5 уроков по теме квадратные уравнения

Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:
  1. уроков по теме «Квадратные уравнения»

Урок №1

Цель урока: ввести понятие квадратного уравнения. Ознакомить учащихся с алгоритмом решения квадратного уравнения; ознакомить с применением теоремы Виета и теоремы, обратной ей.

Ход урока:

  1. Устные упражнения

  1. Представьте в виде многочлена выражение:

(х - 2)(2 + х); 5 уроков по теме квадратные уравнения

  1. Равносильны ли уравнения:

3х - 2 = х = 3 и 2х - 5 = 0; 0,5х - 3 = 0 и х - 6 = 0

5х - 1 = 3х - 5 уроков по теме квадратные уравнения + 2х = 1; 55 уроков по теме квадратные уравнения - 10х + 25 = 0 и 5 уроков по теме квадратные уравнения - 2х + 5 = 0 ?

  1. Решите уравнение:

У - 7 = 0; х + 0,5 = 0; 8х = 0;

2х - 5 уроков по теме квадратные уравнения = 0; у + 5 уроков по теме квадратные уравнения = 0; а ( а - 1) = 0;

5 уроков по теме квадратные уравнения - 7х = 0; 5 уроков по теме квадратные уравнения - 15 = 0.

  1. Изучение нового материала

  1. Составим уравнение с корнем х = 3.

Сначала составим числовое тождество, например:

Заменяя число 3 слева буквой х, превратим тождество в линейное:

И равносильное ему уравнение

Итак, на основе тождества (1) получили линейное уравнение (3), которое имеет единственный корень

Теперь составим такое алгебраическое уравнение, которое имело бы два произвольно заданных корня 5 уроков по теме квадратные уравненияи 5 уроков по теме квадратные уравнения.

Пусть это будут корни:

  1. Запишем условие в виде совокупности двух линейных уравнений с правыми частями, равными нулю.

  2. Перемножим уравнение совокупности. Раскроем скобки в левой части и приведём подобные.

  3. Мы получили квадратное уравнение. В квадратном уравнении старший член во второй степени. Выражение, записанное в левой части называют квадратным трёхчленом.

3 = 3 (1)

Х = 3 (2)

Х - 3 = 0 (3)

Х = 3

5 уроков по теме квадратные уравнения= 5 (1).

Х - 3 = 0, х - 5 = 0 (2)

(х - 3)(х - 5) = 0

5 уроков по теме квадратные уравнения - 3х - 5х +15 = 0

5 уроков по теме квадратные уравнения - 8х + 15 = 0

Составленное нами квадратное уравнение

5 уроков по теме квадратные уравнения - 8х + 5 = 0

Имеет два намеченных заранее корня:

5 уроков по теме квадратные уравнения= 5. Чтобы проверить решения, значение корня подставим в обе части уравнения.

Проверка первого корня Проверка второго корня

(5 уроков по теме квадратные уравнения = 3) ( 5 уроков по теме квадратные уравнения = 5 )

5 уроков по теме квадратные уравнения - 8х + 15 = 0 5 уроков по теме квадратные уравнения - 8х + 15 = 0

5 уроков по теме квадратные уравнения? 0 5 уроков по теме квадратные уравнения + 15 ? 0

9 - 24 +15 ? 0 25 - 40 +15 ? 0

0 = 0 0 = 0

Подставим в уравнение число, отличающее от найденных корней, например 5 уроков по теме квадратные уравнения = 2:

5 уроков по теме квадратные уравнения-85 уроков по теме квадратные уравнения 2 + 15 ? 0

4 - 16 + 15 ? 0

3 5 уроков по теме квадратные уравнения 0

Значит,5 уроков по теме квадратные уравнения = 5 - корни квадратного уравнения.

  1. Составим алгоритм решения приведённого квадратного уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения+ рх + q = 0.



Решить квадратное уравнение:

  1. Перенесём свободный член в правую часть с противоположным знаком

  2. Представим второй член в левой части как удвоенное произведение неизвестного х на некоторое число ( таким числом оказалось 5 уроков по теме квадратные уравнения = 4 ):

  3. Прибавим к обеим частям равенства по квадрату второго множителя (5 уроков по теме квадратные уравнения

  4. Представим левую часть как квадрат двучлена:

  5. Извлечём из обеих частей квадратный корень:

  6. Соответственно этим двум знакам получаем два корня квадратного уравнения:

5 уроков по теме квадратные уравнения - 8х + 15 = 0 (р = -8, q = 15 )

5 уроков по теме квадратные уравнения - 8х = -15



5 уроков по теме квадратные уравнения- 25 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения- 25 уроков по теме квадратные уравнения



5 уроков по теме квадратные уравнения

(5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

Х - 4 = 5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения.

5 уроков по теме квадратные уравнения;

5 уроков по теме квадратные уравнения.

5 уроков по теме квадратные уравнения+ рх + q = 0

5 уроков по теме квадратные уравнения+ рх = -q



5 уроков по теме квадратные уравнения-q

5 уроков по теме квадратные уравнения+ 2 5 уроков по теме квадратные уравнения = -q



5 уроков по теме квадратные уравнения

( 5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

Х + 5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения.

Проверка найденных корней.

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения+ 15 = 0

5 уроков по теме квадратные уравнения+ 15 ? 0 5 уроков по теме квадратные уравнения ? 0

5 уроков по теме квадратные уравнения9 - 24 +15 ? 0

5 уроков по теме квадратные уравнения0 = 0.

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения

Решение .

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения.

3.Закрепление изученного №523-525

Домашнее задание №526,531.







Урок №2

Тема. Частные случаи приведённого квадратного уравнения.

Урок - лекция.

  1. Если в квадратном уравнении равны нулю некоторые коэффициенты (при а 5 уроков по теме квадратные уравнения

0), то имеем частные случаи квадратного уравнения или так называемые неполные квадратные уравнения.

Существуют три частных случая приведённого квадратного уравнения 5 уроков по теме квадратные уравнения = 0:

1

р = 0, q 5 уроков по теме квадратные уравнения0

5 уроков по теме квадратные уравнения= 0, 5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

2

Р = 0, q = 0

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

3

Р 5 уроков по теме квадратные уравнения0, q = 0

5 уроков по теме квадратные уравнениях( х+р ) = 0

5 уроков по теме квадратные уравнения, 5 уроков по теме квадратные уравнения= -р

Заметим, что если под знаком квадратного радикала получается отрицательное число, то уравнение не имеет решения.

Например: 5 уроков по теме квадратные уравнения+ 4 = 0,

5 уроков по теме квадратные уравнения

Х = 5 уроков по теме квадратные уравнения.

  1. Решить уравнения и проверить корни.

  1. 35 уроков по теме квадратные уравнения- 27 = 0, в) 55 уроков по теме квадратные уравнения - 20 = 0,

35 уроков по теме квадратные уравнения+ 27 = 0; 455 уроков по теме квадратные уравнения;

б) 35 уроков по теме квадратные уравнения = 0; г) 235 уроков по теме квадратные уравнения = 0,

7,3465 уроков по теме квадратные уравнения

  1. Теорема Виета.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения 5 уроков по теме квадратные уравнения+ рх + q = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (-р), а произведение корней равно свободному члену (q).

Доказательство.

Составим квадратное уравнение вида (1), которое имеет корни 5 уроков по теме квадратные уравнения:

5 уроков по теме квадратные уравнения+ рх + q = 0. (1)

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения= 0,

5 уроков по теме квадратные уравнения= 0,

5 уроков по теме квадратные уравнения(2)

5 уроков по теме квадратные уравнения

Приравнивая соответствующие коэффициенты выведенного уравнения (2) и исходного уравнения (1), мы находим доказываемые соотношения (3) и (4):

Р = -(5 уроков по теме квадратные уравнения), или 5 уроков по теме квадратные уравнения (3)

5 уроков по теме квадратные уравненияq. (4)

5 уроков по теме квадратные уравнения.

5 уроков по теме квадратные уравнения.

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения+ рх + q = 0 (1)

5 уроков по теме квадратные уравненияЕсли

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравненияа свободный р = - (5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравненияq = 5 уроков по теме квадратные уравнения

то числа 5 уроков по теме квадратные уравнения являются корнями данного то 5 уроков по теме квадратные уравнения являются

квадратного уравнения. корнями этого уравнения

доказательство .

Согласно условию теоремы напишем квадратное уравнение (2):

5 уроков по теме квадратные уравнения(2)

5 уроков по теме квадратные уравнениях в уравнение (2), получим тождество 0 = 0.

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения.

5 уроков по теме квадратные уравнения - корень уравнения (2).

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

Составим квадратное уравнение с корнями, указанными в одной из клеток этой таблицы; например, в пересечении столбца 5 уроков по теме квадратные уравнения = 5 и строки 5 уроков по теме квадратные уравнения = 4 мы находим два числа. Это означает:

-(а+в) = -(4+5) = -9 = р, 45 уроков по теме квадратные уравнения 5 = 20 = q.

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения= q



5 уроков по теме квадратные уравнения= 0

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения

З

3

5

5

7

7

9

9

2

5

6

7

10

9

14

11

18

4

7

12

9

20

11

28

13

36

6

9

18

11

30

13

42

15

54

8

11

24

13

40

15

36

17

42

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения(5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения(5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения;

Домашнее задание а) решить составленное уравнение. Получились ли намеченные корни?

б) составить квадратное уравнение для любой другой клетки таблицы. Решить составленное уравнение.























Урок №3. Составление уравнений, приводящих к квадратному.

  1. Проверка домашнего задания. В таблице даны параметры семи уравнений. Найти пропущенные числа, составив и решив соответствующие уравнения.



1

2

3

4

5

6

7

5 уроков по теме квадратные уравнения

0,5

5 уроков по теме квадратные уравнения

0,2

0,3

2

-3

5 уроков по теме квадратные уравнения

4

-8

-0,7

5 уроков по теме квадратные уравнения

р


8

5

q


12

4

  1. Пусть решено уравнение

(х - 3)(2х - 5 ) = 3 (1)

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения(х-3)2х-5) = 3

5 уроков по теме квадратные уравнения

15 уроков по теме квадратные уравнения

  1. Решить уравнение Составить и решить похожее уравнение

5 уроков по теме квадратные уравненияб)5 уроков по теме квадратные уравнения = 0

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения;

5 уроков по теме квадратные уравненияг) 35 уроков по теме квадратные уравнения = 0

5 уроков по теме квадратные уравнения

12-10-2=0

35 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения

  1. Решить уравнение

а) 5 уроков по теме квадратные уравнения б) проверить числовое равенство

5 уроков по теме квадратные уравнения

Заменить всюду число 8 буквой х:

5 уроков по теме квадратные уравнения.

5 уроков по теме квадратные уравнения

(5 уроков по теме квадратные уравнения).

  1. а) решить уравнение б) проверить числовое равенство

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

  1. а) решить уравнение б) проверить равенство

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

составленное уравнение

(5 уроков по теме квадратные уравнения



















Урок №4. Параметрические уравнения, приводящие к квадратному.



Решим следующее квадратное уравнение:

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения, 5 уроков по теме квадратные уравнения.

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения(к):

5 уроков по теме квадратные уравнения(1)

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравненияпри различных значениях коэффициента к. Корни уравнения будут различными.



Параметр к

Уравнение

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

-8

5 уроков по теме квадратные уравнения

10

-2

8

5 уроков по теме квадратные уравнения

-10

2

1

5 уроков по теме квадратные уравнения

-5

4

В таких задачах переменную величину к называют параметром, а уравнение, содержащее такой параметр, называют параметрическим.

  1. а) при каком значении параметра к квадратное уравнение (1) будет иметь корень, равный 4? Каков второй корень?

б) пусть параметром квадратного уравнения будет свободный член к. При каком значении параметра к квадратное уравнение 5 уроков по теме квадратные уравнения будет иметь равные корни (5 уроков по теме квадратные уравненияпротивоположные значения корней (5 уроков по теме квадратные уравнения ? взаимно обратные корни (5 уроков по теме квадратные уравнения ? Найти указанные корни. Проверить ответы.

2) а) требуется составить квадратное уравнение, такое, чтобы один корень был на 3 больше другого корня.

Решение. 5 уроков по теме квадратные уравнения 5 уроков по теме квадратные уравнения

Перемножим по частям линейные уравнения совокупности, получим

(х-а)(х-а-3)=0.

5 уроков по теме квадратные уравнения(1)

При любых значениях параметра а будем получать два корня, один из которых больше другого на 3. Проверка .

Пусть а=0, 5 уроков по теме квадратные уравнения, 5 уроков по теме квадратные уравнения

Пусть а=1, 5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

б) составить уравнение (1) при а=10. Решить составленное уравнение. Проверить : 5 уроков по теме квадратные уравнения

3) составить и решить несколько квадратных уравнений, таких, чтобы второй корень был меньше первого на 2.

Решение

5 уроков по теме квадратные уравнения(х-а)(х-а+2)=0

Уравнение

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

Проверка (5 уроков по теме квадратные уравнения

1

-1

1

1-(-1)=2

2

6

8

3


4)составить и решить такое квадратное уравнение, чтобы второй корень был равен первому корню, умноженному на 2.

5 уроков по теме квадратные уравнения5 уроков по теме квадратные уравнения(х-а)(х-2а)=0, 5 уроков по теме квадратные уравнения

Проверить утверждение задачи при а=3; 6.

5)составить и решить несколько квадратных уравнений, таких, чтобы второй корень был квадратом первого корня.

5 уроков по теме квадратные уравнения(5 уроков по теме квадратные уравнения (х-а)(х-5 уроков по теме квадратные уравнения

Проверить, выполняется ли условие задачи.

Уравнение

Корни

Проверка(5 уроков по теме квадратные уравнения

1

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

2

5 уроков по теме квадратные уравнения

3

4




УРОК 5 . Тема. Золотое сечение. Число Фидия.

Пусть отрезок длиной в 1 единицу разделен на два отрезка длиной х и 1-х.

Заметим, что х+(1-х)=1.

Золотым сечением отрезка называется такое деление его на две неравные части, при котором отношение всего отрезка (1) к большей его части (х) равно отношению большей части (х) к меньшей части (1-х):

А О В

-----------------------------------

х 1-х

АВ=1, АО= х, ОВ=1-х

5 уроков по теме квадратные уравнения=5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения(1)

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения.

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнениядревнегреческий архитектор, построивший знаменитый храм Парфенон в Афинах.

5 уроков по теме квадратные уравнения, отношение размеров которых близко к корню уравнения х=Ф=0,618…, человеку кажутся удобными и красивыми. Почему это так, ещё не раскрыто учёными.

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения.

5 уроков по теме квадратные уравненияв (1) число Ф вместо переменной х:

5 уроков по теме квадратные уравненияподелим обе части на Ф:

5 уроков по теме квадратные уравнения.

Возведём обе части последнего равенства в квадрат:

5 уроков по теме квадратные уравнения

5 уроков по теме квадратные уравнения, откуда

5 уроков по теме квадратные уравнения(2)

Выразим 3 через степени иррационального числа Ф.

Ф=5 уроков по теме квадратные уравнения

Получить уравнение 5 уроков по теме квадратные уравнения возведя обе части (2) в квадрат.

Проверить это равенство на калькуляторе.

5 уроков по теме квадратные уравнения



© 2010-2022