- Преподавателю
- Математика
- 5 уроков по теме квадратные уравнения
5 уроков по теме квадратные уравнения
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Тотоева Л.Н. |
Дата | 19.02.2016 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
-
уроков по теме «Квадратные уравнения»
Урок №1
Цель урока: ввести понятие квадратного уравнения. Ознакомить учащихся с алгоритмом решения квадратного уравнения; ознакомить с применением теоремы Виета и теоремы, обратной ей.
Ход урока:
-
Устные упражнения
-
Представьте в виде многочлена выражение:
(х - 2)(2 + х);
-
Равносильны ли уравнения:
3х - 2 = х = 3 и 2х - 5 = 0; 0,5х - 3 = 0 и х - 6 = 0
5х - 1 = 3х - + 2х = 1; 5 - 10х + 25 = 0 и - 2х + 5 = 0 ?
-
Решите уравнение:
У - 7 = 0; х + 0,5 = 0; 8х = 0;
2х - = 0; у + = 0; а ( а - 1) = 0;
- 7х = 0; - 15 = 0.
-
Изучение нового материала
-
Составим уравнение с корнем х = 3.
Сначала составим числовое тождество, например:
Заменяя число 3 слева буквой х, превратим тождество в линейное:
И равносильное ему уравнение
Итак, на основе тождества (1) получили линейное уравнение (3), которое имеет единственный корень
Теперь составим такое алгебраическое уравнение, которое имело бы два произвольно заданных корня и .
Пусть это будут корни:
-
Запишем условие в виде совокупности двух линейных уравнений с правыми частями, равными нулю.
-
Перемножим уравнение совокупности. Раскроем скобки в левой части и приведём подобные.
-
Мы получили квадратное уравнение. В квадратном уравнении старший член во второй степени. Выражение, записанное в левой части называют квадратным трёхчленом.
3 = 3 (1)
Х = 3 (2)
Х - 3 = 0 (3)
Х = 3
= 5 (1).
Х - 3 = 0, х - 5 = 0 (2)
(х - 3)(х - 5) = 0
- 3х - 5х +15 = 0
- 8х + 15 = 0
Составленное нами квадратное уравнение
- 8х + 5 = 0
Имеет два намеченных заранее корня:
= 5. Чтобы проверить решения, значение корня подставим в обе части уравнения.
Проверка первого корня Проверка второго корня
( = 3) ( = 5 )
- 8х + 15 = 0 - 8х + 15 = 0
? 0 + 15 ? 0
9 - 24 +15 ? 0 25 - 40 +15 ? 0
0 = 0 0 = 0
Подставим в уравнение число, отличающее от найденных корней, например = 2:
-8 2 + 15 ? 0
4 - 16 + 15 ? 0
3 0
Значит, = 5 - корни квадратного уравнения.
-
Составим алгоритм решения приведённого квадратного уравнения
+ рх + q = 0.
-
Решить квадратное уравнение:
-
Перенесём свободный член в правую часть с противоположным знаком
-
Представим второй член в левой части как удвоенное произведение неизвестного х на некоторое число ( таким числом оказалось = 4 ):
-
Прибавим к обеим частям равенства по квадрату второго множителя (
-
Представим левую часть как квадрат двучлена:
-
Извлечём из обеих частей квадратный корень:
-
Соответственно этим двум знакам получаем два корня квадратного уравнения:
- 8х + 15 = 0 (р = -8, q = 15 )
- 8х = -15
- 2
- 2
(
Х - 4 =
.
;
.
+ рх + q = 0
+ рх = -q
-q
+ 2 = -q
(
Х +
.
-
Проверка найденных корней.
+ 15 = 0
+ 15 ? 0 ? 0
9 - 24 +15 ? 0
0 = 0.
Решение .
.
3.Закрепление изученного №523-525
Домашнее задание №526,531.
Урок №2
Тема. Частные случаи приведённого квадратного уравнения.
Урок - лекция.
-
Если в квадратном уравнении равны нулю некоторые коэффициенты (при а
0), то имеем частные случаи квадратного уравнения или так называемые неполные квадратные уравнения.
Существуют три частных случая приведённого квадратного уравнения = 0:
1
р = 0, q 0
= 0,
2
Р = 0, q = 0
3
Р 0, q = 0
х( х+р ) = 0
, = -р
Заметим, что если под знаком квадратного радикала получается отрицательное число, то уравнение не имеет решения.
Например: + 4 = 0,
Х = .
-
Решить уравнения и проверить корни.
-
3- 27 = 0, в) 5 - 20 = 0,
3+ 27 = 0; 45;
б) 3 = 0; г) 23 = 0,
7,346
-
Теорема Виета.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения + рх + q = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (-р), а произведение корней равно свободному члену (q).
Доказательство.
Составим квадратное уравнение вида (1), которое имеет корни :
+ рх + q = 0. (1)
− = 0,
= 0,
(2)
Приравнивая соответствующие коэффициенты выведенного уравнения (2) и исходного уравнения (1), мы находим доказываемые соотношения (3) и (4):
Р = -(), или (3)
q. (4)
.
.
+ рх + q = 0 (1)
Если
а свободный р = - (
q =
то числа являются корнями данного то являются
квадратного уравнения. корнями этого уравнения
доказательство .
Согласно условию теоремы напишем квадратное уравнение (2):
(2)
х в уравнение (2), получим тождество 0 = 0.
.
- корень уравнения (2).
Составим квадратное уравнение с корнями, указанными в одной из клеток этой таблицы; например, в пересечении столбца = 5 и строки = 4 мы находим два числа. Это означает:
-(а+в) = -(4+5) = -9 = р, 4 5 = 20 = q.
= q
-
= 0
З
3
5
5
7
7
9
9
2
5
6
7
10
9
14
11
18
4
7
12
9
20
11
28
13
36
6
9
18
11
30
13
42
15
54
8
11
24
13
40
15
36
17
42
(
(
;
Домашнее задание а) решить составленное уравнение. Получились ли намеченные корни?
б) составить квадратное уравнение для любой другой клетки таблицы. Решить составленное уравнение.
Урок №3. Составление уравнений, приводящих к квадратному.
-
Проверка домашнего задания. В таблице даны параметры семи уравнений. Найти пропущенные числа, составив и решив соответствующие уравнения.
-
1
2
3
4
5
6
7
0,5
0,2
0,3
2
-3
4
-8
-0,7
р
8
5
q
12
4
-
Пусть решено уравнение
(х - 3)(2х - 5 ) = 3 (1)
(х-3)2х-5) = 3
1
-
Решить уравнение Составить и решить похожее уравнение
б) = 0
;
г) 3 = 0
12-10-2=0
3
-
Решить уравнение
а) б) проверить числовое равенство
Заменить всюду число 8 буквой х:
.
().
-
а) решить уравнение б) проверить числовое равенство
-
а) решить уравнение б) проверить равенство
составленное уравнение
(
Урок №4. Параметрические уравнения, приводящие к квадратному.
Решим следующее квадратное уравнение:
, .
(к):
(1)
при различных значениях коэффициента к. Корни уравнения будут различными.
-
Параметр к
Уравнение
-8
10
-2
8
-10
2
1
-5
4
…
…
…
…
В таких задачах переменную величину к называют параметром, а уравнение, содержащее такой параметр, называют параметрическим.
-
а) при каком значении параметра к квадратное уравнение (1) будет иметь корень, равный 4? Каков второй корень?
б) пусть параметром квадратного уравнения будет свободный член к. При каком значении параметра к квадратное уравнение будет иметь равные корни (противоположные значения корней ( ? взаимно обратные корни ( ? Найти указанные корни. Проверить ответы.
2) а) требуется составить квадратное уравнение, такое, чтобы один корень был на 3 больше другого корня.
Решение.
Перемножим по частям линейные уравнения совокупности, получим
(х-а)(х-а-3)=0.
(1)
При любых значениях параметра а будем получать два корня, один из которых больше другого на 3. Проверка .
Пусть а=0, ,
Пусть а=1,
б) составить уравнение (1) при а=10. Решить составленное уравнение. Проверить :
3) составить и решить несколько квадратных уравнений, таких, чтобы второй корень был меньше первого на 2.
Решение
(х-а)(х-а+2)=0
-
№
Уравнение
Проверка (
1
-1
1
1-(-1)=2
2
6
8
3
4)составить и решить такое квадратное уравнение, чтобы второй корень был равен первому корню, умноженному на 2.
(х-а)(х-2а)=0,
Проверить утверждение задачи при а=3; 6.
5)составить и решить несколько квадратных уравнений, таких, чтобы второй корень был квадратом первого корня.
( (х-а)(х-
Проверить, выполняется ли условие задачи.
-
№
Уравнение
Корни
Проверка(
1
2
3
4
УРОК 5 . Тема. Золотое сечение. Число Фидия.
Пусть отрезок длиной в 1 единицу разделен на два отрезка длиной х и 1-х.
Заметим, что х+(1-х)=1.
Золотым сечением отрезка называется такое деление его на две неравные части, при котором отношение всего отрезка (1) к большей его части (х) равно отношению большей части (х) к меньшей части (1-х):
А О В
-----------------------------------
х 1-х
АВ=1, АО= х, ОВ=1-х
=
(1)
.
древнегреческий архитектор, построивший знаменитый храм Парфенон в Афинах.
, отношение размеров которых близко к корню уравнения х=Ф=0,618…, человеку кажутся удобными и красивыми. Почему это так, ещё не раскрыто учёными.
.
в (1) число Ф вместо переменной х:
поделим обе части на Ф:
.
Возведём обе части последнего равенства в квадрат:
, откуда
(2)
Выразим 3 через степени иррационального числа Ф.
Ф=
Получить уравнение возведя обе части (2) в квадрат.
Проверить это равенство на калькуляторе.