші, жетінші, тоғызыншы бағандар (7, 11) және үшбұрыштың шеткі жақтағы бірліктер «баспалдақтары» (11). Егер көрсетілген «жақтарға» параллель жылжи отырып, үшінші және бесінші қатардағы сандарды жеке- жеке қосатын болсақ (3 сурет) тағы екі жай сан шығады (17,5).

Осылайша жалғастыра отырып, осы үшбұрыш негізінде күрделірек фигуралар құрауға болады. Осыған ұқсас үшбұрышты соңынан жылжи отырып, яғни ең соңғы санан бастап, әр қадам сайын екі бірдей симметриялы орналасқан сандарды сызып тастау арқылы және 3-ті 1мен және керісінше орындарын алмастыра отырып шығаруға болады. Сандарды соңында шығатын сан жай сан болатындай таңдау керек. Екі фигураны қосқан кезде ерекше өрнекті ромб шығады, оның қатарында көптеген жай сндар бар (4 сурет). Қызылмен көрсетілген сандар қосындысы 37.

Тағы бір мысал - бастапқыға алты жай палиндром қосу арқылы алынған үшбұрыш. (5 сурет). Бұл фигура өзінің бірліктермен әдемі көмкерілгенімен ерекшеленеді. Оны екі ұзындығы бірдей жай репьюнит қоршап тұр: 23 бірлік үшбұрыштың «негізін» және соншасы «шеткі жақтарын» құрайды.

Тағы бірнеше фигура

Сандардан белгілі бір ерекшеліктері көпбұрышты фигуралар құрастыруға болады. Жай палиндромдардан 1 және 3 цифрларының көмегімен, соңғы сандары бірліктен тұратын, барлық сандардың қосындысы және бірліктер саны жай сан болатындай ( бір таңбалы палиндромнан басқа) фигура құрастыру қажет болды дейік. Сонымен қатар, жалпы жолдар саны, 1 және 3 цифрларының саны жай сан болуы керек.

6-суретте тапсырманың шешімі әртүрлі 11 палиндромнан құрастырылған «үйшік» түрінде көрсетілген.

Әрине, екі цифрмен шектелу және жазылуында барлық көрсетілген сандардың талап етілуі міндетті емес. Керісінше, олардың қалыптан тыс үйлесуі фигураның ерекше болуына әсер етеді. Осыған мысал ретінде бірнеше әдемі палиндромдарды көрсетуге болады.

7-сурет:

8-сурет:

9-сурет:

Енді жай сандар кестесін пайдалана отырып, өздеріңіз де ұсынылғандарға ұқсас фигуралар құрастыра аласыздар.

Қорытындылай келе, палиндром сандарды қосу арқылы ғана алып қоймай, басқа амалдарды да қолдану арқылы алуға болады. Палиндром-жай сандардың қасиеттеріне сүйене отырып, басқа да жай сандарды құрастырып аламыз.

Бағандары мен жолдарының саны жай сандар болып келетін неше түрлі геометриялық фигураларды құрастыруға болады. Мына үшбұрыштың бүйірлерін көмкеріп тұрған палиндром 193111111323111111391 - жай сан!

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. Мартин Гарднер "Есть идея!" , "Мир" баспа үйі, 1982 жыл

2. Исаак Д. "Задачи для школьников", "Квант", 1991 жыл №4

3. Корденский Б. "На часок к семейке репьюнитов", "Квант", 1997 жыл №5

4. "Замечательные числа. Дружественные числа и простые числа-близнецы" "Квант", 1988 жыл №9

5. Ғаламтор желісінен