Число е. Второй замечательный предел

Число е. Второй замечательный предел

Шинасилова С.С.учитель математики РСФМСШИ

Рассмотрим последовательность (1)

Доказать: - второй замечательный предел

Доказательство:

По теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел, если последовательность:

1. монотонная;

2. ограниченная.

Итак, сначала докажем монотонность последовательности (1).

Монотонность: Нужно сравнить и .

; Для этого, рассмотрим последовательность из чисел:

. В силу неравенства Коши имеем:

; Так как, равенство не выполняется.

⇔;

Возведем обе части последнего неравенства в ю степень.

. Отсюда следует, что последовательность (1) монотонно возрастающая.

Теперь докажем, что (1) ограничена.

ограниченность: докажем,что .

Очевидно, имеем .

;

;

;

;

Итак, получили , значит последовательность (1) ограничена.

Так как, (1) монотонна и ограничена, то по теореме Вейерштрасса она имеет предел. Это число обозначили буквой е. Число .

Следовательно, .

Примеры:

Вычислим пределы:

1.;

2.

;

Задания для самостоятельного выполнения

Вычислите пределы:

1.

8.

2.

9.

3.

10.

4.

11.

5.

12.

6.

13.

7.

14.

3