Тема: Производная сложной функции. Дифференциал функции

Тема: Производная сложной функции. Дифференциал функции.

Образовательная цель:

• формирование понятий сложной функции, дифференциала функции;

• формирование умений находить производную сложной функции, дифференциал функции;

• отработка алгоритма применения правила нахождения производной сложной функции и дифференциала функции при решении примеров.

Воспитательная цель:

• воспитание ответственного отношения к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных сложных функций;

• формирование умения рационально, аккуратно оформить задание на доске и в тетради.

• воспитание дружеского отношения между студентами при проведении урока.

Развивающая цель:

• развивать умение обобщать, систематизировать на основе сравнения, делать выводы;

• развивать наглядно-действенное творческое воображение;

• развивать познавательный интерес.

Тип урока:

комбинированный

Вид урока:

смешанный

Межпредметные связи:

Физика, геометрия, спец. дисциплины

Оснащение урока:

Раздаточный материал, презентация к уроку

Структура занятия:

Организационный момент

Опрос, проверка домашнего задания

Изучение нового материала

Закрепление материала

Задание на дом

Подведение итогов

Ход урока:

I. Организационный момент: учет отсутствующих, постановка темы и цели урока, план работы на уроке.

"… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…"

Н.И. Лобачевский

Мы с вами уже говорили, производная имеет очень большое применение в геометрии, физике, механике, экономике, в приближенных вычислениях, при исследовании функций. В частности вы будете использовать производную так же в ходе изучения дисциплины «Основы алгоритмизации и программирования» при составлении программ для работы с графикой. Продолжаем систематизировать и углублять ранее полученные знания и сегодня мы поговорим о сложной функции и ее производной. Кроме этого разберем практические применения дифференциала функции.

II. Опрос, проверка домашнего задания:

1) Проверка домашнего задания:

а) визуальная проверка наличия выполненной домашней работы;

б) ответы на возникшие вопросы в ходе выполнения домашней работы;

в) по окончанию урока выборочная проверка домашних работ на оценку в журнал.

2) Фронтальный опрос:

1. Что называется производной функции в точке?

2. Что такое дифференцирование?

3. Какая функция называется дифференцируемой в точке?

4. Как взаимосвязаны непрерывность функции в точке и ее дифференцируемость в этой точке?

5. Какие правила дифференцирования вы знаете?

3) Устная работа (слайды)

Пример 1 Найти производную функции .

Решение: .

Пример 2 Найти производную функции .

Решение: .

Пример 3 Найти производную функции .

Решение: .

III. Изучение нового материала

1. Производная сложной функции (слайды)

Постановка проблемной ситуации: найти производную функции у =ln( cos x).

Мы имеем здесь логарифмическую функцию, аргументом которой служит не независимая переменная х, а функция cos x этого переменного.

• Как называются такого рода функции?

Правила и формулы дифференцирования, рассмотренные нами на прошлом занятии, является основными при вычислении производных.

Однако если для несложных выражений пользование основными правилами не представляет особого труда, то для сложных выражений, применение общего правила может оказаться делом весьма кропотливым.

Цель нашего сегодняшнего занятия рассмотреть понятие сложной функции и овладеть техникой дифференцирования сложной функции, т.е. техникой применения основных формул при дифференцировании сложных функций.

Из примера видно, что сложная функция это функция от функции. Следовательно, можно дать следующее определение сложной функции:

Определение: Функция вида y = f ( g (x) ) называется сложной функцией, составленной из функ­ций f u g, или суперпозицией функций f и g.

Поэтому сложную функцию часто пишут в виде

y = f(u), где u = g(x).

Внешняя функция Внутренняя(промежуточная)

функция

При этом аргумент х называют независимой переменной, а u - промежуточным аргументом.

• Как же вычислить производную сложной функции?

Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема: Если функция u = g(x) дифференци­руема в некоторой точке х₀, а функция y=f(u) дифференцируема в точке u₀ = g(x₀), то сложная функция у=f(g(x)) дифференцируема в данной точке x₀.

При этом

или

,

• А теперь разберем это на примерах (слайды).

Вывод:

1. Чтобы найти производную сложной функции, надо ее правильно прочитать;

2. Чтобы правильно прочитать функцию, надо определить в ней порядок действий;

3. Функцию читаем в обратном направлении порядку действий;

4. Производную находим по ходу чтения функции.

- Искусство дифференцирования сложной функции заключается в умении видеть в момент дифференцирования только одну функцию (именно - дифференцируемую в данный момент), не замечая пока другие, откладывая их видение до момента дифференцирования.

- используют при дифференцировании дополненную таблицу производных (учебник И.И. Валуцэ, стр. 215)

2. Дифференциал функции

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х. (1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка.

Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (*) можно записать так:

dy=ƒ'(х)dх, (2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (**) следует равенство .

Теперь производную можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f'(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.

Теорема. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:

Пример1. Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x²-sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=ƒ'(х) dx находим

dy=(3х²-sin(l+2x))'dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

Пример2. Найти дифференциал функции

Вычислить dy при х=0, dx=0,1.

Решение:

Подставив х=0 и dx=0.1, получим

Ответ: 0,5

Применение дифференциала к приближенным вычислениям

1) Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство

∆у≈dy, (3)

причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.

Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (3) широко применяется в вычислительной практике.

Пример 3. Найти приближенное значение приращения функции у=х³-2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.

Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х³-2х+1)'•∆х=(3х²-2)•∆х.

Ответ: 0,01

2) Для вычислений приближенных значений функций используется формула

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ'(х)•∆х. (4)

Пример 4. Вычислить приближенно arctg(1,05).

Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (4) имеем:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)'•∆х, т. е.

Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:

Ответ: 0,810

IV. Закрепление материала

Работа у доски и в тетради

№ 7.19- 7.31 - производная сложной функции (учебник И.И. Валуцэ, стр. 213)

№ 7.110, 7.112, 7.115 - дифференциал функции (учебник И.И. Валуцэ, стр. 245)

№ 7.120 (1), 7.123 (1), 7.124 (1), 7.125 (1) приближенные вычисления с помощью дифференциала (учебник И.И. Валуцэ, стр. 245)

V. Задание на дом

Конспект, § 34 (учебник И.И. Валуцэ, стр. 211) №7.43, 7.49,7.50, 7.61, 7.74

§44 ( учебник И.И. Валуцэ, стр. 240) № 7.120 (2,3), 7.123 (3,4), 7.124 (2), 7.125 (2)

Подведение итогов: рефлексия; выставление оценок за урок