Решение задачи различными способами

Дарханова Майрамкул Куралбаевна - учитель математики высшей категории

Западно- Казахстанская область, Бурлинский район , г. Аксай, СШ №4

Решение задачи различными способами

При изучении математики часто бывает целесообразно решать одну и ту же задачу несколькими способами. Это способствует развитию творчества учащихся, повышению интереса к предмету, умению подходить к решению задачи с разных сторон. При сравнении различных способов решения одной и той же задачи учащиеся должны проанализировать и оценить все достоинства и недостатки данного способа и выбрать наиболее удачный. Такой анализ и выбор рационального способа решения воспитывает самостоятельность учащихся, способствует прочности усвоения ими материала.

Рассмотрим задачи, для решения которых предлагалось использовать различные способы.

Так, ученикам 8-го класса было предложено найти несколько способов сравнения дробей и .

Коллективными усилиями учащиеся определили, что можно привести дроби к общему знаменателю и заменить их десятичными дробями, но рациональнее всего рассуждать следующим образом. Имеем

1 - =; 1 - = .

Так как > , то < .

Рассмотрим другую задачу для 8-го класса, к которой неоднакратно возвращаемся в течение учебного года.

Задача 1. Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ее половине.

1-й способ. Отложим ОА₁ =ОА, соединим А₁ с В и рассмотрим треугольники АВС и А₁СВ (рис.1)

А А₁

0

С В Рис.1

2-й способ. Отложим угол АСО, равный α, проведя луч СО (рис.2)

А

О

С В Рис.2

3-й способ. Рассмотрим треугольники АСО и ВСО. Достроим треугольник АВС до прямоугольника АСВD (рис.3)

А D

0

С В Рис.3

4-й способ. Опишем около треугольника АВС окружность (рис.4)

С

А 0 В Рис.4

Рассмотрим задачу для 10 -го класса:

Задача 2. На стороне АВ треугольника АВС взята точка Р так, что АР : РВ = 1:2. Найти ,если ∠А = 45⁰, ∠В=75⁰ .

1-способ. Пусть (рис.5). Так как ∠С=60⁰, то ∠РСВ=60⁰ -α.

Согласно теореме синусов в треугольниках АРС и ВРС имеем

, т.е. РС = ;

, т.е. РС = . Значит,

= ; = ;

.

В

75⁰

Р

А 45⁰ α С Рис.5

Учитывая, что = =

∙ + ∙ = (,

получим ( ) = 2 ∙ (;

( ;

;

;

Покажем, что .

Действительно, так как , то

== = │2+.

Но , т.е. = .

Ответ :АСР = arcctg ( )=15 .

2-й способ. Имеем S_∆ВРС =h ∙ РВ=2h AP, S_∆АРС =h ∙ AP (см.рис.5), откуда

= = 2.

Так как S_{∆APС = ,} S_∆ВРС = ₌ , то

и, значит, .

С другой стороны, S_{∆АРС = ;} S_{∆ВРС =}

откуда = .

Следовательно, , ,

и в результате получаем тот же ответ.

3-й способ. На продолжении стороны АС отложим AN=АС и рассмотрим треугольник BNC (рис.6). В нем отрезок ВА - медиана, а точка Р делит ее в отношении 2:1, т.е. Р - точка пересечения медиан треугольника BNC. Следовательно, S_∆MNC = S_∆МВС, т.е.

; 2 = .

M 75

P

N 45 C

A Рис.6

Воспользуемся теоремой тангенсов в треугольнике АВС:

, где а=ВС, b=AC, A=45, B=75. Тогда ;

ВС 15+АС15=АС60- ВС60;

ВС(15+60)=АС (60⁰-15);

.

Но 15= . Поэтому = = .

Так как , то ( , и после преобразований снова получаем тот же ответ.

4-й способ. Введем систему координат (рис.7) . Имеем А(0;0) , С (с;0).

Так как =, то АВ = .

y B

75

Р

А 45 С

X Рис.7

Теперь можно найти координаты точки В:

х_₁=АВ ; у_₁=АВ .

Пусть Р(х;у) ; тогда, используя формулы х = ; у = и

учитывая, что ℷ=2, получим х == ;

у = = .

Значит, Р (), АР= АВ =.

Затем найдем длину РС как расстояние между точками Р () и С (с;0):

РС²=

=с² , т.е. РС = .

Наконец, из соотношения находим

.

Итак, ∠АСР = arcsin.

5-й способ. Опишем около данного треугольника окружность. Пусть О - ее центр, а СК=2R-диаметр (рис.8).

Тогда КВ=2Rcos45=R, ∠КВС=90,∠K=15,∠BKN=∠ BAC=45,∠BNK=120.

Из равенства = получим BN ==R .

15⁰

В

75⁰

45⁰

NК

Р

А С

Рис.8

Так как АВ = 2R sin 60= R, то ВР = АВ = R.

Это означает, что =ВР, т.е. точки и Р совпадают (рис.9) . Далее имеем ∠АОС=2∠АВС=150 и из равнобедренного треугольника АОС (АО=ОС=R) находим ∠ОАС=∠ОСА=15.

О

В

Рдрррр Рр

А С

Рис .9

6-й способ. Приведем высоту BD (рис.10) .

Пусть АР=х. Тогда АВ=3х,

BD =АВ, ВС= = = ,

DС= ВС =, АС = АD+ DС= .

В

30⁰

45⁰

45⁰Р

А С

Рис.10

Воспользуемся теоремой косинусов в ∆АРС: РС² = АР² + АС² - 2АРАС cos 45;

РС²=х²+ ;

РС²= х² + 6х²+3х² - 3х² - х² ;

РС²= 4х²+2 х²; РС=х .

Так как = , то окончательно находим

==х,

т.е. ∠АРС=arcsin.

7-й способ. Проведем биссектрису угла С (рис.11)

75⁰В

30⁰

105⁰N

45⁰Р

А С Рис.11

Пусть NC =х. В ∆ АNC имеем = ,

откуда АN=х. Аналогично в ∆ NBC имеем = ,

откуда NВ = х.

Значит, АВ= АN+ NВ= ,

РА = , NР = АN - АР =.

Наконец, в ∆ NРС имеем = или

NР , откуда

и после преобразований находим .

8-й способ. В ∆ АВС (см.рис.5) имеем =, откуда

ВС= .

Следовательно, ВС²=6 АР² = 2АР 3АР=РВ АВ, т.е. .

Так как в треугольниках АВС и РВС угол В - общий и , то

∆АВС∆РВС.

Поэтому ∠РСB=∠ВАС=45,∠АСР=60.